第二讲 整式乘法（10大必考题型＋知识构建＋题型详解＋过关检测）（解析版）

期末提分题型大串讲之必考题型02——整式乘法题型01：整式乘法化简求值问题题型02：平方差公式与几何图形题型03：用平方差公式简便计算题型04：完全平方公式几何图形题型05：用完全平方公式简便算题型06：完全平方式求字母的值题型07：完全平方式求最值问题题型08：乘法公式变形求值问题题型09：整式乘法实际应用问题题型10：整式乘法与材料阅读题01：整式乘法化简求值问题先化简、再求值：，其中，．【答案】，【知识点】整式的混合运算、多项式乘多项式——化简求值、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，先利用乘法公式与单项式乘以多项式计算整式的乘法运算，再合并同类项得到化简的结果，再把，代入计算即可．【详解】解：．当，时，原式．先化简，再求值，其中，．【答案】，【知识点】已知字母的值，求代数式的值、整式的混合运算、运用平方差公式进行运算【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，先根据整式的运算法则进行化简，再把的值代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握整式的运算法则是解题的关键．【详解】解：原式，当，时，原式．先化简，再求值：，其中．【答案】．【知识点】整式的加减中的化简求值、整式的混合运算【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据完全平方公式和平方差公式展开，再根据整式的加减法计算，然后代入求值即可．【详解】解：原式．当时，原式．先化简，再求值：，其中．【答案】，【知识点】整式的混合运算、已知字母的值，求代数式的值、运用完全平方公式进行运算【分析】此题考查了整式的混合运算和化简求值，先利用完全平方公式和单项式乘以多项式法则计算得到化简结果，再把字母的值代入计算即可．【详解】解：

，

当时，原式．4．先化简，再求值：，其中．【答案】，【知识点】整式的加减中的化简求值、整式的混合运算【分析】本题主要考查整式的混合运算，代入求值，掌握整式的混合运算法则是关键．根据整式的混合运算化简，再代入求值即可．【详解】解：，当时，原式．02：平方差公式与几何图形从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．(1)上述操作能验证的等式是________（填字母）．A．B．C．(2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知，，求的值；②计算：；③计算：．【答案】(1)B(2)①3；②；③2【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形【分析】本题主要考查平方差公式的运用，熟练运用平方差公式进行拆分是解题关键．（1）根据图形左右两边阴影面积相等解题即可．（2）①利用平方差公式计算即可；②利用平方差公式拆分每一项，再相消即可；③利用平方差公式拆分每一项，再相消即可．【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为，所以有，故选：B；（2）解：①，即，而，；②原式；③原式．1．数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象．数形结合的思想就是运用数的严谨和形的直观，将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来．如图①从边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形后，将剩下的阴影部分沿虚线剪开，拼成图②所示的长方形．(1)通过比较图①和图②中阴影部分的面积，可以验证的乘法公式是________；(2)在计算时，可以利用（1）中的结论，请你补全计算过程：解：________(3)利用以上的结论和方法计算：(4)根据你发现的规律填空：________．【答案】(1)(2)，，(3)(4)【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形【分析】本题考查了平方差公式与图形面积、利用平方差公式进行计算，熟练掌握平方差公式是解题关键．（1）图①中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积；图②中阴影部分的面积等于长为、宽为的长方形的面积，由此即可得；（2）利用平方差公式计算即可得；（3）将式子转化为，再利用平方差公式计算即可得；（4）利用平方差公式计算，得出一般规律即可得．【详解】（1）解：图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积，∵图①和图②中阴影部分的面积相等，∴，故答案为：．（2）解：，故答案为：，，．（3）解：．（4）解：，故答案为：．2．如图所示：从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形．(1)上述操作能验证的等式是．A．B．C．(2)已知，，则．(3)应用所得的公式计算：(4)应用所得的公式计算：【答案】(1)B(2)(3)(4)【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形【分析】本题考查了平方差公式的几何意义，平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键．（1）因为图1的面积，图2的面积，得到，即可得到答案；（2）根据平方差公式得到，继而得到；（3）利用平方差公式计算即可；（4）利用平方差公式计算即可．【详解】（1）解：图1的面积，图2的面积，，故选：B；（2）解：，，，，故答案为：；（3）解：；（4）解：．3．【实践操作】从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板后，将剩余部分（阴影）裁剪成四个相同的等腰梯形（如图1所示），然后拼成一个平行四边形（如图2所示）．（1）观察图1，图中阴影部分的面积为________；（2）观察图2，图中平行四边形的底边长为__________；底边上的高为__________；平行四边形的面积为________（不必化简）；【归纳总结】（3）观察图1，图2，可验证的乘法公式为__________；【变式应用】（4）利用上述乘法公式计算：．【答案】（1）；（2）；；；（3）；（4）【知识点】列代数式、整式加减的应用、平方差公式与几何图形【分析】本题考查平方差公式的几何表示，平方差公式的应用（1）根据“阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积”列式即可；（2）结合图1和图2可知：平行四边形的底边长为两个正方形的边长之和，底边上的高为大正方形的边长减去小正方形的边长，再根据平行四边形的面积公式即可列式；（3）根据图1和图2两个图形中阴影部分的面积相等，即可求解；（4）列用（3）得到的公式进行计算即可；表示出图形阴影部分面积是解题的关键．【详解】解：（1）图中阴影部分的面积为，故答案为：；（2）图中平行四边形的底边长为；底边上的高为；平行四边形的面积为，故答案为：；；；（3）∵两个图中的阴影部分的面积相等，即图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，∴，∴可验证的乘法公式为，故答案为：；（4）由（3）知：，即，∴．4．如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）(1)如图1，可以求出阴影部分的面积是_______（写成平方差的形式）．(2)如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是_______．（利用长方形面积公式，写成多项式乘法形式）(3)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式_______．(4)请应用这个公式完成下列各题：①已知，，求的值．②计算：．【答案】(1)(2)(3)；(4)①3；②4【知识点】平方差公式与几何图形【分析】本题考查了列代数式，平方差公式的几何背景及应用，掌握平方差公式的运算是解题的关键．（）根据图形即可求解；（）根据图形即可求解；（）由（）（）的结果即可求解；（）利用平方差公式计算即可求解；把转化为，再利用平方差公式计算即可求解．【详解】（1）解：由图可得，阴影部分的面积是，故答案为：；（2）解：它的宽是，长是，面积是，故答案为：；（3）解：由图、图阴影部分的面积可得，，故答案为：；（4）解：∵，∴，∵，∴，∴；，，，．03：用平方差公式简便计算．用简便方法计算：(1)求的值．(2)求的值．【答案】【知识点】运用平方差公式进行运算【分析】此题考查了平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键．原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果．【详解】解：原式．1．用简便方法计算：(1)； (2)．【答案】(1)6399(2)【知识点】运用平方差公式进行运算【分析】本题主要考查了利用平方差公式进行简便运算，将原式进行正确的变形是解题的关键．（1）利用平方差公式计算即可；（2）利用平方差公式计算即可．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式．2．简便方法计算：．【答案】4【知识点】运用平方差公式进行运算【分析】本题主要考查了平方差公式进行简便运算，熟练掌握知识点是解题的关键．将变形为，利用平方差公式即可求解．【详解】解：．3．用简便方法计算：(1) (2)【答案】(1)(2)1【知识点】运用平方差公式进行运算【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式，是解题的关键．（1）根据平方差公式进行计算即可；（2）根据平方差公式进行计算即可．【详解】（1）解：；（2）解：．4．用简便方法计算：．【答案】【知识点】运用平方差公式进行运算【分析】本题主要考查了平方差公式，先把原式变形为，再利用平方差公式去括号，并计算求解即可．【详解】解：．04：完全平方公式几何图形．如图1，边长为a的正方形是由两个边长分别为，b的正方形①、②（阴影部分）和两个长方形③、④无重叠、无缝隙拼接而成．观察图形，解答下列问题：(1)请用两种不同的方法表示图1中边长为a的正方形的面积．请用图1中三个正方形的面积表示．(2)运用你发现的结论，解决下列问题：①已知，求的值．②如图2是由3个正方形和1个长方形拼接而成，若，，长方形的面积为15，设阴影部分正方形的面积分别为，，求的值．【答案】(1)见解析，(2)①；②34【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，利用完全平方公式变形求解：（1）利用正方形的面积公式以及分割法求正方形的面积，两种方法进行求解即可；（2）①设，，利用（1）中结论进行求解即可；②设正方形，的边长分别为，，根据题意结合完全平方公式变形计算即可．【详解】（1）解：方法一，大正方形面积为；方法二，①②小正方形面积分别为，，③④部分的面积都为，大正方形面积为；∴，∴；（2）解：①由已知得，设，，则有，，∴，∴②设正方形，的边长分别为，，由题意，∵，，∴，，由正方形得，即，由（1）变形得，∴．1．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片（其中A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是边长分别为a、b的长方形），并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．(1)观察图2，请你写出下列三个代数式：之间的等量关系：为_______；(2)若要拼出一个面积为的长方形，则需要A号卡片＿＿张，B号卡片_______张，C号卡片_______张；(3)解答问题：若，则的值为_______；(4)两个正方形如图3摆放，边长分别为，若，则图中阴影部分面积的和为_____．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)．【知识点】多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式在几何图形中的应用、通过对完全平方公式变形求值【分析】本题考查多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式的几何背景及其应用，理解题意，看懂图形，会利用不同方法表示面积，并灵活运用所得结论是解答的关键．（1）用两种方法表示出大正方形的面积，即可得出三者的关系；（2）计算，再根据三个纸片的面积可求解；（3）根据计算求解即可．（4）根据三角形面积公式得到阴影部分的面积和为进行求解，即可解题．【详解】（1）解：由图2知，大正方形的面积为，又可以为，，故答案为：；（2）解：∵A种纸片的面积为，B种纸片的面积为，C种纸片的面积为，∴需A种纸片2张，B种纸片3张，C种纸片7张，故答案为：；（3）解：∵，∴，∴，故答案为：；（4）解：若，则阴影部分的面积和为：；故答案为：．2．【知识技能】已知：，填空：（1）①；②．【数学理解】若x满足，求的值．解：设，则，，∴【解决问题】（2）①若x满足，则；②若x满足，求的值；③如图，已知正方形被分割成个部分，其中四边形与为正方形，若＝，＝，四边形的面积为，求正方形的面积．【答案】（1）①，②；（2）①，②，③【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景掌握完全平方公式的结构特征是正确解题的关键．（1）根据完全平方公式进行解答即可；（2）①设，，由题意得，，根据进行计算即可；②设，，由题意得，，根据代入计算即可；③设，，根据题意得，，，由，代入计算即可．【详解】解：（1）①，，故答案为：；②；；，故答案为：；（2）①设，，，，；②设，，，，；③由题意得，，设，，，，，．3．（1）图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形，(1)观察图②，，，之间的等量关系为_______．(2)若，则______．(3)已知，求的值．【答案】(1)(2)29(3)15【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用【分析】本题主要考查了完全平方公式及其应用，解题关键是熟练掌握完全平方公式．（1）小正方形的边长为，也等于边长为的大正方形的面积减去4个长为，列出等式即可；（2）利用（1）的结论，进行计算得到答案即可；（3）利用（1）的结论，进行计算得到答案即可．【详解】（1）解：，，，故答案为：；（2）解：，，，故答案为：29；（3）解：．4．现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：(1)根据图1，教材已给出关于a、b的关系式：；根据图2，关于a、b的关系式可表示为：________________；根据上面的思路与方法，解决下列问题：(2)如图3，，点是线段上的一点，以为边向两边作正方形，①若两正方形的面积和，求图中阴影部分面积，②若阴影面积为，求的值；(3)在（2）的条件下，请直接写出阴影面积的最大值．【答案】(1)(2)①；②8(3)36【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟知完全平方公式是解题的关键．（1）大正方形面积等于其边长的平方，大正方形面积等于中间小正方形面积加上4个长方形面积，据此用两种方法表示出大正方形面积即可得到答案；（2）①设，则，根据求出的值即可得到答案；②设，则，根据（1）可得，进而得到，即；（3）设，则，根据，得到，据此可得答案．【详解】（1）解：大正方形的面积用面积公式计算为，大正方形面积等于小正方形面积加上4个长方形面积，其面积为，∴关于、的关系式可表示为：；故答案为：；（2）解：①设，∵，两正方形的面积和，∴，∴，∴，∴；②设，∵，阴影面积为，∴，∴，∵，∴，∴，即；（3）解：设，∵∴，∵，∴，∵，∴阴影部分的面积的最大值为36．05：用完全平方公式简便算．简便计算：．【答案】4【知识点】运用完全平方公式进行运算【分析】本题主要考查完全平方公式与有理数的简便计算，掌握完全平方公式的计算是关键．根据题意，运用完全平方公式计算即可．【详解】解：．1．用乘法公式简便计算．(1)； (2)．【答案】(1)1(2)998001【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算【分析】本题考查了乘法公式的应用，掌握完全平方公式，平方差公式是解题的关键．（1）根据平方差公式进计算，即可求解；（2）原式化为，根据完全平方公式进行计算即可求解．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式．2．运用乘法公式简便计算：(1)； (2)．【答案】(1)(2)【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算【分析】本题主要考查了运用完全平方公式和平方差公式进行计算；熟练掌握完全平方公式，平方差公式，是解题的关键．（1）把写成，然后使用完全平方公式进行计算即可；（2）把写成，然后使用平方差公式进行计算即可．【详解】（1）解：；（2）．3．利用乘法公式简便计算：(1)； (2)．【答案】(1)(2)【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算【分析】本题主要考查了完全平方公式，平方差公式，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解答本题的关键．（1）根据完全平方公式解答即可；（2）根据平方差公式解答即可．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式．4．用简便方法计算：(1)； (2)．【答案】(1)10201(2)1【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．（1）利用完全平方公式进行计算即可；（2）利用平方差公式进行计算即可．【详解】（1）解：原式．（2）解：原式．06：完全平方式求字母的值．如果是一个完全平方式，那么．【答案】6或【知识点】求完全平方式中的字母系数【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式可得，求答案即可.【详解】解：∵是一个完全平方式，∴，解得：或.故答案为：6或．1．若是一个完全平方式，那么．【答案】【知识点】求完全平方式中的字母系数【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值．【详解】解：是一个完全平方式，；故答案为：2．若是一个完全平方式，则．【答案】或16【知识点】求完全平方式中的字母系数【分析】本题考查了完全平方式，其特点是：两数的平方和，加上或减去这两个数的乘积的2倍；由题意知，已知两数的平方和，则，由此可求得m的值．【详解】解：∵是一个完全平方式，∴，即，解得：或；故答案为：或16．3．若关于的二次三项式是一个完全平方式，则的值为．【答案】或【知识点】求完全平方式中的字母系数【分析】本题考查完全平方式，熟练掌握完全平方式的形式是解题的关键．利用完全平方式的结构特征判定即可确定．【详解】解：∵是一个完全平方式，∴，∴或，故答案为：或．4．若是关于x的完全平方式，则．【答案】【知识点】求完全平方式中的字母系数【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的特点，结合完全平方公式进行求解即可．【详解】解：由题意，得：，∴；故答案为：．07：完全平方式求最值问题．我们已学完全平方公式：，观察下列式子：，，原式有最小值是；，，原式有最大值是；并完成下列问题：(1)代数式有最（填大或小）值，这个值=．(2)解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为100米的木栏围成一个长方形花圃，为了设计一个尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为米，完成下列任务．①用含的式子表示花圃的面积；②请说明当取何值时，花圃的最大面积是多少平方米？【答案】(1)小，(2)①平方米；②当时，花圃的最大面积为1250平方米【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方式在几何图形中的应用【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键；（1）根据题中所给方法可进行求解；（2）①利用长方形的面积长宽可得结论；②利用题中所给方法即可解决问题．【详解】（1）解：，∵，∴，∴代数式有最小值，最小值为；故答案为小，；（2）解：①由图可得花圃的面积：平方米；②由①可知：，当时，，且，当时，花圃的最大面积为1250平方米．1．我们知道a2≥0，所以代数式a2的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用a2±2ab+b2＝（a+b）2来求一些多项式的最小值．例如，求x2+6x+3的最小值问题．解：∵x2+6x+3＝x2+6x+9﹣6＝（x+3）2﹣6，又∵（x+3）2≥0，∴（x+3）2﹣6≥﹣6，∴x2+6x+3的最小值为﹣6．请应用上述思想方法，解决下列问题：（1）探究：x2﹣4x+5＝（x）2+；（2）代数式﹣x2﹣2x有最（填“大”或“小”）值为；（3）应用：比较代数式：x2﹣1与2x﹣3的大小：（4）如图，矩形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面所围成的提栏的总长是40m，楼栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？【答案】（1）﹣2，1；（2）大，1；（3）x2﹣1＞2x﹣3；（4）当花圃的宽为10m，长为20m时花圃面积最大，最大面积为200m2【知识点】完全平方式在几何图形中的应用【分析】（1）将原式配方即可；（2）将原式配方即可判断；（3）先做差，然后配方，判断配方后的式子大于0即可；（4）设矩形花圃的宽为xm，则长为（40-2x）m，根据矩形的面积公式列出函数关系式，再配方，根据函数的性质求最值．【详解】解：（1）x2-4x+5=x2-4x+4+1=（x-2）2+1，故答案为：-2，1；（2）∵-x2-2x=-（x2+2x）=-（x2+2x+1-1）=-（x+1）2+1，又∵（x+1）2≥0，∴-（x+1）2≤0，∴-（x+1）2+1≤1，∴-x2-2x的最大值为1，故答案为：大，1；（3）x2-1-（2x-3）=x2-1-2x+3=x2-2x+2=（x-1）2+1，∵（x-1）2≥0，∴（x-1）2+1≥1＞0，∴x2-1＞2x-3；（4）设矩形花圃的宽为xm，则长为（40-2x）m，∴矩形的面积S=（40-2x）x=-2x2+40x=-2（x2-20x）=-2（x-10）2+200，∵（x-10）2≥0，∴-（x-10）2≤0，∴-（x-10）2+200≤200，∴当x=10时，S有最大值200（m2），此时，40-2x=20（m），∴当花圃的宽为10m，长为20m时花圃面积最大，最大面积为200m2．2．阅读与思考：我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值．例如，求的最小值．解：，，，所以当时，即当时，有最小值，最小值为1．【直接应用】（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：；（2）当时，多项式有最值，最值是；【知识迁移】（3）代数式的最小值为．【答案】（1）9；（2），大，大，7；（3）6【知识点】多项式乘多项式与图形面积、运用完全平方公式进行运算、求完全平方式中的字母系数【分析】本题主要考查了多项式、完全平方式和多项式的最值，解题关键是熟练掌握利用配方法把多项式写成完全平方式．（1）利用已知条件中的配方法求出答案即可；（2）把所给多项式配方，写成一个完全平方式，根据偶次方的非负性，求出其最值即可；（3）利用分组分解法分解因式，再写成完全平方式，求出其最值即可．【详解】解：（1），故答案为：9；（2），，，当，即时，有最大值，最大值是7，即当时，多项式有最大值，最大值是7，故答案为：，大，大，7；（3），，代数式有最小值，最小值为6，故答案为：6．3．阅读材料，解决问题：对形如的式子称为完全平方式，我们可以直接运用公式进行因式分解，例如；而对于这样无法直接运用公式进行因式分解的代数式，我们可以先适当变形，再运用公式进行因式分解，例如：；(1)如果是一个完全平方式，则

；(2)因式分解：；(3)有时我们还可以仿照上面的方法解决求代数式值的最大（或最小）值问题，例如：，∵，∴，则当时，代数式有最小值，其值为．请问：当

时，代数式有最

（填“大”或“小”）值，其值为

．【答案】(1)(2)(3)；大；15【知识点】运用完全平方公式进行运算、求完全平方式中的字母系数、平方差公式分解因式【分析】（1）由，得，求解即可；（2）将通过配方变形为，再用平方差公式分解因式即可；（3）将通过配方变形为，再根据，得到，即可求解．【详解】（1）解：∵是一个完全平方式，∴，∴，∴；（2）解：；（3）解：∵∴∴则当时，代数式有最大值，其值为15．4．阅读与思考仔细阅读下列材料并完成相应任务．利用因式分解解决代数式的最值问题我们把形如的式子称为完全平方式，除了利用完全平方式进行多项式的因式分解外，也可以将一个多项式进行局部因式分解从而解决代数式的最值问题．例如：．∵，∴，∴，∴当时，取得最小值，最小值为2．任务：(1)代数式的最小值为．(2)求代数式的最大值，并写出相应的x的值．(3)小明的爸爸计划用一段长为8米的篱笆围成一个长方形的小型宠物围栏，请你帮助小明的爸爸规划一下怎样围面积才最大，最大面积为多少？【答案】(1)(2)代数式的最大值为，对应x的值为1(3)小明的爸爸规划一个边长为2的正方形宠物围栏，面积才最大，最大面积为8平方米．【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方式在几何图形中的应用【分析】本题主要考查了非负数的性质、完全平方公式的应用等知识点，利用完全平方公式确定最值问题是解题的关键．（1）根据非负数的性质求解即可；（2）先把原式变形为，再根据非负数的性质即可解答；（3）设当小型宠物围栏的长为x，则宽为，然后列出小型宠物围栏的面积，然后运用配方法求最值即可．【详解】（1）解：∵，∴∴代数式的最小值为．故答案为：．（2）解：∵，，∴，∴当时，代数式的最大值为．（3）解：设当小型宠物围栏的长为x米，则宽为米，则小型宠物围栏的面积为，∵，∴，∴当时，代数式的最大值为4．∴小明的爸爸规划一个边长为2的正方形宠物围栏，面积才最大，最大面积为8平方米．08：乘法公式变形求值问题．若，则．【答案】【知识点】通过对完全平方公式变形求值【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，根据代值计算即可得到答案．【详解】解：∵，∴，∴，故答案为：．1．已知，，则的值为．【答案】16【知识点】通过对完全平方公式变形求值【分析】本题考查了完全平方公式．解答本题的关键是明确题意，利用完全平方公式把式子变形为．根据，，利用完全平方公式把式子变形，可以求得所求式子的值．【详解】解：，，，故答案为：16．2．已知，，则．【答案】【知识点】通过对完全平方公式变形求值【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式变形代入求值即可求解．【详解】解：∵，，∴．故答案为：．3．已知，，则．【答案】1【知识点】通过对完全平方公式变形求值【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式得到，即，即可求出．【详解】解：∵，，∴，即，∴，∴，故答案为：1．4．已知，，则的值为．【知识点】通过对完全平方公式变形求值【分析】本题考查完全平方公式的变形，根据原式化为，然后整体代入计算解题．【详解】解：，故答案为：．09：整式乘法实际应用问题．如图，公园有一块长为米．宽为米的空地，图中空白处有一些樱花树，为了能使新栽中的花有充足的阳光，计划在阴影部分栽种牡丹．(1)请用表示牡丹栽种的面积，结果化为最简；(2)若种植牡丹费用为元/平方米．已知米，米．那么栽种牡丹需要的费用为多少元？【答案】(1)平方米(2)元【知识点】整式加减的应用、多项式乘多项式与图形面积【分析】本题主要考查整式运算与图形面积，理解图示面积的计算，掌握整式的混合运算法则是关键．（1）根据图示，阴影部分的宽为，阴影部分（包括两个空白处）的面积为（平方米），阴影部分两个空白部分的面积为：（平方米），由此即可求解；（2）把米，米代入计算即可．【详解】（1）解：公园有一块长为米．宽为米的空地，根据图示，阴影部分的宽为，∴阴影部分（包括两个空白处）的面积为（平方米），阴影部分两个空白部分的面积为：（平方米），∵计划在阴影部分栽种牡丹，∴牡丹栽种的面积为：（平方米）；（2）解：已知米，米，∴牡丹栽种的面积为（平方米），∵种植牡丹费用为元/平方米，∴（元），∴栽种牡丹需要的费用为元．1．如图，某区有一块长为米，宽为米的长方形广场，规划部门计划在广场内部两个正方形区域修建凉亭，其余部分进行绿化，两个正方形区域的边长均为米．(1)用含有的式子表示绿化的总面积；（结果化成最简形式）(2)若，，绿化成本为100元/每平方米，则完成绿化工程共需要多少元？【答案】(1)平方米(2)元【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、已知字母的值，求代数式的值、整式加减的应用、多项式乘多项式与图形面积【分析】本题考查整式混合运算解应用题，涉及整式乘法运算、整式加减运算及代数式求值等知识，读懂题意，数形结合是解决问题的关键．（1）根据题意，列代数式表示出绿化的总面积，再由整式的乘法运算及整式加减运算法则求解即可得到答案；（2）由（1）知绿化的总面积为，将，代入求解，再乘以绿化成本即可得到答案．【详解】（1）解：由题意可知，绿化的总面积为（平方米）；（2）解：由（1）知绿化的总面积为平方米，当，时，原式，绿化成本为100元/每平方米，完成绿化工程共需要（元）．2．2024年底，国内社交媒体平台流出的视频中某飞机工业集团试飞了一款新型战斗机，独特的三发布局尤为瞩目．小明作为一名国防军事爱好者激动不已，在学校科技艺术节比赛，制作了飞机模型，并用板制作了如图所示的宣传版画，它是由一个三角形，两个梯形组成，已知板（阴影部分）的尺寸如图所示．(1)用含a、b的代数式表示板模型的总面积（结果需化简）；(2)若，，求板总面积．【答案】(1)(2)【知识点】计算单项式乘单项式、单项式乘多项式的应用、通过对完全平方公式变形求值【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，单项式乘以单项式的应用，正确列出板面积的代数式是解题的关键．（1）分别求出三角形和两个梯形的面积，再求和即可得到答案；（2）根据完全平方公式的变形求出的结果即可得到答案．【详解】（1）解：；（2）解：∵，，∴，∴，∴板总面积为．3．小颖家住房的结构如图所示（单位：米），(1)由图可知卧室的面积为平方米．(2)小颖打算把卧室以外的部分铺上地砖，请你帮她算一算至少需要多少平方米的地砖？若某种地砖价格为元/平方米，那么购买所需地砖至少需要多少元？【答案】(1)(2)平方米，元【知识点】列代数式、整式四则混合运算【分析】本题主要考查了代数式表示数量关系，理解图示中的数量关系，掌握代数式表示数或数量关系的书写整式的计算方法是关键．（1）根据图示的数量关系，用字母表示数量关系即可；（2）根据整式的运算法则计算即可．【详解】（1）解：根据图示，卧室的长为米，宽为（米），∴卧室的面积为：（平方米），故答案为：；（2）解：客厅的面积为：（平方米），厨房的长为（米），宽为米，则面积为（平方米），卫生间的长为米，宽为（米），则面积为（平方米），∴（平方米），∴卧室以外的部分的面积为平方米，∵某种地砖价格为元/平方米，∴（元），∴购买所需地砖至少需要元．4．图表示地铁在①站发车人数及②站、③站变化人数．(1)用的代数式表示②站的发车人数；(2)③站发车时，求地铁上最少人数．【答案】(1)(2)人【知识点】整式加减的应用、通过对完全平方公式变形求值【分析】本题考查了整式的加减，非负数的性质，解题的关键是掌握相关知识．（1）用①站发车人数减去②站下次的人数，即可求解；（2）②站的发车人数加③站的上车人数，并将其整理、配方，即可求解．【详解】（1）解：，②站的发车人数为人；（2），③站的发车人数最少有人．10：整式乘法与材料阅读题．阅读下列材料：利用完全平方公式，把多项式变形为的形式，然后运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有广泛的应用．例如利用配方法求的最小值．解：，因为不论取何值，，所以当时，的值最小．所以的最小值为．根据上述材料，解答下列问题：【理解探究】（1）以上解答过程中，主要体现的数学思想是（）A．统计思想

B．数形结合思想

C．转化思想

D．方程思想【类比应用】（2）仿照上述方法，将变形为的形式，并求出最小值；【拓展升华】（3）王大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的长为，宽为，乙菜地的长为，宽为，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由．【答案】（1）C；（2）1；（3），理由见解析【知识点】单项式乘多项式的应用、多项式乘多项式与图形面积、通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用【分析】本题主要考查完全平方式的应用及整式乘法的应用，根据式子进行变换化成完全平方式是解题的关键．（1）根据材料即可解答；（2）利用材料中方法求最小值即可；（3）先表示出甲、乙两块长方形菜地的面积，再作差，对式子进行配方化成完全平方式，求出最大值即可．【详解】（1）以上解答过程中，主要体现的数学思想是转化思想，故选：C；（2）解：，因为不论取何值，，所以当时，的值最小．所以的最小值为1；（3）解：，理由如下：根据题意：甲块长方形菜地的面积为：；乙长方形菜地的面积为：；因为；因为不论取何值，，所以，所以．1．[阅读材料]我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，内种纸片两张拼成了如图（b）所示的一个大正方形．(1)理解应用：观察图（b），用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式．(2)拓展升华：利用上面的等式解决下列问题：①已知，，求的值；②已知，求的值．【答案】(1)理解应用：；(2)拓展升华：①；②2【知识点】多项式乘多项式与图形面积、通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用【分析】本题考查了完全平方公式，灵活运用该公式是解决本题的关键．理解应用：图中阴影部分面积大正方形的面积减去两个长方形的面积，阴影部分的面积两个正方形的面积的和，即可得到等式；拓展升华：①根据拓展升华中的公式，将，，代入即可；②根据拓展升华中的公式，将，且代入即可．【详解】（1）理解应用：图b中阴影部分的面积=图b中阴影部分的面积，∴等式为；（2）拓展升华：①由理解应用可得当，，时，，解得；②∵，且，根据拓展升华中的等式可得，∴．2．阅读下列材料：利用完全平方公式，可以把多项式变形为的形式，进而解决多项式的最大值或最小值问题．例如：①，，．当时，多项式的最小值为；②，，．当时，多项式的最大值为17．根据上述材料解决下列问题：(1)求多项式的最小值，并求出相应的x的值；(2)求多项式的最大值，并求出相应的x的值：(3)如果多项式的最小值是，那么p的值为_______；(4)如图，某学校打算用20米长的篱笆围成一个长方形的花坛，如果设花坛的一边米，那么当____时，该花坛的面积最大，最大面积是_____平方米．【答案】(1)当时，代数式的最小值为4(2)当时，代数式的最大值为55(3)(4)5，25．【知识点】通过对完全平方公式变形求值【分析】考查了配方法的应用和非负数的性质，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．（1）根据阅读材料对进行配方即可求出答案；（2）根据阅读材料对进行配方即可求出答案；（3），根据阅读材料和已知条件即可求出答案；（4）由题意得到长方形的面积，根据阅读材料和已知条件即可求出答案．【详解】（1）解：，，．当时，代数式的最小值为4；（2）解：，，．当时，代数式的最大值为55；（3），，，当时，代数式的最小值为，多项式的最小值是，，，．故答案为：；（4）米，（米，长方形的面积，，长方形的面积，当时，长方形的面积的最大值为25，即时，该花坛的面积最大，最大面积是25平方米．故答案为：5，25．3．阅读材料：我们都知道，于是，．又因为，所以，．所以，有最大值．如图，某农户准备用长米的铁栅栏，一边利用墙，其余边用铁栅栏围成长方形羊圈和一个边长为1米的正方形狗屋．设米．(1)请用含x的代数式表示的长___________（直接写出结果）；(2)设山羊活动范围即图中阴影部分的面积为S平方米，①请用含x的代数式直接表示出S，___________；②山羊的活动范围的面积S能否达到平方米？能，就求出x的值，不能请说明理由．(3)求出山羊活动范围面积S的最大值．【答案】(1)(2)①，②能，或(3)平方米【知识点】运用完全平方公式进行运算、与图形有关的问题(一元二次方程的应用)【分析】此题考查了配方法的应用，列代数式等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．（1）根据得到，整理即可得到答案；（2）①根据列出代数式即可；②当时，得到方程，解方程即可得出答案；（3）先得到，再根据题中的方法即可得到答案．【详解】（1）依题意得∵，∴，∴；故答案为：；（2）①依题意得：，，．故答案为：；②能．当时，，∴，解得或；（3）又因为，所以，，所以，山羊活动范围面积S的最大值是平方米．4．数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，我们可以利用整式乘法中公式变形来解决图形问题．我们已经学过完全平方公式，通过对进行适当的变形，如或，可以使某些问题得到解决．阅读下列材料：若满足，求的值．解：设，，则，而，所以，请仿照上例解决下面的问题；(1)若满足，求的值．(2)如图，正方形的边长为，，，长方形的面积是1000，四边形与都是正方形，四边形是长方形，请计算出图中阴影部分的面积之和．【答案】(1)(2)图中阴影部分的面积之和为2900【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用【分析】本题主要考查完全平方公式与图形面积的计算，掌握完全平方公式的变形计算是解题的关键．（1）根据题意，设，由材料提示方法，运用完全平方公式变形计算即可求解；（2）根据题意，阴影部分的边长分别为，，由正方形的面积计算公式，完全平方公式的变形计算即可求解．【详解】（1）解：根据题意，设，∴，∴；（2）解：∵四边形与都是正方形，∴，∵正方形的边长为，，，∴，，∴，阴影部分的面积为：，根据材料提示，设，∴，，∴原式．一、选择题（本大题共10小题）1．下列运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【知识点】同底数幂的除法运算、运用完全平方公式进行运算、合并同类项、积的乘方运算【分析】本题考查了合并同类项，完全平方公式，积的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．分别根据合并同类项，完全平方公式，积的乘方，同底数幂的除法法则进行计算即可．【详解】解：A，，原计算错误，故本项不符合题意；B，，原计算错误，故本项不符合题意；C，，原计算错误，故本项不符合题意；D，，故本项符合题意；故选：D．2．若与的乘积中不含的一次项，则的值为（

）A．4 B．0 C．1 D．2【答案】D【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．直接利用多项式乘法去括号，由不含一次项得出一次项系数为0，进而得出答案．【详解】解：，与的乘积中不含的一次项，，，故选D．3．如图，小正方形和大正方形相邻，B，C，G三点在同一条直线上，C，D，E三点在同一条直线上，连接，，．若阴影部分的面积为8，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为（）A．12 B．14 C．16 D．18【答案】C【知识点】单项式乘多项式的应用【分析】本题主要考查了整式运算的几何应用，正确得到阴影面积与边长关系是解题的关键．设小正方形的边长为，大正方形的边长为，则，，可得，再由阴影部分的面积为8，可得，即可求解．【详解】解：设小正方形的边长为，大正方形的边长为则，，∴，∵阴影部分的面积为8，∴，即，∴，即大正方形的面积与小正方形的面积之差为．故选：C4．一房屋的结构示意图如图所示（单位：），这家主人打算把卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要地砖（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】单项式乘多项式的应用、计算单项式乘单项式【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式和单项式乘以多项式在几何图形中的应用，根据长方形面积公式分别求出厨房，客厅，卫生间的面积，再把三者的面积求和即可得到答案．【详解】解：，∴至少需要地砖，故选：A．5．已知，则的值等于（

）A． B．2 C．8 D．7【答案】A【知识点】多项式乘多项式——化简求值【分析】本题考查了多项式乘法以及整体代入求值，解题的关键是先将展开．先利用多项式乘多项式法则将展开，然后把已知条件代入展开式进行计算．【详解】解：∵∴，故选：A．6．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，拼一个长为，宽为的大长方形，则需要C类卡片的张数为（

）A．6 B．5 C．3 D．2【答案】B【知识点】多项式乘多项式与图形面积【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形的面积，熟练掌握运算法则以及数形结合思想是解题的关键．先根据多项式乘多项式的法则计算，再求出A类、B类C类卡片的面积，即可得出C类卡片的张数．【详解】解：，∵A类卡片的面积是，B类卡片的面积是，C类卡片的面积是，∴拼拼一个长为，宽为的大长方形需要C类卡片5张．故本题选：B．7．已知

，则的值为（

）A．11 B．6 C．5 D．1【答案】A【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的展开结果即可得到，再代值计算即可得到答案．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴，故选：A．8．如图，在同一平面内，正方形A的边长为，矩形的两边长为和，将正方形A在这个平面内移动的过程中，矩形被正方形A覆盖后剩余部分的面积为S，则S的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】多项式乘多项式与图形面积【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握整式的运算是解题的关键；由题意易得当正方形A完全进入矩形B中，S有最小值，然后问题可求解．【详解】解：由题意得：当正方形A完全进入矩形B中，S有最小值，即为：；故选A．9．下列各式中，不能用平方差公式进行计算的是（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】运用平方差公式进行运算【分析】本题主要考查了平方差公式，利用平方差公式的特征对每个选项进行验证即可得出结论．【详解】解：A、，该选项能用平方差公式进行计算，不符合题意；B、，该选项能用平方差公式进行计算，不符合题意；C、，该选项不能用平方差公式进行计算，符合题意；D、，该选项能用平方差公式进行计算，不符合题意；故选：C．10．数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．在学习整式乘法公式的过程中，每个公式的推导，教材编写者都安排了运用图形面积来加以验证的过程．如图，现有四种方案，其中能借助图形面积验证的正确性的方案是（

）A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④【答案】C【知识点】平方差公式与几何图形【分析】本题主要考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是解题的关键．根据各个图形中各个部分面积之间的关系，用代数式表示各自的面积即可得出结论．【详解】解：方案①中阴影部分面积可以看做两个正方形的面积差，即，也可以看作四个梯形的面积和，即，因此，方案①符合题意；方案②中阴影部分面积可以看做两个正方形的面积差，即，阴影部分也可以看作一个长为，宽为的长方形，则面积为，因此，故方案②符合题意；方案③中阴影部分面积表示为两个正方形的面积差，即，阴影部分也可以看作底为，高为的大平行四边形的面积，则面积为，因此，故方案③符合题意；方案④中阴影部分面积表示为两个正方形的面积差，即，阴影部分也可以看作四个长为，宽为的长方形面积和，即为，因此，故方案④不符合题意，故选：C．二、填空题（本大题共8小题）11．计算：（1）；（2）．【答案】【知识点】计算单项式乘单项式【分析】本题考查了单项式的乘法运算；（1）先计算积的乘方，然后根据单项式乘以单项式进行计算即可求解；（2）先计算积的乘方，然后根据单项式乘以单项式进行计算即可求解．【详解】解：（1）故答案为：．（2）故答案为：．12．若，则．【答案】0【知识点】已知式子的值，求代数式的值、整式乘法混合运算【分析】本题主要考查了整体思想，整式混合运算，整体代入到代数式中求值是解题的关键．根据条件得：，用整式乘法运算法则，求出，然后变形求出结果即可．【详解】解：∵，，∴．故答案为：．13．如果三角形一边长为，这边上的高为，则这个三角形的面积是．【答案】【知识点】计算多项式乘多项式【分析】本题主要考查了三角形的面积，多项式乘多项式的运算，先根据三角形的面积公式列式，再根据多项式乘以多项式的法则计算即可．【详解】解：由题意得：．故答案为：．14．若的展开式中不含和项，则的值为．【答案】【知识点】负整数指数幂、已知多项式乘积不含某项求字母的值、计算多项式乘多项式【分析】本题考查了整式的加减中，不含某项的计算，解方程组，熟练掌握不含某项的意义是解题的关键．根据题意，得，结合展开式中不含和项，得，解方程组即可．【详解】解：根据题意，得，∵展开式中不含和项，∴，解得．∴故答案为：．15．若是一个完全平方式，那么．【答案】【知识点】求完全平方式中的字母系数【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值．【详解】解：是一个完全平方式，；故答案为：16．如果多项式是多项式乘法利用完全平方公式化简后的结果，那么b的值是．【答案】【知识点】求完全平方式中的字母系数【分析】本题主要考查完全平方式，掌握完全平方式的构成特点是解题的关键．多项式的首项和末项分别是和3的平方，那么中间一项是加上或减去与3积的2倍，由此得到答案．【详解】解：解：∵关于x的多项式是一个完全平方式，，，∴．在中，即，∴．故答案为：．17．如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为．已知，，且，则．【答案】【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、完全平方式在几何图形中的应用【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，根据正方形的性质，得到，设，得到，进而得到，进而得到，利用完全平方公式变形计算即可．【详解】解：∵正方形，∴，∴，∴，设，则：，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即：，∴．故答案为：．18．有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为，面积为，图2中阴影部分周长为，面积为，若，则的值为．【答案】/【知识点】整式的混合运算【分析】本题主要考查整式的混合运算，根据题目中的数据，设大长方形的短边长为d，用含a，b，c，d的式子表示出，，，，代入即可求解．【详解】解：设大长方形的短边长为d，∴由图2知，，∴，，，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴的值为．故答案为：．三、解答题（本大题共7小题）19．先化简，再求值：，其中．【答案】，【知识点】运用平方差公式进行运算【分析】本题考查了整式的化简与求值、平方差公式，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．先利用平方差公式和整式的运算法则化简，再代入的值计算即可．【详解】解：，代入，原式．20．先化简、再求值：，其中，．【答案】，【知识点】整式的混合运算、多项式乘多项式——化简求值、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，先利用乘法公式与单项式乘以多项式计算整式的乘法运算，再合并同类项得到化简的结果，再把，代入计算即可．【详解】解：．当，时，原式．21．【阅读理解】已知，求，的值．解：，，，又，，，，，．【学以致用】(1)若，求的值；(2)已知，求，的值．【答案】(1)(2)【知识点】通过对完全平方公式变形求值【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．（1）将变形为即