新教材高中数学第4章概率与统计独立性与条件概率的关系导学案新人教B版选择性必修第二册

4.1.3独立性与条件概率的关系

品课阳新园法](教师独具内容)

课程标准：结合占典概型，了解条件概率与独立性的关系.

教学重点：会判断条件概率与独立性的关系.

教学难点：用条件概率与独立性的关系求解简单的实际问题.

核心概念掌握

对应学生用书PO：；3

HEXINGAINIANZHANGWO

导学

知识点一相互独立的概念

(1)相互独立的定义

设4Z?为两个事件，如果尸(仍一方小个夕(0,则将事件才与事件〃相互独立.

(2)相互独立事件

事件M或份发生对事件以或用发生的概率”没有影响,这样的两个事件称为相互独立

事件.

知识点二独立性的充要条件

当PS>0时，事件.4与8独立的充要条件是〃(/1|0=0]/(4.

假面拓展

1.若事件力与8相互独立，则力与7,7与8,力与Z也相互独立.

2.若48为相互独立事件，则〃(力而=尸(力)尸(而，该性质可推广为：若4,4,4,…，

4相互独立，那么这〃个事件同时发生的概率等于各个字件发生的概率的积，即2(44…4)

=/(4)2(4)…尸(4).

3.〃(M5)=PC4)〃(⑤使用的前提是46为相互独立事件，也就是说,只有相互独立的两

个事件同时发生的概率，才等于这两个事件发生的概率的积.

施评价自测

1.判一判(正确的打“J”，错误的打“义”)

(1)不可能事件与任何一个事件相互独立.()

(2)必然事件与任何一个事件相互独立.()

(3)当户(4>0时，如果事件力与事件〃相互独立，则P(04)=户(而.()

答案(1)J(2)J(3)J

2.做一做(请把正确的答案写在横线上)

(1)甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率为().8和0.7.

那么，在一次预报中，甲、乙两站预报都准确的概率为________.

(2)一件产品要经过两道独立的工序，第一道工序的次品率为a,第二道工序的次品率为

6,则该产品的正品率为.

19___

(3)已知力，8是相互独立事件，且产(力)=5,P^B)=-,则尸(48)=,P(A\B)

乙J

11

--

答案(1)0.56(2)(l-a)(l-b)3)62

核心素养,形成

对应学生用书IM38

HEXINSUYANGXINGCHENG

题型一事件独立性的判断

例1判断下列各对事件是不是相互独立事件：

(1)已知产(知面=0.6,P(7)=0.4,判断事件力与8是否独立;

(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白

球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；

(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”.

［解］(DPC4)=1一尸(N)=0.6=尸(4|B).

所以事件A与夕互为独立事件.

(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为?若这一事件发生了，则“从

O

4

剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为若前一事件没有发生，则后一

事件发生的概率为，可见，前一事件是否发生，对后一耳件发生的概率有影响，所以两者不

是相互独立事件.

⑶记A：出现偶数点,8：出现3点或6点，则A={2,4,6),B={3,6),AB=(6),：,P(A)

P(殓=；=g,尸(疝5)=《，

bZb3b

・•・一(力卤=/(力)/(而,

・••事件力与6相互独立.

点睛

(1)利用相互独立事件与条件概率的关系可以准确地判断两个事件是否相互独立，这是用

定量方法计算，较准确，必须熟练掌握.

(2)判别两个事件是否为相互独立事件也可以从定性的角度进行分析，即看一个事小的发

生对另一个事件的发生是否有影响.没有影响就是相互独立事件，有影响就不是相互独立事

件.

［跟踪训练1］某班主任对全班30名男生进行了作业量多少及是否喜欢玩电脑游戏的调

查，数据如下表：

认为作业多认为作业不多

喜欢玩电脑游戏128

不喜欢玩电脑游戏28

从这30名男生中随机抽取一名，

(1)求该男生喜欢玩电脑游戏的概率；

(2)判断“喜欢玩电脑游戏”与“认为作业多”是否独立.

12OO

解(1)设事件力为“喜欢玩电脑游戏”，则户(力)=1不一=三.

JU<5

(2)设事件8为“认为作业多"，则月|8表示在认为作业多的条件下，喜欢玩电脑游戏,

则PC4㈤味专由P(A\B)^P(A),得“喜欢玩电脑游戏”与“认为作业多”不独立.

题型二相互独立事件概率的计算

12

例2甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为弓与

20

(1)甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；

(2)甲、乙两人在罚球线各投球两次，求这四次投球中至少一次命中的概率.

［解］(D记“甲投一次命中”为事件4“乙投一次命中”为事件8则代用=1,P⑦

2/一、1,一、3

=三，A)=~,P［B}=-

・••恰好命中一次的概率为P=P(A1)+P(力而

=P［A)PCB)+PCA)P(B)

=TO=2,

⑵设事件“甲、乙两人在罚球线各投球两次均不命中”的概率为则

7?.=/>(JnJn^n7)

=PCA)P(A)PCB)P<~B)

__9

=而

Qi

・•・甲、乙两人在罚球线各投球两次，至少一次命中的概率为Q1—4=旃.

点睛

(1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤

①首先确定各事件之间是相互独立的；

②确定这些事件可以同时发生；

③求出每个事件的概率，再求积.

⑵使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件

是相互独立的，而且它们同时发生.

［跟踪训练2］小王某天乘火车从重庆到上海去办事,若当天从重庆到上海的三列火车正

点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9,假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求：

(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；

(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率.

解用4B,。分别表示这三列火车正点到达的事件，则产(冷=0.8,〃(而=0.7,P9

=0.9,

所以尸(N)=0.2,P(B)=0.3,P(7)=0.1.

(1)由题意得/1,〃，。之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为

PX=PGBO+6)+P{ABC)

=尸(7)尸(皮尸(0+/冷尸(石)P(。+尸储)P(0Z)

=0.2X0.7X0.9+0.8X0.3X0.9+0.8X0.7X0.1=0.398.

(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为

PZ=\-PCA~B'C)

=I-P(A)PCB)PCC)

=1-0.2X0.3X0.1=0.994.

题型三相互独立事件的综合应用

93

例3甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是1和不假设两人射击是否击中目标

相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响.

(1)求甲、乙各射击一次均击中目标的概率；

(2)求甲射击4次，恰有3次连续击中目标的概率；

(3)若乙在射击中出现连续2次未击中目标则会被终止射击,求乙恰好射击4次后被终止

射击的概率.

［解］(1)记事件才表示“甲击中目标”，事件8表示“乙击中目标”.

依题意知，事件力和事件〃相互独立，

因此甲、乙各射击一次均击中目标的概率为

231

夕(力⑼=P(A)P(而=-：＜-=-

J，

(2)记事件4表示“印第，次射击击中目标”(其中/=1,2,3,4),并记“甲4次射击恰

有3次连续击中目标”为事件C,则屈444,且444元与屈而是互斥事

件.

由于4,42,&4之间相互独立,

所以4与IJ"，J=l,2,3,4,且/云力之间也相互独立.

2

由于A/li)=P(4)=-(4)=尸(4)=点

O

故P(O=P^A\AZAAA\A

=P(4)P(4)/(4)P(1j+

尸(五)P(4)P(4)/(4)

二。4+9电噂

(3)记事件8表示“乙第，次射击击中目标”(其中，=1,2,3,4),并记事件〃表示“乙

在第4次射击后终止射击”，

则D=B\B±B3BAUBB3B*,

且BB旦BA马BB只仇是互斥事件.

由于8,员，B、,4之间相互独立，

所以8与力式八J=1,2,3,4,且/W力之间也相互独立.

3

由于以㈤=：（『=1,2,3,4）,

故尸S=P（笈/"62BBBsB）

=尸（8成瓦瓦）+P（五星瓦瓦）

=尸（加产（员）P（瓦）P（瓦）+〃（豆）P（㈤P（瓦）・P（瓦）

点睛

常见事件与概率间的关系

已知两个相互独立事件儿B,它们的概率分别为P（4）,P⑦.将力，8中至少有一个发

生记为事件力U8都发生记为事件月凡都不发生记为事件了万，恰有一个发生记为事件17

u7z?,至多有一个发生记为事件77uT«u月7,为方便同学们记忆，我们用表格的形式将

其展示出来.

概率力与6相互独立

\-P(A)PCB)

P(AB)P(⑷尸⑶

PCA~B)P(7)P(7)

〃（用网力）+〃（］）〃㈤

△(TZu/iZuT而1一〃冷P（而

［跟踪训纺3］甲、乙、丙三台机床各自独立加工同一种零件，己知甲机床加工的零件是

一等品而乙机床加T.的零件不是一等品的概率为;,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工

19

的零件不是一等品的概率为/，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为占

1zy

（1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；

（2）从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取•个进行检验，求至少有个等品的概率.

解（1）记儿/，，。分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件.由题意

得

P(AB)=y,P(人)=①

<P(BC)=一则P(3)[1-P(C)]=②

>1乙<!>乙

22

P(AC)=卷.P(A)P(C)=j③

由①③得P（而=1—凯（。，

代入②得27[〃（。了—51尸（。+22=0,

211

解得pg=三或汽。=三（舍去）.

JJ

21

将P9=§代入②得PS=彳，

将P㈤=；代入①得A/1）=：.

1I2

故甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是于T*r

JJ

（2）记〃为从甲、乙、为三台机床加工的零件中各取一个进行检验，其中至少有一个一等

品的事件,

_OQ1C

则—=1一2（万）=1一[1一尸（4）][1一2（0][1-/。]=1一可><7><可=3.

o4oO

故从叭乙、丙加工的零件中各取一个进行检验，至少有一个一等品的概率%

随堂水平达标

对应学生用书P10

SUITANGSHUDABIAO

1.下列事件48是相互独立事件的是（）

A.已知尸（加面=0.8,^（7）=0.2

B.袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，力为“第一次摸到白

球”，〃为“第二次摸到白球”

C.掷一枚骰子，/I为“出现点数为奇数”，8为“出现点数为偶数”

D.A为“一个灯泡能用1000小时”,B为“一个灯泡能用2000小时”

答案A

解析由〃（］）=（）.2,可得外冷=0.8,所以有P（4|而=PC4）,A,〃为相互独立事件,

A正确；B中是不放回地摸球，显然力事件与8事件不相互独立；对于C,其结果具有唯一性,

儿8应为互斥事件；D中事件6受事件力的影响.故选A.

2.已知力，4是两个相互独立事件，火用，W近分别表示它们发生的概率，则

是下列哪个事件的概率（）

A.事件46同时发生

B.事件力，〃至少有一个发生

C.事件儿少至多有一个发生

D.事件4夕都不发生

答案C

解析一（一尸（0是指。。同时发生的概率，1一户（力）一（一是46不同时发生的概率,

即至多有一个发生的概率.

3.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件力，“骰子向

上的点数是3”为事件“，则事件力，/，中至少有一件发生的概率是（）

4—B-C—D-

122124

答案C

...——15

解析用间接法考虑，事件人〃一个都不发生的概率为夕（力B）=P（A）P（B）=?±=

/0

5________________________________________7

万•则事件儿中至少有一件发生的概率为1一户（4/，）=;.故c正确.

JL乙1乙

4.已知事件力与5独立，尸（8力）=0.4,〃（力）=0.5,则2（47）=.

答案0.3

解析由事件力与〃独立，得力与万独立，则八〃|冷=八而=0.4,得〃（力力=/"）7（力）

=0.5X(1-0.4)=0.3.

5.甲、乙两人独立地破译出密码的概率分别*,；.求:

(1)两个人都译出密照的概率；

(2)两个人都译不出密码的概率；

(3)恰有一人译出密盘的概率；

(4)至多一人译出密因的概率；

(5)至少一人译出密区的概率.

解记事件力为“甲独立地译出密码”，事件〃为“乙独立地译出密码”.

(1)两个人都译出密内的概率为

〃储⑼=双用P(而=<X；=:.

J41/

(2)两个人都译不出密码的概率为

PCA~B)=P(A)P(B)=[1-P(/4)][1-]

111

=1-TX1--=-

(3)恰有一人译出密四分为两类：甲译出乙译不出，乙译出甲译不出，即4力Ui/，，

——————11115

:・P(ABUAB)=P(AB)+P(AB=P(A)P(8)+尸(力)P(而=-X1一彳+1--X-=—

JTJ414

(4)至多一人译出密码的对立事件是两人都译出密码，

・,・其概率为1—尸(俯=1一4=日.

•L乙1乙

(5)至少一人译出密码的对立事件为两人都没有译出密码,

---11

其概率为1—狄力B)=1--=-

乙乙

精练

对应学生用书泠)89

KEHOUKESHIJINGUAN

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

II—

1.已知事件力与笈独立，且尸(/⑸=曰尸(而=&则P(/1㈤=()

o6

A3n5cle2

A-8B-8YD-3

答案B

—3—

解析•••事件/I与8独立，・•・，(仍=P(4)P(夕，且寻件力与8也独立，・・・〃(冷=W，P(A

O

|而=〃(])=(故选B.

O

2.在某段时间内，甲地下雨的概率为0.3,乙地下雨的概率为0.4,假设在这段时间内

两地是否下雨之间没有影响，则这段时间内，甲、乙两地都不下雨的概率为()

A.0.12B.0.88C.0.28D.0.42

答案D

解析P=(1-0.3)X(1-0.4)=0.42.故选D.

3.甲射手击中靶心的概率为今乙射手击中靶心的概率为:，甲、乙两人各射一次，那么

O乙

1等于()

A.甲、乙都击中靶心的概率

B.甲、乙恰好有一人击中靶心的概率

C.甲、乙至少有一人击中靶心的概率

I).甲、乙不全击中靶心的概率

答案D

解析设“甲、乙两人都击中靶心”为事件4则甲、乙不全击中靶

oZO

心的概率为7"(7)=1—?(4)=f.

6

4.在荷花池中，有一只青蛙在呈“品”字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从

一片跳到另一片)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方句跳的概率的两倍，如图所示.假设

现在青蛙在月片上,则跳三次之后停在A片上的概率是()

24

A.TB-C-

答案A

21

解析由题意知逆时针方向跳的概率为可，顺时针方向跳的概率为于青蛙跳三次要I可到

oJ

22°8

A只有两条途径：第一条，按Am/^=-x-x^=—；第二条，按p

OOJLiI2

所以跳三次之后停在/I上的概率为

JJJ乙/乙/乙/J

5.甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢

两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为()

3231

A.-B.-C.=I).~

433/

答案A

解析问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率第二类，需比赛2局，

1113

第一局甲负，第二局甲赢，其概率2=5乂5=彳.故甲队获得冠军的概率为4+总=不

乙乙a

二、填空题

6.某人有8把外形相同的钥匙，其中只有一把能打开家门.一次该人醉酒回家，每次从

8把钥匙中随便拿一把开门，试用后又不加记号放回，则该人第三次打开家门的概率是

解析由已知每次打开家门的概率为:，则该人第三次打开家门的概率为

OOOO

49

=512'

7.如图，元件4(/=1,2,3,4)通过电流的概率是0.9,且各元件是否通过电流相互独立，

则电流能在MN之间通过的概率是—

答案0.8829

解析电流能通过4,4的概率为0.9X0.9=0.81,电流能通过4的概率为0.9,

故电流不能通过4,儿且也不能通过4的概率为(1一0.81)X(1—0.9)=0.019.

故电流能通过系统4,4,4的概率为1-0.019=0.981.而电流能通过4的概率为0.9,

故电流能在M*之间通过的概率是0.981X0.9=0.8829.

8.已知事件[与方相互独立，且尸(77)=5，P{A~B)=P[AB),则2(川0=,

P⑦=.

22

口案§§

解析•••事件力与〃相互独立，，事件月与4,1与8,力与4也相互独立，且P（力）

=1一夕（力），P（B）=1-P（S）.♦:・•・「（•/（方）=尸（7）?（而,即P（A）[1-

一（⑼]=[1一2（力）]夕（而，・'・0（/1）=夕（⑼.•二户（力力）=夕（，）。（力）=[1一夕（力）]口一夕（0],.・・

11o?

P（AB）=[\—P（A）Y,*：P（AB）=~,/.[1—PU）]2=-,：,P｛A\B）=P（A）=~,P（B）=].

77yOJ

三、解答题

9.一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令力=（一个家庭中既

有男孩又有女孩｝,Q｛一个家庭中最多有一个女孩｝.对下述两种情形，讨论力与〃的独立

性：

（1）家庭中有两个小孩；

（2）家庭中有三个小孩.

解（1）有两个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为。=｛（男，男），（男，

女），（女，男），（女，女）｝包含4个基本事件，由等可能性知每个基本事件的概率均为;.

这时力=｛（男,女），（女，男）｝,

4=｛（男，男），（男，女），（女，男”，

48=｛（男，女），（女，男）｝,

1q1

于是夕（用=5,P（历="，2a而=》

乙一乙

由此可知〃（/⑶（⑸，所以事件力，占不相互独立.

（2）有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为。=｛（男，男，男），（男，

男，女），（男，女，男），i女，男，男），（男，女，女），（女，男，女），（女，女，男），（女,

女,女）｝包含8个基本事件，由等可能性知每个基本事件的概率均为1.这时月包含6个基本

O

事件，〃包含4个基本事件，血?包含3个基本事件.

于是=f=pP⑦=J=4，P（/l协=]，显然P（/彷）=尸（4）P⑦成立.

o<1oZo

从而事件A与笈是相互独立的.

10.甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束.假

设在一局中，甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立.已知前2

局中，甲、乙各胜1局.

（1）求再赛2局结束这次比赛的概率；

（2）求甲获得这次比赛胜利的概率.

解记“第/局甲获胜”为事件46=3,4,5）,“第J局乙获胜”为事件从（J=3,4,5）.

（1）设“再赛2局结束这次比赛”为事件4则

>4=44U/AA,由于各局比赛结果相互独立，故

P(A)=尸(440氏8)=P(AM+P(笈加

=尸(4)尸(4)+尸(氏)尸(4)

=0.6X0.64-0.4X0.4=0.52.

所以再赛2局结束这次比赛的概率为0.52.

(2)记“甲获得这次比赛胜利”为事件8因前两局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次

比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而5=44UU4尻45,

由于各局比赛结果相互独立，故

P(而=UB44U484)

=尸(44)+P(氏44)+H4A4)

二尸(4)P(4)+P(㈤尸(4)尸(4)+P(4)P⑻・2(4)

=0.6X0.6+0.4X0.6X0.6+0.6X0.4X0.6=0.6-48.

所以甲获得这次比赛胜利的概率为0.648.