北京市东城区2025-2026学年高三下学期一模数学试题 含解析

北京市东城区2025-2026学年高三一模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为集合，集合，所以.2．已知复数为纯虚数，则实数（

）A．2 B．1 C．0 D．【答案】A【详解】，因为为纯虚数，所以，且，即.3．双曲线的焦距为（

）A．1 B． C． D．4【答案】D【分析】由双曲线的标准方程求出参数，进而由参数关系求得，从而求得焦距.【详解】由题意得，则，则双曲线的焦距为.4．在中，已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由余弦定理得，，则.5．实数，满足，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】对于B，通过平方法结合条件即可证明不等式恒成立，对于其它选项均可取反例证伪.【详解】对于A，取，此时不成立，故A错误；对于B，，因为，所以该不等式对任意恒成立，故B正确；对于C，取，此时不成立，故C错误；对于D，取，此时不成立，故D错误；6．已知，则实数（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】利用二项展开式项的系数求解验证即可.【详解】由题知，对于等式右边含有的项一定在中，由二项展开式通项公式：，令，此时等式右边含有的项的系数为，又等式左边含有的项的系数为，所以，解得：，当时，等式右边为：，所以即，所以，即满足题意.7．已知为圆的一条弦，弦绕点旋转一周扫过的区域为．若点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先得出区域所形成的图形，然后利用点求出圆心到弦的距离的取值范围，最后利用垂径定理即可求出的取值范围.【详解】设圆心到弦的距离为，圆半径，弦绕旋转一周时，上所有点到的距离范围是，因此扫过的区域是内半径为、外半径为2的圆环，即，因为点，点到的距离平方为，满足恒成立，因此只需满足，即，由垂径定理可知，整理得，随增大而减小，，当时，，当时，，因此的取值范围是.8．在长方体中，，，则（

）A．棱上存在点，使得 B．棱上存在点，使得C．棱上存在点，使得 D．棱上存在点，使得【答案】C【分析】根据题意，不妨设，则，设，则，分别求出，再列式判断AB；对于C，设，则，同理判断CD即可．【详解】解：对于A，如图，不妨设，则，设，则，，当时，则，解得，不符合题意，故A错误；对于B，，，即在棱上不存在点，使得，故B错误；对于C，设，则，，当，则，解得，符合题意，则棱上存在点，使得，故C正确；对于D，，，，即在棱上不存在点，使得，故D错误．9．已知函数的定义域为，对实数，设集合，集合，那么“，”是“为奇函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】必要性，利用新定义化简即可；充分性，先利用新定义化简集合，举反例，其中为非零常数即可.【详解】若为奇函数，则对恒成立，则，，故，，必要性成立；因为，，，所以对于，都有，若，其中为非零常数，则，显然符合，但此时为偶函数，故充分性不成立，则“，”是“为奇函数”的必要不充分条件.10．已知等差数列和的前10项均为正整数，且公差均不为0．若，则的最小值为（

）A．15 B．10 C．9 D．5【答案】B【分析】等差数列和的公差分别为，且，根据题意得，再结合各项均为正整数得且均为整数，最后分和两种情况讨论求解即可.【详解】设等差数列和的公差分别为，且，因为，所以，所以因为等差数列和的前10项均为正整数，即，所以且均为整数，解得且均为整数，要使最小，只需取值最小，所以，当时，即，此时，整理得，因为为正整数，所以，若，则，则，与的前10项均为正整数矛盾，故又，为整数，所以，即，所以又，为整数，故，此时，即，与的前10项均为正整数矛盾，不满足题意；当时，即，此时，因为为正整数，所以，若，则，则，与的前10项均为正整数矛盾，故，又，所以，即，此时令，，则，满足题意；综上，取值最小为，此时的最小值为10.二、填空题11．已知抛物线的准线方程为，那么的焦点到准线的距离为______．【答案】2【详解】抛物线的准线方程为，依题意，，而的焦点为，所以其焦点到准线的距离为.12．已知，则的一个可能值为________．【答案】（答案不唯一）【分析】利用三角函数的诱导公式化简等式，再求解三角方程，得到的通解，可写出一个满足条件的具体值.【详解】∵，，，∴，则，∴.取，得；取，得，均满足条件（答案不唯一）.13．设单位向量，满足．若，则________；若与的夹角为，且，则实数________．【答案】【详解】，因为，所以，所以；由于单位向量，满足，即，因为与的夹角为，所以，整理可得，因为，所以.14．在乐律学中，将一个纯五度音程分成7份得到8个音级，这8个音级的频率构成公比为的等比数列，则________；为研究纯五度音程与纯四度音程的关系，从该等比数列中寻找两项，，使得最小，则________．（参考数据：）【答案】【分析】根据等比数列性质，代入计算求解即可.【详解】由题意；由，令，得，从而从而.15．已知函数的定义域为，且．当时，设为大于1的正整数，给出下列四个结论：①存在，使得且；②方程的解的个数为；③若为方程的解，则的最小值为4；④对任意有理数，存在，使得．其中正确结论的序号是________．【答案】②③④【分析】由题知函数是以2为周期的周期函数.对于①，分与两种情况代入验证即可；对于②，将问题转化为函数与的图象有个交点，再分为奇数与偶数两种情况，数形结合判断；对于③，依次验证，，的情况即可判断；对于④，设，其中且互质，令代入验证即可判断.【详解】因为函数的定义域为，且，所以函数为周期函数，周期为，对于①，因为，，故当时，即，则，解得，与矛盾；当时，即，则，解得，此时，所以，不存在，使得且，①错误；对于②，令，则，则方程的解的个数为等价于的解的个数为,所以函数与的图象有个交点，因为为大于1的正整数，当时，，故当为奇数，与的图象在的每个周期上，均有2交点，在时，有1个交点，故有个交点；故当为偶数时，与的图象在的每个周期上，均有2交点，共有个交点，所以，函数与的图象有个交点，即则方程的解的个数为，②正确；对于③，若为方程的解，则，因为为大于1的正整数，函数为周期函数，周期为，故当时，，不成立；当时，，不成立；当时，，成立；所以，的最小值为4，③正确；对于④，对任意有理数，设，其中且互质，令，由于，，则，因为，函数为周期函数，周期为，所以，即对任意有理数，存在，使得，④正确.三、解答题16．已知函数．(1)若，，求实数的值；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使存在且唯一，求在区间上的取值范围．条件①：；条件②，的最小正周期为；条件③：的最大值与最小值之和为0．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)(2)选择条件①与条件②或选择条件②与条件③，取值范围为；不能选择条件①与条件③【分析】（1）借助三角恒等变换公式将原函数化为正弦型函数后，利用所给条件结合三角函数性质计算即可得.（2）可选条件①与条件②或条件②与条件③，再利用正弦型函数性质分析计算可得对应、的值；不能选择条件①与条件③，利用正弦型函数性质计算可得该情况下，即有无数种可能.【详解】（1），若，则，，则；（2）若选择条件②的最小正周期为，条件③的最大值与最小值之和为0：由，则，即，故，，，有，故，即，当时，，则；若选择条件①，条件②的最小正周期为：由，则，即，故，有，解得，故，当时，，则；不能选择条件①，条件③的最大值与最小值之和为0，理由如下：由，则，，有，故，即，则，故，则，此时有无数种可能，故不唯一，故不能选择条件①与条件③.17．如图，在四棱锥中，，，，，为的中点，．

(1)设平面平面，求证：；(2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由线面平行的判定定理可得平面，再根据线面平行的性质定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，根据面面角向量法计算即可求解.【详解】（1）因为，平面，平面，所以平面，因为平面，平面平面，所以；（2）因为平面，，所以以点为坐标原点，所在直线为轴，平行于直线的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示：

因为，，，所以，则，，，，，，，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量可以为，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量可以为，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.18．某种机床运行三个月后，需对这三项指标是否合格进行检测．现随机抽取10台机床，对指标检测情况统计如下表．用“×”表示该指标不合格，用“○”表示该指标合格．

机床指标12345678910○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○设各机床之间相互独立．用频率估计概率．(1)某台机床运行三个月后，估计这台机床的指标合格的概率；(2)规定指标合格记1分，指标合格记2分，指标合格记2分；若某项指标不合格．该项指标记0分．将一台机床三项指标分数之和作为该机床的评分．现从全体机床中随机抽取两台，估计这两台机床评分总和大于8的概率；(3)设随机变量表示一台机床合格指标的个数．随机抽取10台机床进行检测，记事件=“这10台机床中合格指标个数为0，1，2，3的机床台数分别为1，2，3，4”．判断服从下面哪个分布，事件发生的概率更大．（结论不要求证明）分布101230.20.20.20.4分布201230.10.30.20.4【答案】(1)；(2)；(3)分布2.【分析】（1）直接利用表格信息和频率公式求A指标合格的概率，用频率估计概率；（2）要求两台机床的评分总和大于8，即总和为9或10，对应情况为两台都是5分或者一台5分，另一台4分，用频率估计概率分别计算两种情况的概率，再相加即可.（3）用多项分布概率公式分别计算分布1和分布2下事件发生的概率，进行比较即可.【详解】（1）由表格可知，抽取的10台机床中，A指标合格的机床有6台，用频率估计概率得：A指标合格的概率为.（2）根据表格统计，用频率估计概率：评分为5分（即三项全合格）的机床共4台，即；评分为4分（仅A不合格）的机床共2台，即.要求两台机床的评分总和大于8，即总和为9或10，由于机床互相独立，对应情况及其概率计算如下：情况一：两台都是5分；情况二：一台5分，另一台4分.综上所述，两台机床评分总和大于8的概率.（3）事件的概率为多项分布概率：.观察其形式可知，组合系数相同，仅需比较乘积，即可比较的大小.分布1对应的乘积为；分布2对应的乘积为.因此服从分布2时，事件发生的概率更大.【点睛】用频率估计概率；独立事件可以用概率乘法.19．已知椭圆经过点，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)过点作斜率为的直线与椭圆交于，两点，点不在直线上，直线，分别交直线于点，．求证：四边形为平行四边形.【答案】(1)(2)证明见详解【分析】（1）由椭圆经过点可得，再由离心率求出与的关系，从而求出的值，即可求出椭圆方程；（2）假设直线AB方程，联立椭圆方程，运用韦达定理把相关变量，通过证明斜率相等来得到直线平行，再由两组对边平行证明四边形为平行四边形.【详解】（1）把点代入，得解得，所以，椭圆的方程为：;（2）设直线AB方程为,,那么化简可得，根据韦达定理可知，直线AE方程为,所以,点，直线BE方程为,所以,点,,所以，,即,同理，,所以，,即,故四边形为平行四边形.【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,解题的关键是把证明四边形为平行四边形转化为证明,,结合韦达定理可得，，进而让问题得到证明，考查计算能力、逻辑推理、数学抽象能力，属于中档题.20．已知函数的定义域为，，函数．对任意，曲线在点处的切线方程为．(1)求的最小值；(2)讨论的单调性；(3)已知，求过点且与曲线相切的直线的条数．【答案】(1)(2)在上单调递增(3)【分析】（1）由切线方程可得，进而得到，利用导数求的最小值；（2）对求导，分析导数在定义域内的正负，确定的单调区间；（3）设切点为，根据切线过点，结合切线方程建立关于的方程，将问题转化为该方程在内的解的个数，构造新函数，利用导数分析新函数的单调性、极值与端点趋势，结合已知条件判断解的个数.【详解】（1）由切线性质得，因此：，时，令得，时，单调递减；时，单调递增；故最小值为；（2）对求导：，令，对求导：，令，得，当时，单调递减；当时，单调递增；可知最小值为，故恒成立，因此在上单调递增；（3）设曲线的切点为，切线方程为：，已知切线过点，代入切线方程，得，令，求切线条数，等价于求在定义域上的零点个数，对求导，结合，得，由第二问结论在上恒成立，当时，单调递增；当时，单调递减；即在处取得最大值，已知，代入得：，因此是的一个零点，对应1条切线；在上单调递增，因此对任意，有，该区间无零点；同理，在上单调递增，因此对任意，有，该区间无零点；时：，由第一问结论，在上单调递增，因此，故，当处的函数值：，代入得：，