复习讲义01 整式的乘除（原卷版）

专题01整式的乘除（期末复习讲义）内容导航明·期末考情把握命题趋势，明确备考路径记·必备知识梳理核心脉络，扫除知识盲区破·重难题型题型分类突破，方法技巧精讲题型01判断整式运算是否正确题型02用科学记数法表示绝对值小于1的数题型03完全平方式中的字母参数问题题型04已知多项式乘积不含某项求字母的值题型05幂的混合运算及逆运算题型06零指数幂、负整数指数幂综合计算题型07整式混合运算——化简求值题型08利用乘法公式简便运算题型09整式乘法与图形面积题型10乘法公式中几何图形的应用题型11多项式乘法中的规律性问题题型12整式的运算中的新定义型问题过·分层验收阶梯实战演练，验收复习成效核心考点复习目标考情规律幂的运算（同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方）熟练掌握幂的4大运算公式，能准确进行幂的变形与计算。基础必考点，多以选择、填空考查，易与指数运算混淆。零指数幂与负整数指数幂理解a0=1(a≠0)与a−p=1ap(a≠高频基础点，常与科学记数法结合考查，易忽略底数不为0的条件。整式的乘法（单项式乘、多项式乘）掌握整式乘法法则，能规范进行系数、指数运算并合并同类项。必考基础计算，解答题开篇常考，符号与漏乘是高频丢分点。整式的除法（单项式除、多项式除）能熟练进行整式除法运算，掌握多项式除以单项式的法则。基础考点，易与乘法互逆运算结合考查，计算步骤易出错。乘法公式（平方差、完全平方）熟记公式结构，能灵活运用公式进行简便计算与变形应用。中考核心考点，解答题压轴常考，公式混淆、应用不熟练是易错点。整式乘除的综合应用能综合运用乘除法则解决化简求值、实际问题，提升运算能力。综合考查点，多与解方程、几何结合，侧重考查计算准确性与逻辑思维。知识点01同底数幂的乘法公式：am×an=am+n（m,n为正整数）法则：底数不变，指数相加。示例：x3×x2=x3+2=x5易错点：1.指数相乘，写成x6；2.底数不同强行套用公式；3.忽略a=a1，如a×a3错写成a3。知识点02幂的乘方公式：(am)n=amn法则：底数不变，指数相乘。示例：（x2）3=x2×3=x6易错点：1.指数相加，写成x5；2.系数不乘方，如(2x2)3错写成2x6。知识点03积的乘方公式：(ab)n=anbn法则：每个因式分别乘方，再把结果相乘。示例：(2xy)3=23x3y3=8x3y3易错点：1.只给字母乘方，不给系数乘方；2.漏乘某个因式；3.负数乘方时符号判断错误：(-a)2=a2，(-a)3=-a3。知识点04同底数幂的除法知识点公式：am÷an=am-n(a≠0，m>n）法则：底数不变，指数相减。示例：x5÷x2=x5-2=x3易错点：1.指数相除；2.底数不同直接除；3.忘记底数不能为0。知识点05零指数幂与负整数指数幂零指数：a0=1（a≠0）负指数：a-p=1ap（a≠0示例：30=1，2-2=14易错点：1.认为00=1；2.负指数变成负数，如2-2=-4；3.忘记底数不为0的限制条件知识点06单项式乘单项式法则：系数相乘，同底数幂相乘，单独字母照抄。示例：2x2y×3xy2=6x3y3易错点：1.系数不乘或算错；2.漏写单独字母；3.指数运算错误。知识点07单项式乘多项式法则：用单项式去乘多项式的每一项，再相加。a(b+c)=ab+ac示例：2x(x+3)=2x2+6x易错点：1.漏乘某一项；2.符号出错，尤其是括号前是负号；3.结果未合并同类项。知识点08多项式乘多项式法则：一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再相加。(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn\)示例：(x+2)(x+3)=x2+3x+2x+6=x2+5x+6易错点：1.漏项，常见只乘首尾两项；2.符号错误；3.未合并同类项。知识点09平方差公式公式：(a+b)(a-b)=a2-b2结构：相同项²−相反项²示例：(x+3)(x-3)=x2-9易错点：1.记成(a-b)2；2.符号混乱，写成b2-a2；3.系数不平方，如(2x+1)(2x-1)错写成2x2-1。知识点10完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2口诀：首平方，尾平方，积的2倍在中央。示例：(x+2)2=x2+4x+4易错点：1.漏掉中间2ab项；2.中间项系数忘乘2；3.符号错误：(a-b)2中间项写成正。知识点11单项式除以单项式知识点法则：系数相除，同底数幂相除，只在被除式里的字母照抄。示例：6x3y÷2xy=3x2易错点：1.系数相除算错；2.指数相减变相加；3.漏写剩余字母。知识点12多项式除以单项式法则：多项式每一项除以单项式，再把商相加。(a+b+c)÷m=a÷m+b÷m+c÷m示例：(4x2-2x)÷2x=2x-1易错点：1.漏项；2.符号出错；3.某一项除不尽时保留分式。知识点13科学记数法知识点1.大数：a×10n（1≤a<10）2.小数：a×10-n示例：0.00023=2.3×10-4易错点：1.指数数错位数；2.小数负指数写成正指数；3.a不在1～10范围内。知识点14整式乘除化简求值知识点先化简（乘除、公式、合并同类项），再代入数值计算。示例：化简(x+2)2-x(x-1)再代入x=1。易错点：1.未化简直接代入，计算量大易出错；2.公式用错导致结果全错；3.代入负数时符号混乱。题型一判断整式运算是否正确解｜题｜技｜巧先看运算顺序，再检查法则：幂运算注意指数乘除，合并同类项看系数字母指数，整式乘除注意符号与分配律，可代特殊值快速验证，避免跳步出错。【典例1】（25-26九年级下·辽宁丹东·期末）下列计算正确的是（

）A． B． C． D．【典例2】（25-26八年级上·江西赣州·期末）下列计算中，正确的是（

）A． B．C． D．【变式1】（25-26八年级上·河南南阳·期末）下列运算正确的是（

）A． B．C． D．【变式2】（25-26八年级上·湖北随州·期末）下列计算正确的是（

）A． B．C． D．题型二用科学记数法表示绝对值小于1的数解｜题｜技｜巧将小数点右移至第一个非零数字后，指数为负，指数绝对值等于左移位数；注意保持有效数字位数，结果写成a×10⁻ⁿ形式，其中1≤|a|＜10，n为正整数，前面补零不计。【典例1】（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）某球形病毒的直径约为，该直径用科学记数法表示应为______________．【典例2】（25-26八年级上·广西来宾·期末）我国“祖冲之号”量子计算机的超导比特尺寸约为米，请用科学记数法表示该尺寸为________（单位：米）．【变式1】（25-26八年级上·河南漯河·期末）科技发展芯片被誉为现代工业的掌上明珠．某种芯片每个探针单元的面积为，用科学记数法可表示为_____________．【变式2】（25-26八年级上·河南信阳·期末）2025年4月19日，全球首场人形机器人半程马拉松赛在北京举行．人形机器人的发展是科学技术进步的结果，比如说人形机器人的碳纤维骨架的表面粗糙度不超过0.8微米，（1米微米），请将米用科学记数法表示应为___________米．题型三完全平方式中的字母参数问题解｜题｜技｜巧先写成(a±b)²形式展开对比，常数项为一次项系数一半的平方；含参数时，设完全平方后展开对应系数相等，注意符号，两解勿漏，有时需考虑二次项系数为完全平方数。【典例1】（25-26八年级上·重庆潼南·期末）若是一个完全平方式，则_____．【典例2】（25-26八年级上·四川泸州·期末）若可以用完全平方式来分解因式，则的值为________．【变式1】（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）已知多项式是完全平方式，则的值是______．【变式2】（25-26八年级上·江西上饶·期末）多项式添加一个单项式后可变为完全平方式，则添加的单项式可以是___________（任写一个符合条件的即可）．题型四已知多项式乘积不含某项求字母的值解｜题｜技｜巧先按法则展开合并同类项，令该项系数为零列方程求解；注意“不含”指该项系数为零，有时需考虑二次项、一次项或常数项，展开时细心防止漏项，结果代入验证。【典例1】（25-26八年级上·江西宜春·期末）已知展开式中不含x的一次项，则m的取值为___．【典例2】（25-26八年级上·山东德州·期末）若的计算结果中项的系数为，则的值为________．【变式1】（25-26八年级上·重庆南川·期末）若关于x的多项式与的乘积中不含x项，则______．【变式2】（25-26七年级上·重庆·期末）已知．若的值与x的取值无关，则当时，A的值为________．题型五幂的混合运算及逆运算解｜题｜技｜巧同底数幂乘除指数加减，幂的乘方指数相乘，积的乘方每个因式乘方；逆运算常化同底数或同指数，利用指数相等列方程，注意底数为负时指数奇偶性，底数非零为前提。【典例1】（25-26八年级上·广东中山·期末）计算：．【典例2】（25-26八年级上·广西河池·期末）计算：．【变式1】（25-26八年级上·陕西榆林·期末）计算：．【变式2】（24-25七年级下·江苏扬州·期末）对于整数、定义运算：（其中、为常数），如．(1)填空：当时，______；(2)若，求的值．题型六零指数幂、负整数指数幂综合计算解｜题｜技｜巧零指数幂底数非零结果为1，负指数化为倒数正指数；运算时先化负指数为正，再按幂运算法则计算，注意底数为分数时取倒数，结果化为正整数指数形式，避免符号错误。【典例1】（25-26八年级上·四川泸州·期末）计算：【典例2】（25-26八年级上·广东肇庆·期末）计算：【变式1】（25-26七年级上·上海·期末）计算：【变式2】（25-26七年级上·陕西西安·期末）计算：(1)；(2)．题型七整式混合运算——化简求值解｜题｜技｜巧先乘方再乘除最后加减，有括号先算括号内，合并同类项化简；代入数值时负数添括号，注意整体代入或利用条件变形简化计算，避免直接代入增加运算量，结果要最简。【典例1】（25-26八年级上·福建泉州·期末）先化简，再求值：，其中，．【典例2】（25-26八年级上·福建泉州·期末）先化简，再求值：，其中．【变式1】（25-26八年级上·山西长治·期末）先化简，再求值：，其中a，b满足【变式2】（25-26八年级上·山东临沂·期末）（1）计算：；（2）先化简，再求值：．其中，．题型八利用乘法公式简便运算解｜题｜技｜巧观察式子结构，凑成平方差、完全平方或立方公式形式；将数字拆解成和或差，逆向运用公式简化计算，注意符号与系数，避免直接硬算。【典例1】（25-26八年级上·甘肃金昌·期末）用简便方法计算：(1)；(2)．【典例2】（24-25七年级下·宁夏银川·期末）用简便方法计算：(1)；(2)．【变式1】（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）计算(1)(2)简便运算：【变式2】（24-25八年级下·河南郑州·期末）用简便方法计算下列各式：(1)；(2)．题型九整式乘法与图形面积解｜题｜技｜巧根据图形分割或补全，用不同方法表示总面积，列出整式乘法恒等式；常利用矩形、正方形面积模型解释乘法公式，通过等面积法建立方程，数形结合验证运算结果。【典例1】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）在长方形中，将两张边长分别为和的正方形纸片按如图1、图2所示的两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的周长、面积分别为，，图2中阴影部分的周长、面积分别为，．(1)求证：．(2)若，，求的长．【典例2】（25-26八年级上·福建漳州·期末）为了更好地开展劳动教育，某校暑期对校内闲置的长为米，宽为米的长方形地块进行规划改造．如图，学校准备在该地块内修一条宽为a米的小路，并计划将阴影部分改造为种植区．(1)用含有a、b的式子表示出种植区的总面积S；（请将结果化为最简）(2)若，，求出此时种植区的总面积S的值．【变式1】（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图，某校园内有一块长为，宽为的长方形活动场地．计划在场地中间开辟一个长为，宽为的长方形舞台用于文艺表演，舞台之外的阴影部分将铺设塑胶跑道供学生活动．(1)求铺设塑胶跑道区域（阴影部分）的面积；(2)若，，铺设塑胶跑道的价格为元，则铺设塑胶跑道共需多少元？【变式2】（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）有边长分别为，（）的两种正方形（如图1）卡片若干．(1)将两种正方形卡片各一张按如图2放置，用含，的代数式表示阴影部分（未重叠部分）的面积；(2)将一张边长为的正方形卡片和两张边长为的正方形卡片按如图放置，用含，的代数式表示阴影部分（三张卡片都重叠部分）的面积；(3)将两种正方形卡片各一张按如图放置在一个边长为（）的大正方形内，左下角长方形的面积为，两张卡片重叠部分的面积为．若，请直接用等式写出与的数量关系．题型十乘法公式中几何图形的应用解｜题｜技｜巧用图形面积验证或推导公式，如平方差用长方形与正方形拼补，完全平方用大正方形分割；根据图形边长关系列面积等式，转化为代数恒等式，直观理解公式结构。【典例1】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，体现出形与数的紧密联系．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式．(1)请你根据等积法，利用图1，图2，图3可以得到一些等式：利用图1，可以得到等式：________________；利用图2，可以得到等式：________________；利用图3，可以得到等式：________________．(2)请你根据等积法，利用图4，写出你得到的一个等式__________；(3)结合用（2）中你得到的等式解决问题：若实数，，满足，，求的值；【典例2】（25-26八年级上·江苏南通·期末）图1是一个长为，宽为的长方形，将四个这样的长方形拼成如图2所示的“回”字形图其中四边形是正方形，中间的四边形也是正方形．(1)观察图2，直接写出，，之间的等量关系式：____________；(2)如果长方形的两条边，满足：，，求的值；(3)将两个正方形，如图3摆放，是边上任意一点，若两个正方形面积之和为34，，求图中阴影部分面积之和．【变式1】（25-26八年级上·湖北荆门·期末）【教材原理】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为．【类比探究】（1）观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为_____【应用】（2）根据图②所得的公式，若，，求的值．（3）若满足，求的值．【变式2】（25-26八年级上·湖北荆门·期末）阅读以下解法：“若满足，求的值”．解：设，则，则，即．解决以下问题：(1)若满足，则_______；(2)若满足，求的值；(3)如图，在长方形中，分别是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积．题型十一多项式乘法中的规律性问题解｜题｜技｜巧先计算前几项或特殊值，观察系数、指数变化规律，猜想一般式；常用公式如平方差、完全平方推广，或利用杨辉三角找系数，注意项数与次数关系，通过验证确保正确。【典例1】（25-26八年级上·山东临沂·期末）（1）观察、归纳：请填上正确答案__________；__________；__________；__________；……（2）总结：根据以上等式你能发现什么规律，请写出来并证明；（3）运用：利用你发现的规律计算：【典例2】（25-26八年级上·福建福州·期末）在月历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2026年1月份的月历，我们任意选择其中所示的阴影方框部分，将每个阴影方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减（乘积大的减小的），例如：，．不难发现，结果都是7．(1)请你再选择一个类似方框列出算式进行计算，看一看是否符合这个规律？(2)设任意一个月历中类似方框的左上角的数为，请你列出代数式进行计算，看一看是否有同样的规律？【变式1】（25-26八年级上·山东临沂·期末）观察下列各式：；；…(1)请根据上述规律直接写出计算结果：______；______．(2)设这两个两位数的十位数字都为a，其中一个两位数的个位数字为b，另一个两位数的个位数字为c，且．请用代数式表示上述规律，并用所学的知识说明上述规律的正确性．【变式2】（25-26八年级上·湖北荆州·期末）“杨辉三角”揭示了（为非负数）展开式的各项系数的规律．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年，请仔细观察“杨辉三角”中每个数字与上一行的左右两个数字之和的关系：根据上述规律，完成下列各题：（1）将展开后，各项的系数和为_______．（2）将展开后，各项的系数和为_______．（3）写出的展开式．下图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题：第一行

第二行

第三行

第四行

第五行

．．．．．．（4）请你描述一下“莱布尼茨三角形”的数字变化规律．（5）若表示第行，从左到右数第个数，如表示第四行第二个数是，则表示的数是多少？题型十二整式的运算中的新定义型问题解｜题｜技｜巧仔细阅读新定义，明确运算法则与符号意义，将新运算转化为常规整式运算；按定义代入计算，注意运算顺序与括号，可先举例理解规则，再按步骤化简求值，避免直接套用旧习惯。【典例1】（25-26八年级上·江西赣州·期末）对于任意有理数、、、，定义一种新运算：．(1)___________．(2)求的值．(3)当时，请求出（2）的值．【典例2】（25-26八年级上·河南焦作·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：，则8，16，24都是“和谐数”．(1)特例感知：40___________“和谐数”，2026___________“和谐数”．（填“是”或“不是”）(2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明．(3)迁移应用：如图，拼接的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼接到正方形，其边长为99，求阴影部分的面积．【变式1】（24-25七年级下·山东枣庄·期末）对于任意有理数、、、，定义一种新运算：．(1)；(2)对于有理数、，若是一个完全平方式，则；(3)对于有理数、，若，．求的值．【变式2】（24-25八年级上·江西上饶·期末）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称．请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：(1)多项式关于______对称；(2)若关于x的多项式关于对称，求b的值；(3)若整式关于对称，求m的值．期末基础通关练（测试时间：10分钟）1．（25-26七年级上·陕西西安·期末）下列各式计算正确的是（

）A． B． C． D．2．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）已知，则的值为（

）A．5 B．1 C． D．3．（24-25八年级上·四川眉山·期末）已知，则的值为（

）A．27 B．9 C．6 D．14．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）小数0.000065用科学记数法表示为_____．5．（25-26