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文档简介

2027届新高考数学精准突破复习平面向量的数量积及平面向量的应用【课标要求】1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角及判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决一些简单的平面几何问题及力学问题.【知识要点】

[0，π]0π2.向量数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量

叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b=|a||b|·cosθ.

规定:零向量与任一向量的数量积为0，即0·a=0.|a||b|cosθ

结论几何表示坐标表示模数量积夹角_______________

结论几何表示坐标表示

续表【重要结论】

【基础检测】概念辨析

√××××教材改编

B

3.[必修2p34例11]设a=(5，-7)，b=(-6，-4)，a，b的夹角为θ，则cosθ=

.

4.[必修2p34例10]已知△ABC的三个顶点分别为A(-1，-4)，B(5，2)，C(3，4)，则△ABC是(

)A.锐角三角形

B.直角三角形C.钝角三角形

D.等腰三角形B

5.[必修2p21例13]已知|a|=3，|b|=4，且a与b不共线，若(a+kb)⊥(a-kb)，则实数k=

.

考点1平面向量数量积的运算

B

0

［小结］向量数量积的3种运算方法方法运用提示适用题型定义法当已知向量的模和夹角θ时,可利用定义法求解,即a·b=|a|·|b|·cos

θ适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题坐标法当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2适用于已知相应向量的坐标求解数量积的有关计算问题转化法把要求数量积的两个向量转化为其他向量,再求数量积适用于定义法、坐标法不能解决的问题

B

巩固训练

D[解析]

由AC⊥BD，可建立如图所示的平面直角坐标系，

考点2平面向量数量积的应用角度1.向量的模

C

A

角度2.向量的夹角

A

角度3.向量的垂直

B

B

[小结]两个向量垂直的充要条件1.a⊥b⇔a·b=0⇔|a-b|=|a+b|(其中a≠0,b≠0).2.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0(其中a≠0,b≠0).

A

A

巩固训练

D

5.(2025·辽宁·二模)已知平面单位向量e1，e2满足|e1-e2|=1.设a=e1+e2，b=2e1-e2，向量a与b的夹角为α，则α的值是

.

D

考点3平面向量的综合应用角度1.平面向量与物理的结合应用例6如图，两根绳子把物体M吊在水平杆子AB上.已知物体M的重力大小为20牛，且∠AOM=150°，当绳OB承受的拉力最小时，角θ的值为(

)A.45° B.60° C.90° D.120°C

[小结]用向量方法解决平面几何(物理)问题的步骤

C

B巩固训练

C

走进高考1.(2025·全国二卷)

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