第一章　§1.3　等式性质与不等式性质

第一章

§1.3等式性质与不等式性质1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用.考试要求课时精练落实主干知识探究核心题型内容索引落实主干知识

2.等式的性质性质1对称性：如果a=b，那么

；性质2传递性：如果a=b，b=c，那么

；性质3可加(减)性：如果a=b，那么a±c=b±c；性质4可乘性：如果a=b，那么ac=bc；性质5可除性：如果a=b，c≠0，那么

.b=aa=c

3.不等式的性质性质1对称性：a>b⇔

；性质2传递性：a>b，b>c⇒

；性质3可加性：a>b⇔a+c>b+c；性质4可乘性：a>b，c>0⇒

；a>b，c<0⇒

；性质5同向可加性：a>b，c>d⇒

；性质6同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒

；性质7同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2).b<aa>cac>bcac<bca+c>b+dac>bd

√自主诊断×××

√3.设M=2a2+5a+4，N=(a+1)(a+3)，则M与N的大小关系为A.M>N

B.M=NC.M<N

D.无法确定

√

(4，24)

微点提醒返回探究核心题型

题型一数(式)的大小比较√√解析∵x2-2x+3=(x-1)2+2≥2>0，∴x2-2x>-3，故A正确；a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)+b2(b-a)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b).∵(a-b)2≥0，a+b的符号不确定，∴a3+b3与a2b+ab2的大小不确定，故B错误；∵a2+b2-2a+2b+2=(a-1)2+(b+1)2≥0，∴a2+b2≥2(a-b-1)，故C错误；

M>N

比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论.(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论.(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小.思维升华

√

√√

题型二不等式的基本性质√√

√√√

判断不等式的常用方法(1)利用不等式的性质逐个验证.(2)利用特殊值法排除错误选项.(3)作差法.(4)构造函数，利用函数的单调性.思维升华

√√√

√√√

题型三不等式性质的综合应用√√√解析因为-1<a<5，-3<b<1，所以-1<-b<3.对于A，当0≤a<5，0≤b<1时，0≤ab<5；当0≤a<5，-3<b<0时，0<-b<3，则0≤-ab<15，即-15<ab≤0；当-1<a<0，0≤b<1时，0<-a<1，则0≤-ab<1，即-1<ab≤0；当-1<a<0，-3<b<0时，0<-a<1，0<-b<3，则0<ab<3，综上，-15<ab<5，故A正确；

(2)购买同一种物品可以用两种不同的策略，不考虑物品价格的升降，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则

策略购物比较经济.

乙

利用不等式的性质求代数式的取值范围的注意点(1)必须严格运用不等式的性质.(2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，然后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.思维升华

[2，10]

(2)(2025·辽宁县域重点高中协作体模拟)公园的绿化率是指公园内的绿化面积与公园的面积之比.已知某公园的面积为am2，绿化面积为bm2(0<b<a)，现对该公园再扩建2xm2，其中绿化面积为xm2，则扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率相比A.变大 B.变小C.不变 D.不确定√返回

课时精练对一对答案123456789101112题号12345678答案CBBADBABAC题号9101314答案a>c>ba=-1，b=2(答案不唯一)C131411.答案123456789101112(1)由a>b>1，则a-1>0，b-1>0，故(a-1)(b-1)>0，由d<c<-2，则c+2<0，d+2<0，故(c+2)(d+2)>0，∴(a-1)(b-1)(c+2)(d+2)>0，得证.131411.答案123456789101112

131411.答案123456789101112

131412.答案123456789101112

131412.答案123456789101112又0≤2x-y≤3，所以-3≤5x+2y=3(x+y)+(2x-y)≤9，即5x+2y的取值范围为[-3，9].1314一、单项选择题1.已知P=a2+3a+3，Q=a+1，则P与Q的大小关系为A.P<Q

B.P=QC.P>Q

D.P≤Q123456789101112答案解析因为P-Q=a2+3a+3-(a+1)=a2+2a+2=(a+1)2+1>0，所以P>Q.知识过关√13142.(2026·聊城模拟)“a+b<-2，且ab>1”是“a<-1，且b<-1”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件123456789101112答案√1314123456789101112答案

1314

123456789101112

答案√1314

123456789101112答案√

13145.A，B，C，D四名同学的年龄关系如下.A，C的年龄之和与B，D的年龄之和相同，C，D的年龄之和大于A，B的年龄之和，B的年龄大于A，D的年龄之和，则A，B，C，D的年龄关系是A.B>C>A>D

B.B>C>D>AC.C>B>A>D

D.C>B>D>A123456789101112答案√1314123456789101112答案解析用A，B，C，D表示A，B，C，D四名同学的年龄，则A>0，B>0，C>0，D>0.则A+C=B+D，

①C+D>A+B，

②B>A+D.

③①+②得C>B，①+③得C>2D，②+③得C>2A，由于A>0，D>0，故由③得B>A，B>D，由①得C-B=D-A，∵C>B，∴C-B>0，∴D-A>0，∴D>A，综上，C>B>D>A.13146.已知实数a，b，c满足a+b+c=0且a>b>c，则下列选项错误的是A.bc>acB.a2>c2C.2ac-2bc<a2-b2D.(a-c)2≤2(a-b)2+2(b-c)2123456789101112答案√1314123456789101112解析因为a+b+c=0且a>b>c，所以a>0，c<0，A选项，bc-ac=(b-a)c>0，故bc>ac，A正确；B选项，不妨设a=1，b=0，c=-1，此时满足a+b+c=0且a>b>c，但a2=c2，B错误；C选项，因为a+b+c=0且a>b>c，所以a-b>0，a+b-2c=a-c+b-c>0，a2-b2+2bc-2ac=(a+b)(a-b)+2c(b-a)=(a-b)(a+b-2c)>0，所以2ac-2bc<a2-b2，C正确；答案1314123456789101112解析D选项，2(a-b)2+2(b-c)2-(a-c)2=2(a-b)2+2(b-c)2-[(a-b)+(b-c)]2=2(a-b)2+2(b-c)2-(a-b)2-2(a-b)(b-c)-(b-c)2=(a-b)2+(b-c)2-2(a-b)(b-c)=[(a-b)-(b-c)]2=(a+c-2b)2，因为a+b+c=0，所以2(a-b)2+2(b-c)2-(a-c)2=(-b-2b)2=9b2≥0，故(a-c)2≤2(a-b)2+2(b-c)2，D正确.答案1314

123456789101112答案√√1314123456789101112答案

1314123456789101112答案

√√1314123456789101112答案

1314123456789101112答案

a>c>b

1314

123456789101112答案a=-1，b=2(答案不唯一)1314123456789101112答案解析容易发现，若将①式转化为②式，需使(a+b)ab<0，即a+b与ab异号，显然应使a+b>0，ab<0，当a<0，b>0时，要使a+b>0，则|a|<|b|，可取a=-1，b=2；当a>0，b<0时，要使a+b>0，则|a|>|b|，可取a=2，b=-1.综上，取任意两个异号的实数，且正数的绝对值大于负数的绝对值皆为合理答案.1314四、解答题11.证明下列不等式：(1)已知a>b>1，d<c<-2.求证：(a-1)(b-1)(c+2)(d+2)>0；123456789101112答案证明

由a>b>1，则a-1>0，b-1>0，故(a-1)