第十章　§10.5　离散型随机变量及其分布列、数字特征

第十章

§10.5离散型随机变量及其分布列、数字特征考试要求1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.2.理解并会求离散型随机变量的数字特征.课时精练落实主干知识探究核心题型内容索引落实主干知识1.离散型随机变量一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有

的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量.可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.2.离散型随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列.3.离散型随机变量分布列的性质(1)pi≥0，i=1，2，…，n.(2)p1+p2+…+pn=

.唯一1

4.离散型随机变量的均值(数学期望)与方差一般地，若离散型随机变量X的分布列为x1p1+x2p2+…+xnpnXx1x2…xnPp1p2…pn平均水平

标准差偏离程度aE(X)+ba2D(X)1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(

)(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.(

)(3)随机试验的结果与随机变量是对应关系，即每一个试验结果都有唯一的随机变量的值与之对应.(

)(4)方差或标准差越小，则随机变量的偏离程度越小.(

)自主诊断×√√√2.(北师大版选择性必修第一册P197练习T3)同时抛掷两枚均匀的骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则{ξ>4}表示的随机事件是A.第一枚掷出6点，第二枚掷出2点B.第一枚掷出5点，第二枚掷出1点C.第一枚掷出1点，第二枚掷出6点D.第一枚掷出6点，第二枚掷出1点√解析∵第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，若ξ>4，则ξ=5，表示的随机事件是第一枚掷出6点，第二枚掷出1点.则D(X)=

；D(2X+7)=

.3.(人教A版选择性必修第三册P70练习T1改编)已知随机变量X的分布列为X1234P0.20.30.40.10.843.36解析

E(X)=1×0.2+2×0.3+3×0.4+4×0.1=2.4.D(X)=(1-2.4)2×0.2+(2-2.4)2×0.3+(3-2.4)2×0.4+(4-2.4)2×0.1=0.84，D(2X+7)=4D(X)=3.36.4.(苏教版选择性必修第二册P120练习T3改编)从甲、乙两名射击运动员中选择一名参加比赛，现统计了这两名运动员在训练中命中环数X，Y的概率分布如下表，则甲、乙两人平均成绩较好的是

.甲X8910P0.30.10.6Y8910P0.20.50.3解析

E(X)=8×0.3+9×0.1+10×0.6=9.3，E(Y)=8×0.2+9×0.5+10×0.3=9.1.这就是说甲射击所得环数的均值比乙射击所得环数的均值大，从而说明甲的平均成绩较好.微点提醒返回1.(1)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定.(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小.(3)求出分布列后，注意运用分布列的两条性质检验所求分布列是否正确.2.(1)E(X1+X2)=E(X1)+E(X2).(2)D(X)=E(X2)-(E(X))2.(3)若X1，X2相互独立，则E(X1X2)=E(X1)·E(X2).探究核心题型解析由随机变量X的分布列知，P(X<1)=0.5，P(X<2)=0.8，故当P(X<a)=0.8时，实数a的取值范围是(1，2].例1

(1)若随机变量X的分布列为则当P(X<a)=0.8时，实数a的取值范围是A.[1，2) B.[1，2]C.(1，2] D.(1，2)√题型一分布列的性质X-2-10123P0.10.20.20.30.10.1

离散型随机变量分布列的性质的应用(1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值.(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率.(3)可以根据性质判断所得分布列的结果是否正确.思维升华A.0.7 B.0.6 C.0.5

D.0.4跟踪训练1

已知随机变量X的分布列如表所示，则P(|2X-3|<3)等于√X1234P0.1m0.30.2解析由题得0.1+m+0.3+0.2=1，则m=0.4，故P(|2X-3|<3)=P(0<X<3)=P(X=1)+P(X=2)=0.5.

命题点1求离散型随机变量的分布列及数字特征题型二离散型随机变量的分布列及数字特征√X-101Pab√√

(2)(2025·全国Ⅰ卷)有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望E(X)=

.

例3

(多选)(2025·南充模拟)已知离散型随机变量X的分布列如表所示，若离散型随机变量Y满足Y=3X-2，A.E(X)=2 B.E(Y)=4C.D(X)=0.2 D.D(Y)=10.8命题点2均值与方差的性质应用√√√X1234P0.5m0.30.1解析依题意，0.5+m+0.3+0.1=1，解得m=0.1，对于A，E(X)=1×0.5+2×0.1+3×0.3+4×0.1=2，A正确；对于B，E(Y)=E(3X-2)=3E(X)-2=4，B正确；对于C，D(X)=(1-2)2×0.5+(2-2)2×0.1+(3-2)2×0.3+(4-2)2×0.1=1.2，C错误；对于D，D(Y)=D(3X-2)=9D(X)=10.8，D正确.均值、方差的大小比较、最值(范围)问题关于随机变量的均值与方差，近几年均以选择题的形式考查，除考查均值、方差的直接计算，还经常从下列几个角度进行考查：(1)均值、方差及概率的大小比较；(2)均值、方差的增减性分析；(3)均值、方差的最值；(4)解均值、方差的不等式求字母的范围.微拓展

微拓展典例

(1)设随机变量X的分布列如下(其中0<p<1)，D(X)表示X的方差，则当p从0增大到1时A.D(X)增大

B.D(X)减小C.D(X)先减后增

D.D(X)先增后减√X012P微拓展

√X0a2Pb√√

求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤(1)理解ξ的意义，写出ξ的所有可能取值.(2)求ξ取每个值的概率.(3)写出ξ的分布列.(4)由均值、方差的定义求E(ξ)，D(ξ).思维升华

√X123Pa√√X123P

例4

(2021·新高考全国Ⅰ卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；题型三均值与方差中的决策问题解由题意得，X的所有可能取值为0，20，100，P(X=0)=1-0.8=0.2，P(X=20)=0.8×(1-0.6)=0.32，P(X=100)=0.8×0.6=0.48，所以X的分布列为X020100P0.20.320.48例4

(2021·新高考全国Ⅰ卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.解当小明先回答A类问题时，由(1)可得E(X)=0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4.当小明先回答B类问题时，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0，80，100，P(Y=0)=1-0.6=0.4，P(Y=80)=0.6×(1-0.8)=0.12，P(Y=100)=0.6×0.8=0.48，所以Y的分布列为E(Y)=0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6.因为57.6>54.4，即E(Y)>E(X)，所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题.Y080100P0.40.120.48随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.思维升华跟踪训练3

(2026·锦州模拟)某工厂A，B两条生产线生产同款产品，若产品按照一、二、三等级分类，则每件可分别获利20元、18元、16元，现从A，B生产线生产的产品中各随机抽取100件进行检测，结果统计如图.

生产线等级合计一等级非一等级A

B

合计

解由题可得A生产线生产的100件产品中一等级产品有20件，B生产线生产的100件产品中一等级产品有30件，所以2×2列联表如右：α0.050.010.005xα3.8416.6357.879生产线等级合计一等级非一等级A2080100B3070100合计50150200跟踪训练3

(2026·锦州模拟)某工厂A，B两条生产线生产同款产品，若产品按照一、二、三等级分类，则每件可分别获利20元、18元、16元，现从A，B生产线生产的产品中各随机抽取100件进行检测，结果统计如图.

生产线等级合计一等级非一等级A

B

合计

α0.050.010.005xα3.8416.6357.879跟踪训练3

(2026·锦州模拟)某工厂A，B两条生产线生产同款产品，若产品按照一、二、三等级分类，则每件可分别获利20元、18元、16元，现从A，B生产线生产的产品中各随机抽取100件进行检测，结果统计如图.

生产线等级合计一等级非一等级A

B

合计

解设A，B两条生产线单件产品获利分别为X，Y元，则由频数分布直方图可得X的分布列为α0.050.010.005xα3.8416.6357.879X201816P0.20.60.2跟踪训练3

(2026·锦州模拟)某工厂A，B两条生产线生产同款产品，若产品按照一、二、三等级分类，则每件可分别获利20元、18元、16元，现从A，B生产线生产的产品中各随机抽取100件进行检测，结果统计如图.

生产线等级合计一等级非一等级A

B

合计

解所以E(X)=20×0.2+18×0.6+16×0.2=18，所以D(X)=(20-18)2×0.2+(18-18)2×0.6+(16-18)2×0.2=1.6，由频数分布直方图可得Y的分布列为α0.050.010.005xα3.8416.6357.879Y201816P0.30.40.3跟踪训练3

(2026·锦州模拟)某工厂A，B两条生产线生产同款产品，若产品按照一、二、三等级分类，则每件可分别获利20元、18元、16元，现从A，B生产线生产的产品中各随机抽取100件进行检测，结果统计如图.

生产线等级合计一等级非一等级A

B

合计

解所以E(Y)=20×0.3+18×0.4+16×0.3=18，所以D(Y)=(20-18)2×0.3+(18-18)2×0.4+(16-18)2×0.3=2.4，因为D(X)<D(Y)，所以A生产线的获利更稳定.α0.050.010.005xα3.8416.6357.879返回课时精练对一对答案1234567891011121314题号12345678答案CAACDCABDBC题号9101314答案3DB

答案123456789101112131411.

答案123456789101112131411.综上，可得ξ的分布列如表.所以E(ξ)=0×0.008+1×0.096+2×0.384+3×0.512=2.4.答案123456789101112131411.ξ0123P0.0080.0960.3840.512

答案123456789101112131412.X4001

000P

答案123456789101112131412.∴均值不可能为1

000元，如果选择(800，800，800，200)的方案，∵1

000元是面值之和的最小值，∴均值不可能为1

000元，因此可能的方案是(800，800，200，200)，记为方案1；同理，对于面值由600元和400元组成的情况，排除(600，600，600，400)和(400，400，400，600)的方案，∴可能的方案是(400，400，600，600)，记为方案2.答案123456789101112131412.

答案123456789101112131412.

答案123456789101112131412.解析选手甲在三次中距离投篮中可能都不中得0分，中一次得2分，中两次得4分，中三次得6分，故总得分ξ的所有可能取值为0，2，4，6，所以总得分ξ的所有可能取值的和为12.一、单项选择题1.在篮球比赛中，规定一次中距离投篮投中得2分，投不中得0分，则选手甲在三次中距离投篮中的总得分ξ的所有可能取值的和是A.8 B.10 C.12

D.14√1234567891011121314答案知识过关

1234567891011121314√答案

X123P√

1234567891011121314答案

√1234567891011121314答案Xaa+1Px

√1234567891011121314答案1234567891011121314答案

规则如下：只有猜对当前商品名称才有资格猜下一件商品，你认为下列哪个答题顺序获得的奖金的均值最大A.FDE B.FED

C.DEF

D.EDF√商品DEF猜对的概率0.80.50.3获得的奖金/元1002003006.某听众打电话参加某广播电视台猜商品名称节目，能否猜对每件商品的名称相互独立，该听众猜对三件商品D，E，F的名称的概率及猜对时获得的奖金如表所示.1234567891011121314答案1234567891011121314答案解析按照FDE的顺序获得的奖金的均值为0×0.7+300×0.3×0.2+400×0.3×0.8×0.5+600×0.3×0.8×0.5=138；按照FED的顺序获得的奖金的均值为0×0.7+300×0.3×0.5+500×0.3×0.5×0.2+600×0.3×0.5×0.8=132；按照DEF的顺序获得的奖金的均值为0×0.2+100×0.8×0.5+300×0.8×0.5×0.7+600×0.8×0.5×0.3=196；按照EDF的顺序获得的奖金的均值为0×0.5+200×0.5×0.2+300×0.5×0.8×0.7+600×0.5×0.8×0.3=176.综上所述，按照DEF的顺序获得的奖金的均值最大.

X12345Pp1p21234567891011121314答案√√√1234567891011121314答案

8.已知随机变量X的分布列为1234567891011121314答案√√X-101Pp1p2p2

1234567891011121314答案三、填空题9.(2022·浙江)现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6.从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P(ξ=2)=

，E(ξ)=

.1234567891011121314答案

ξ1234P1234567891011121314答案历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，则工期延误天数Y的均值为

.降水量XX<300300≤X<700700≤X<900X≥900工期延误天数Y0261010.根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如表所示：1234567891011121314答案3解析由题意可知P(X<300)=0.3，P(300≤X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4，P(700≤X<900)=P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7=0.2，P(X≥900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1.所以随机变量Y的分布列为所以E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3，所以工期延误天数Y的均值为3.Y02610P0.30.40.20.11234567891011121314答案

1234567891011121314答案四、解答题11.(北师大版选择性必修第一册P210习题6-3A组T4)设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的.(1)求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；

1234567891011121314答案11.(北师大版选择性必修第一册P210习题6-3A组T4)设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的.(2)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；

1234567891011121314答案11.(北师大版选择性必修第一册P210习题6-3A组T4)设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的.(3)设ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列及均值.ξ0123P0.0080.0960.3840.51212.某公司为活跃气氛、提升士气，年终拟通过抓阄兑奖的方式对所有员工进行奖励.规定：每位员工从一个装有4个标有面值的阄的袋中一次性随机摸出2个阄，阄上所标的面值之和为该员工获得的奖励金额.(1)若袋中所装的4个阄中有1个所标的面值为800元，其余3个均为200元，求：①员工所获得的奖励金额为1000元的概率；

1234567891011121314答案

12.某公司为活跃气氛、提升士气，年终拟通过抓阄兑奖的方式对所有员工进行奖励.规定：每位员工从一个装有4个标有面值的阄的袋中一次性随机摸出2个阄，阄上所标的面值之和为该员工获得的奖励金额.(1)若袋中所装的4个阄中有1个所标的面值为800元，其余3个均为200元，求：②员工所获得的奖励金额的分布列及均值；1234567891011121314答案X4001

000P解根据公司预算，每位员工的平均奖励金额为1

000元，∴先寻找均值为1

000元的可能方案，对于面值由800元和200元组成的情况，如果选择(200，200，200，800)的方案，∵1

000元是面值之和的最大值，∴均值不可能为1

000元，如果选择(800，800，800，200)的方案，∵1

000元是面值之和