北师大版七年级数学（上）有理数除法衔接课教案

北师大版七年级数学（上）有理数除法衔接课教案

一、数学本质分析与教学定位

1.1有理数除法的数学内涵与核心地位

有理数除法是初中数学“数与代数”领域的基石内容之一，它不仅是算术运算向代数运算过渡的关键节点，更是后续学习分式、方程、函数等核心概念的运算基础。从数学本质上看，有理数除法是乘法的逆运算，这一关系构成了数系运算的完备性。在七年级上学期的数学体系中，有理数除法承接了加法、减法和乘法的学习，完成了有理数四则运算的闭环，为学生构建完整的数域运算逻辑奠定了决定性基础。

本课所涉及的“除以一个数等于乘这个数的倒数”的法则，其背后蕴含了深刻的数学结构思想——运算的转化与统一。将除法转化为乘法，不仅简化了运算过程，更重要的是揭示了数学运算之间的内在联系与对称美，体现了数学追求简洁与统一的核心理念。这种转化思想是数学中“化归思想”的典型体现，对培养学生的数学思维能力和策略意识具有不可替代的作用。

1.2学情分析与教学挑战

学生在学习本课前已具备的知识与经验基础：

1.整数、分数、小数的除法运算：小学阶段已熟练掌握非负有理数的除法运算技能。

2.有理数的乘法运算：包括符号法则、绝对值的运算，特别是“同号得正，异号得负”的符号规则。

3.倒数的概念：已理解并掌握求一个非零数倒数的方法。

4.运算律的初步认识：对乘法交换律、结合律有基本了解。

然而，学生在衔接阶段面临的主要认知障碍与挑战包括：

1.符号处理的负迁移：从小学的非负数运算扩展到全体有理数时，符号的介入会打破学生原有的认知平衡，容易产生混淆和错误。

2.运算意义的理解断层：学生对“除法意义”的理解往往局限于“平均分”的直观模型，难以自然扩展到有理数范围内，特别是当除数是负数或被除数是负数时，原有的直观模型解释力减弱。

3.法则的机械记忆倾向：学生容易将“除以一个数等于乘这个数的倒数”作为孤立的口诀进行机械记忆，而忽略其内在的数学逻辑和推导过程，导致在复杂情境中无法灵活应用。

4.“0”的特殊性处理：对“0不能作除数”的理解往往停留在规定层面，缺乏对其数学本质的理解。

1.3核心素养指向与教学目标设计

基于《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养导向，结合有理数除法的数学本质，设定以下三维教学目标：

知识与技能目标：

1.理解有理数除法的意义，掌握有理数除法的运算法则，能够准确、熟练地进行有理数除法运算。

2.理解倒数的概念在除法转化为乘法过程中的核心作用，掌握求一个有理数（零除外）的倒数的方法。

3.能够运用有理数除法法则解决简单的实际问题，理解除法在实际情境中的意义。

过程与方法目标：

1.经历从具体实例到一般规律的探究过程，通过观察、比较、归纳，自主发现有理数除法的运算规律，发展抽象概括能力和归纳推理能力。

2.体会“转化”的数学思想方法，即将除法运算转化为乘法运算，体验数学知识之间的内在联系和统一性。

3.通过解决实际问题，建立数学模型，发展应用意识和分析、解决问题的能力。

情感、态度与价值观目标：

1.在探究有理数除法法则的过程中，感受数学的严谨性和逻辑性，培养科学探索精神和理性思维。

2.体会数学运算的简洁美与统一美，增强学习数学的兴趣和自信心。

3.通过数学史料的渗透（如《九章算术》中的相关记载），感受数学文化的悠久与深厚，培养民族自豪感。

1.4教学重点与难点解构

教学重点：有理数除法法则的理解与运用。

1.解构：重点的突破关键在于让学生不仅“知其然”（法则内容），更要“知其所以然”（法则的推导过程与合理性）。需要通过多层次、多角度的实例，引导学生自主发现“除法转化为乘法”的规律，理解“倒数”在转化中的桥梁作用。

教学难点：除法法则的推导过程；对“0不能作除数”的深层次理解；在复杂情境中灵活运用法则。

1.突破策略：

1.2.情境化引入：设计贴近学生生活经验的问题情境，让抽象的运算具有现实意义。

2.3.可视化辅助：利用数轴、温度计等直观模型，帮助理解负数参与的除法意义。

3.4.探究式学习：设计层层递进的探究活动，让学生在尝试、纠错、归纳中自主构建法则。

4.5.变式训练与辨析：通过精心设计的正误辨析题、变式计算题，深化对法则本质的理解，提升思维的深刻性和批判性。

二、教学准备与资源设计

2.1教师准备

1.深度研读材料：

1.2.北师大版《数学》七年级上册教科书及教师用书。

2.3.《义务教育数学课程标准（2022年版）》中对“数与运算”部分的要求。

3.4.相关数学史资料，特别是关于负数运算发展的历史片段。

4.5.关于有理数除法的学术论文与教学案例研究，把握前沿教学理念。

6.多媒体课件设计与制作：

1.7.设计包含问题情境动画、算式动态推导、数轴演示、思维导图总结等环节的高质量课件。

2.8.课件应注重交互性，预留学生思考与回答的空间。

3.9.准备与生活实际紧密相关的图片、短视频素材（如气温变化、海拔升降、股票涨跌等）。

10.教具与学具准备：

1.11.温度计模型（可标记负温度）、海拔示意图卡片。

2.12.设计“算式卡片”用于课堂探究活动。

3.13.准备小组合作学习记录单。

14.预评估设计：

1.15.设计一份简短的课前诊断小测验，涵盖整数除法、分数倒数、有理数乘法等内容，以精准把握学生起点。

2.2学生准备

1.知识回顾：复习有理数的乘法法则、倒数的概念及求法。

2.思维准备：预习教材相关内容，尝试思考“除法能不能像乘法一样有简单的符号法则”。

3.学具准备：直尺、笔记本、课堂练习本。

2.3教学环境与技术整合

1.教室配备交互式智能白板，支持动态书写与演示。

2.准备学生即时反馈系统（如答题器或在线互动平台），用于课堂即时检测与数据收集。

3.规划小组合作学习的空间布局，便于学生进行讨论与展示。

三、教学实施过程详案（90分钟）

第一环节：创设情境，孕伏新知（时间：12分钟）

步骤1：现实问题导入，引发认知需求

师：（播放一段天气预报视频片段）同学们，气象预报说，某地今天中午的气温是8℃，从中午到午夜，气温均匀下降了16℃。请问午夜的气温是多少摄氏度？我们如何列式？

生：（思考后回答）8-16=-8（℃）。

师：很好。现在换个角度问：如果已知气温从中午到午夜均匀下降了16℃，最终达到-8℃，求这个过程经过了多长时间？我们可以假设每小时气温变化相同。这该如何思考？

（引导学生意识到，这需要用到除法：总变化量÷时间=单位时间变化量。但这里总变化量是-16℃，最终与初始的温差也是-16℃，涉及负数除法。）

步骤2：激活旧知，搭建桥梁

师：在解决新问题前，我们先回顾一下老朋友。请快速计算：

1.3

×

4

=

?

3\times4=?

3×4=?\quad12

÷

4

=

?

12\div4=?

12÷4=?\quad12

÷

3

=

?

12\div3=?

12÷3=?

2.(

−

3

)

×

4

=

?

(-3)\times4=?

(−3)×4=?\quad(

−

12

)

÷

4

=

?

(-12)\div4=?

(−12)÷4=?（学生可能遇到困难）

3.2

×

_

_

=

1

2\times\_\_=1

2×__=1（这个空怎么填？）这用到了什么概念？

生：填1

2

\frac{1}{2}

21​，用到了倒数概念，乘积为1的两个数互为倒数。

师：非常棒！那么-2的倒数呢？2

3

\frac{2}{3}

32​的倒数呢？

（通过快速问答，巩固倒数概念，为除法转化为乘法做最关键的准备。）

步骤3：提出核心问题，明确学习目标

师：我们已经知道，在正数范围内，除法是乘法的逆运算。那么在引入了负数之后，有理数的除法该如何进行？它的运算法则是什么？它与我们刚复习的倒数有什么神秘的联系？今天，就让我们化身数学侦探，一起揭开“有理数除法”的奥秘。

（板书优化后的课题：有理数的除法——转化与统一的艺术）

第二环节：合作探究，建构法则（时间：25分钟）

步骤1：特殊到一般，初步感知规律

探究活动一：计算与观察

将学生分成四人小组，分发探究学习单，要求计算并观察下列各组算式，寻找规律：

1.(

+

12

)

÷

(

+

3

)

=

?

(+12)\div(+3)=?

(+12)÷(+3)=?\quad(

+

12

)

×

(

+

1

3

)

=

?

(+12)\times(+\frac{1}{3})=?

(+12)×(+31​)=?

2.(

−

12

)

÷

(

−

3

)

=

?

(-12)\div(-3)=?

(−12)÷(−3)=?\quad(

−

12

)

×

(

−

1

3

)

=

?

(-12)\times(-\frac{1}{3})=?

(−12)×(−31​)=?

3.(

−

12

)

÷

(

+

3

)

=

?

(-12)\div(+3)=?

(−12)÷(+3)=?\quad(

−

12

)

×

(

+

1

3

)

=

?

(-12)\times(+\frac{1}{3})=?

(−12)×(+31​)=?

4.(

+

12

)

÷

(

−

3

)

=

?

(+12)\div(-3)=?

(+12)÷(−3)=?\quad(

+

12

)

×

(

−

1

3

)

=

?

(+12)\times(-\frac{1}{3})=?

(+12)×(−31​)=?

学生计算、讨论。教师巡视指导，重点关注学生如何处理符号。

步骤2：汇报发现，引导归纳

小组代表汇报计算结果及发现。

生：我们发现，每一组两个算式的结果都相等。

师：结果相等！这是一个惊人的发现。那么，左右两边的算式在形式上有什么不同？

生：左边是除法，右边是乘法。而且，右边乘的是左边除数的倒数。

师：眼光犀利！能否用更数学的语言概括这个发现？

引导学生尝试表述：除以一个数，等于乘这个数的倒数。

师：这个“数”可以是任何数吗？

生：（思考后）不能是0，因为0没有倒数。

师：完美！这就是有理数除法最重要的法则。

步骤3：数理深究，验证与理解

探究活动二：为什么可以这样转化？

师：我们发现了规律，但作为严谨的数学学习者，我们还要问：为什么可以这样转化？以(

−

12

)

÷

(

−

3

)

=

(

−

12

)

×

(

−

1

3

)

(-12)\div(-3)=(-12)\times(-\frac{1}{3})

(−12)÷(−3)=(−12)×(−31​)为例，谁能从除法的定义来解释？

（此环节是难点，需要教师搭建脚手架。）

师：根据除法的定义，a

÷

b

=

c

a\divb=c

a÷b=c意味着c

×

b

=

a

c\timesb=a

c×b=a。现在我们要验证(

−

12

)

×

(

−

1

3

)

(-12)\times(-\frac{1}{3})

(−12)×(−31​)是否满足这个定义。

计算：[

(

−

12

)

×

(

−

1

3

)

]

×

(

−

3

)

=

?

[(-12)\times(-\frac{1}{3})]\times(-3)=?

[(−12)×(−31​)]×(−3)=?

引导学生运用乘法结合律和倒数的定义：

[

(

−

12

)

×

(

−

1

3

)

]

×

(

−

3

)

=

(

−

12

)

×

[

(

−

1

3

)

×

(

−

3

)

]

=

(

−

12

)

×

1

=

−

12

[(-12)\times(-\frac{1}{3})]\times(-3)=(-12)\times[(-\frac{1}{3})\times(-3)]=(-12)\times1=-12

[(−12)×(−31​)]×(−3)=(−12)×[(−31​)×(−3)]=(−12)×1=−12

正好等于被除数。这就从定义上证明了转化的正确性。

让学生选择另一组算式进行类似验证，深化理解。

步骤4：符号法则的归纳

师：我们再把目光聚焦到商的符号上。观察刚才的四组算式，商的符号与谁有关？有怎样的关系？

引导学生对比被除数与除数的符号：

同号相除得正，异号相除得负。

师：这与我们学过的什么法则很像？

生：有理数乘法的符号法则！

师：对！这说明有理数除法在符号法则上与乘法是统一的。因此，我们也可以说：两数相除，先确定符号（同号得正，异号得负），再将绝对值相除。

第三环节：分层精练，固化技能（时间：20分钟）

练习设计遵循“掌握理解——熟练应用——灵活转化”的梯度：

层次一：基础巩固（法则的直接应用）

1.口答：

(

−

18

)

÷

6

=

?

(-18)\div6=?

(−18)÷6=?\quad24

÷

(

−

8

)

=

?

24\div(-8)=?

24÷(−8)=?\quad(

−

15

)

÷

(

−

5

)

=

?

(-15)\div(-5)=?

(−15)÷(−5)=?

0

÷

(

−

5

)

=

?

0\div(-5)=?

0÷(−5)=?\quad(

−

3

4

)

÷

(

−

2

3

)

=

?

(-\frac{3}{4})\div(-\frac{2}{3})=?

(−43​)÷(−32​)=?

2.计算：

(

−

36

)

÷

9

(-36)\div9

(−36)÷9\quad(

−

5

8

)

÷

(

−

5

6

)

(-\frac{5}{8})\div(-\frac{5}{6})

(−85​)÷(−65​)\quad0

÷

(

−

2

7

)

0\div(-\frac{2}{7})

0÷(−72​)

(

−

1

)

÷

(

−

1

3

)

(-1)\div(-\frac{1}{3})

(−1)÷(−31​)\quad3.5

÷

(

−

7

8

)

3.5\div(-\frac{7}{8})

3.5÷(−87​)

层次二：辨析明理（深化对法则和概念的理解）

1.判断正误，并说明理由：

(1)任何数的倒数都小于它本身。（）

(2)两数相除，商一定小于被除数。（）

(3)如果a

÷

b

>

0

a\divb>0

a÷b>0，那么a

a

a和b

b

b同号。（）

(4)0

÷

a

=

0

0\diva=0

0÷a=0(a

≠

0

a\neq0

a=0)。（）

2.思考：

(1)一个数与它的倒数相等，这个数是______。

(2)一个数与它的相反数相等，这个数是______。

(3)一个数与它的相反数的倒数相等，这个数是______。

（此题综合考察倒数、相反数概念，富有思维挑战性。）

层次三：综合应用（法则的灵活运用与简化计算）

1.计算：

(

−

3

4

)

÷

(

−

5

8

)

÷

(

−

1

2

)

(-\frac{3}{4})\div(-\frac{5}{8})\div(-\frac{1}{2})

(−43​)÷(−85​)÷(−21​)

(

−

48

)

÷

8

÷

(

−

3

)

(-48)\div8\div(-3)

(−48)÷8÷(−3)

（强调运算顺序，可以引导学生比较将除法统一转化为乘法后的运算简便性。）

2.简便运算（体会转化带来的优势）：

(

−

7

8

)

÷

(

−

7

12

+

5

6

−

3

4

)

(-\frac{7}{8})\div(-\frac{7}{12}+\frac{5}{6}-\frac{3}{4})

(−87​)÷(−127​+65​−43​)

（提示：先计算括号内，或考虑将除法分配到括号中？引发争议后指出除法对加减法没有分配律，必须先将括号内算出一个数再除，巩固运算顺序。）

第四环节：实际建模，拓展升华（时间：18分钟）

步骤1：回归生活，解决问题

呈现导入环节的气温问题：

“某地中午气温8℃，到午夜气温变为-8℃，已知气温是均匀下降的，求从中午到午夜经过了多少小时？（假设每小时下降2℃）”

引导学生列式：总温差=最终温度-初始温度=(

−

8

)

−

8

=

−

16

(-8)-8=-16

(−8)−8=−16（℃）

所需时间=总温差÷每小时温差=(

−

16

)

÷

(

−

2

)

=

8

(-16)\div(-2)=8

(−16)÷(−2)=8（小时）

结合数轴或温度计模型进行直观解释：从8℃到-8℃，总共下降了16个“刻度”，每小时降2个“刻度”，所以需要8小时。商为正数，表示时间这个量总是正的。

步骤2：跨学科联系，体现应用价值

出示问题：

1.（物理）一辆汽车在一条东西走向的公路上行驶，规定向东为正。若它以-60千米/小时的速度行驶2小时，它的位移是多少？如何用除法理解速度、时间与位移的关系？

（速度=位移÷时间，所以位移=速度×时间=(

−

60

)

×

2

=

−

120

(-60)\times2=-120

(−60)×2=−120千米，表示在出发点西边120千米处。反过来，已知位移和时间求速度，就会用到除法。）

2.（经济）某公司股票本周内连续五天涨跌记录如下（单位：元）：+0.8,-0.5,-0.3,+0.6,-0.4。求这五天该股票的平均每日涨跌额。

（需要将总涨跌额求和后再除以天数，涉及正负数的加法与除法。）

步骤3：数学文化渗透

简要介绍负数及运算的发展史：在中国古代数学巨著《九章算术》的“方程”章中，就明确提出了“正负术”，即正负数的加减运算法则，这是人类数学史上光辉的一页。而负数的乘除法规则在欧洲直到17世纪才被广泛接受。通过数学史的融入，增强学生的文化自信和探索精神。

第五环节：反思总结，结构整合（时间：10分钟）

步骤1：个人反思与梳理

给学生2分钟时间，在笔记本上用自己的语言回答：

1.今天学习的核心内容是什么？（有理数除法法则）

2.这个法则是如何推导出来的？（通过观察、归纳、验证）

3.这个法则的核心思想是什么？（转化——将除法转化为乘法；统一——符号法则与乘法统一）

4.在学习过程中，你最容易出错的地方在哪里？需要注意什么？

步骤2：师生共建知识网络

教师邀请学生分享反思成果，同时利用板书或思维导图软件，动态构建本节课的知识结构图：

有理数的除法

├──意义：乘法的逆运算

├──法则：

│├──文字表述：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。

│└──符号表述：a÷b=a×(1/b)(b≠0)

├──运算步骤：

│├──1.确定符号：同号得正，异号得负

│├──2.绝对值相除（或转化为乘倒数）

│└──3.结果化为最简形式

├──核心思想：转化思想（化归思想）

├──特殊数：

│├──0除以任何非零数得0

│└──0不能作除数（数学规定，无意义）

└──应用：解决实际问题（温度、位移、平均等）

步骤3：布置分层作业

1.必做题：教材对应章节练习题，巩固基本法则。

2.选做题：

1.3.探究：a

÷

b

a\divb

a÷b与b

÷

a

b\diva

b÷a有什么关系？a

÷

(

−

b

)

a\div(-b)

a÷(−b)与(

−

a

)

÷

b

(-a)\divb

(−a)÷b呢？

2.4.实践：收集生活中至少两个可以用有理数除法解决的实际问题，并尝试解答。

3.5.挑战：计算1

1

×

2

+

1

2

×

3

+

1

3

×

4

+

.

.

.

+

1

99

×

100

\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\frac{1}{3\times4}+...+\frac{1}{99\times100}

1×21​+2×31​+3×41​+...+99×1001​。

（提示：1

n

(

n

+

1

)

=

1

n

−

1

n

+

1

\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}

n(n+1)1​=n1​−n+11​，将加法转化为加减混合运算，体会“转化”思想在更复杂问题中的应用。）

步骤4：课堂结束语

师：同学们，今天我们共同完成了一次从已知到未知的数学探索。有理数除法法则的获得，不仅仅是一个结论，更是一种思想方法的胜利——转化的思想。它像一座桥梁，连接了除法与乘法，让我们的运算世界变得更加简洁和统一。希望同学们在今后的学习中，能经常运用这种“转化”的智慧，去解决更多、更复杂的数学问题。

四、教学评价设计

4.1过程性评价

1.课堂观察评价量表：

1.2.参与度：是否能积极投入情境思考、小组讨论和回答问题。

2.3.思维品质：在探究活动中，观察、比较、归纳的能力表现；在辨析环节中，批判性思维的展现。

3.4.合作交流：在小组活动中，是否能清晰表达自己的观点，倾听并吸收他人的意见。

4.5.技能掌握：在分层练习环节，计算的准确性、规范性和速度。

6.课堂即时反馈：

1.7.利用互动答题系统进行关键概念（如倒数、符号法则）的快速检测，实时统计正确率，调整教学节奏。

2.8.通过学生板演和口头表述，诊断其对算理的理解程度。

4.2形成性评价

1.课后作业分析：对必做题和选做题的完成情况进行批改与分析，重点分析错误类型（是符号错误、倒数求错还是运算顺序错误），为后续教学提供个性化指导依据。

2.学习反思日记：要求学生用一段话记录本节课最大的收获和仍存在的困惑，教师据此了解学生的元认知发展情况。

4.3评价的多元化与增值性

本设计的评价不仅关注运算结果的正确性（知识与技能），更注重对探究过程的参与、数学思想的体悟、问题解决能力的考察（过程与方法、情感态度价值观）。通过设计开放性的选做题和实际问题，为不同层次的学生提供展示平台，实现评价的差异性，促进每一位学生在原有基础上的发展。

五、教学反思与优化预设

本节教学设计立足于数学核心素养，以“转化思想”为主线，力图实现以下几个方面的突破：

1.从“教法则”到“悟思想”的转变：设计通过完整的“情境-探究