23.1 数据的集中趋势 教案

23.1数据的集中趋势教案（含一题多解、技巧解题、中考分析及应用拓展）一、教学目标掌握加权平均数、中位数、众数的核心概念，理解“权”“组中值”的意义，明确三者的定义、特征及适用场景。熟练掌握加权平均数（含组中值法）、中位数、众数的计算步骤，能根据数据类型（原始数据、频数分布表/图）选择合适的计算方法。能结合实际问题，灵活运用三个统计量分析数据的集中趋势，解决决策类问题（如招聘、进货建议等），提升数据解读和应用能力。精通中考常考题型的解题技巧，熟悉命题规律，能快速破解图表类、综合应用类题目，提高应试得分率。培养数据分析素养，体会样本估计总体的思想，理解统计量在实际生活中的价值，建立数学与生活的联系。二、教学重难点（一）教学重点加权平均数、中位数、众数的概念辨析与准确计算（含组中值的应用）。不同统计量的适用场景判断，能根据问题需求选择合适的统计量分析数据。中考常考题型（图表类、决策类、综合对比类）的解题思路与技巧掌握。（二）教学难点“权”的实际意义理解（如频数、百分比、重要性系数）及加权平均数的灵活计算。频数分布表/图中组中值的计算与加权平均数的结合应用。极端值对三个统计量的影响分析，以及实际问题中统计量的合理选择与决策。中考中图表类综合题的建模与数据提取，多统计量对比分析类题目的解答。三、教学过程（含例题、一题多解、技巧、中考分析）（一）知识回顾（10分钟）核心概念：加权平均数：若n个数据x1,x2,...,xn组中值：频数分布表中每组两个端点数值的平均数，用于代表该组实际数据；各组频数作为对应组中值的权。中位数：将一组数据按从小到大（或从大到小）排列后，处于中间位置的数（数据个数为奇数时）或中间两个数的平均数（数据个数为偶数时）；是位置代表值，不受极端值影响。众数：一组数据中出现次数最多的数据；可能不唯一，一定是数据集中的数。关键性质速记：平均数：与每个数据相关，易受极端值影响，唯一且与顺序无关。中位数：仅与数据排列位置相关，不受极端值影响，唯一，不一定在数据中。众数：与数据出现次数相关，不受极端值影响，可能不唯一，一定在数据中。样本平均数可估计总体平均数，适用于总体数据难以全部获取的情况。（二）考点考频及常考题型1.加权平均数（含组中值）计算（考频：10年10考，近5年全覆盖）考频分析：基础核心考点，覆盖选择、填空、解答题，分值3-6分，难度低-中档；核心考查“权”的理解（频数、百分比、权重系数）及组中值的应用。常考题型：题型1：直接加权计算（占比40%）：已知数据及对应权（百分比、频数、重要性系数），计算加权平均数。题型2：组中值法求平均数（占比30%）：根据频数分布表/图，计算组中值后求加权平均数。题型3：样本估计总体（占比30%）：通过样本加权平均数估计总体的平均水平。2.中位数、众数的计算与判断（考频：10年9考，近3年高频）考频分析：基础必考点，多在选择、填空题出现，分值2-4分，难度低；核心考查数据排序（中位数）、频数统计（众数），常结合条形图、扇形图、表格。常考题型：题型1：直接计算类（占比50%）：已知原始数据或频数分布，求中位数、众数。题型2：图表识别类（占比50%）：从条形图、扇形图、统计表中提取数据，判断中位数、众数。3.统计量的实际应用与决策（考频：10年8考，近4年稳定）考频分析：中档应用题考点，多在解答题中出现，分值4-8分，难度中档；核心考查根据实际场景选择合适的统计量（如进货建议选众数、极端值存在时用中位数）。常考题型：决策类应用题（占比100%）：结合招聘、销售、成绩分析等场景，通过计算统计量给出合理建议。（三）经典例题解析（35分钟）例题1：加权平均数的两种计算（基础题·一题多解）题目：某公司招聘公关人员，对甲、乙两位应试者进行面试和笔试，成绩（百分制）如下表。（1）若面试和笔试成绩同等重要，谁将被录取？（2）若面试成绩权重6，笔试权重4，谁将被录取？应试者面试笔试甲8690乙9283解法1：常规加权法（直接代入公式）步骤：（1）面试和笔试同等重要，权相等（均为1），用算术平均数（加权平均数特例）：甲的平均成绩：x甲乙的平均成绩：x乙因88>87.5，录取甲。（2）面试权重6，笔试权重4，加权平均数：甲的平均成绩：x甲乙的平均成绩：x乙因88.4>87.6，录取乙。核心依据：加权平均数公式，权的不同对应不同的计算逻辑，同等重要时权相等。解法2：权重转化百分比法（简化计算）步骤：（1）同等重要即各占50%，转化为百分比计算：甲：86×50%+90×50%=88（分），乙：92×50%+83×50%=87.5（分），录取甲。（2）权重6:4对应百分比60%:40%：甲：86×60%+90×40%=87.6（分），乙：92×60%+83×40%=88.4（分），录取乙。核心依据：权的本质是数据的相对重要程度，可转化为百分比简化计算，避免分数运算。技巧解题：“权重转化+快速口算”技巧技巧：当权重为整数比时，先转化为百分比（如3:2→60%:40%），再用“数据×百分比”累加，减少分母计算；同等重要时直接用（数据1+数据2）÷2，快速得出结果。适用场景：中考选择、填空题中加权平均数计算，节省时间。例题2：组中值法求加权平均数（中档题·技巧解题）题目：某灯泡厂抽查50只灯泡的使用寿命，数据如下表，求这批灯泡的平均使用寿命（估计总体）。使用寿命x/h600≤x<10001000≤x<14001400≤x<18001800≤x<22002200≤x<2600灯泡只数51012176解法：组中值+加权平均数法（唯一核心解法）步骤：计算组中值：每组两端点的平均数，分别为800、1200、1600、2000、2400。确定权：各组灯泡只数（频数）为对应组中值的权。代入公式：x=估计总体：样本平均使用寿命为1672h，故这批灯泡平均使用寿命约为1672h。核心依据：频数分布表中，组中值可近似代表每组数据，频数作为权，通过样本平均数估计总体。技巧解题：“组中值速算+分步累加”技巧技巧：组中值计算口诀“两端相加除以2”，无需复杂运算；计算加权和时，先分组合并计算（如800×5=4000，1200×10=12000），再累加总和，最后除以总频数，避免漏算。适用场景：所有频数分布表类加权平均数题目，中考解答题高频考点。例题3：中位数、众数的综合应用（中档题·一题多解）题目：某鞋店销售30双女鞋，尺码及销售量如下表，为鞋店提供进货建议。尺码/cm2222.52323.52424.525销售量/双12511731解法1：众数决策法（核心解法）步骤：统计各尺码销售量：23.5cm的鞋销售11双，是出现次数最多的（众数）。决策依据：众数反映最受欢迎的尺码，销售量最大，故建议多进23.5cm的鞋；销售量较少的22cm、25cm可少进。核心依据：众数的实际意义——数据中出现频率最高的量，适合需求类决策（如进货、备货）。解法2：中位数辅助决策法（拓展解法）步骤：计算中位数：总销售量30双，中位数是第15、16双鞋的尺码。累计频数：22（1）、22.5（3）、23（8）、23.5（19），第15、16双均在23.5cm组，中位数为23.5cm。决策依据：中位数反映中间水平，超过一半的销售量集中在23.5cm及以上，结合众数，进一步确认23.5cm是核心尺码，应多进。核心依据：中位数与众数结合，可更全面判断数据集中趋势，避免单一统计量的局限性。技巧解题：“频数累计+众数优先”技巧技巧：解决进货、销售决策类题目时，优先找众数（直接对应最大需求）；若需验证，可通过累计频数快速找中位数，双重确认核心数据；高频尺码多进，低频尺码少进。适用场景：中考解答题中决策类题目，如商品销售、资源分配等。（四）中考真题解析（20分钟）1.（2024·浙江杭州，3分）某校七年级30名同学近4个月阅读课外书数量如下表，阅读数量的中位数和众数分别是（）课外书数量/本67912人数67107A．8，9B．10，9C．9，9D．7，12答案：C解析：将30个数据排序后，第15、16个数据均为9（累计频数：6+7=13<15，6+7+10=23≥16），中位数为9；9本的人数最多（10人），众数为9，故选C。2.（2023·山东青岛，3分）某跳水队运动员年龄情况：13岁8人、14岁16人、15岁24人、16岁2人，该队运动员的平均年龄约为（）A．13岁B．14岁C．15岁D．16岁答案：B解析：加权平均数x=3.（2022·江苏苏州，3分）一组数据：12、15、18、20、22、25，这组数据的中位数是（）A．18B．19C．20D．21答案：B解析：数据个数为6（偶数），中位数是第3、4个数据的平均数，即18+2024.（2022·湖南长沙，4分）某新品种黄瓜每株结瓜根数的条形图如下（根数：10根10株、13根15株、14根20株、15根18株），估计该品种黄瓜平均每株结瓜根数（结果取整数）为（）（图注：横轴为黄瓜根数10、13、14、15，纵轴为株数10、15、20、18）A．12B．13C．14D．15答案：B解析：加权平均数x=5.（2021·陕西西安，3分）若一组数据2、3、x、5、7的众数为7，则这组数据的中位数为（）A．3B．5C．7D．2答案：B解析：众数为7，故x=7，数据排序为2、3、5、7、7，中位数为5，故选B。6.（2021·河南郑州，8分）某商场服装部营业员月销售额（单位：万元）如下：16、24、15、28、26、17、18、13、18、19、32、16、14、22、17、16、19、30、15、26、17、15、28、28、15、32、23、15、16、19。（1）求月销售额的众数、中位数、平均数；（2）若想让一半左右营业员达到销售目标，目标定为多少合适？答案：（1）众数15，中位数18，平均数约20；（2）18万元解析：（1）统计频数：15出现6次（最多），众数15；排序后第15、16个数据均为18，中位数18；平均数x=7.（2020·辽宁沈阳，3分）某班10名选手歌咏比赛成绩如下（分数：80分2人、85分3人、90分4人、95分1人），这组成绩的众数是（）A．85B．90C．95D．80答案：B解析：90分出现4次，是出现次数最多的，众数为90，故选B。8.（2020·江西南昌，4分）某班学生体重数据如下（单位：kg）：46、48、51、52、56、56、74，这组数据的中位数和平均数分别是（）A．52，53B．52，54C．56，53D．56，54答案：B解析：排序后数据为46、48、51、52、56、56、74，中位数为52；平均数x=四、中考命题规律总结（10分钟）考查题型：基础题（2-3分）：单个统计量的计算（如中位数、众数、简单加权平均数），多以选择、填空形式出现，侧重概念应用。中档题（4-8分）：结合图表（条形图、扇形图、频数分布表）计算多个统计量，或根据统计量进行决策，多以解答题基础问、填空题形式出现。高档题（6-10分）：统计量综合对比（如极端值对平均数、中位数的影响）、样本估计总体、多场景决策，多以解答题中档问形式出现。命题趋势：情境化：紧密结合生活实际（招聘、销售、成绩分析、体育比赛、产品质量检测等），强调数据的实际意义和应用价值。图表化：80%以上的题目结合图表考查，要求学生具备较强的图表数据提取和转化能力。综合化：从单一统计量考查转向多统计量对比、决策，注重分析问题和解决实际问题的能力。解题技巧总览：基础题：定义直接法（根据定义计算中位数、众数）、公式代入法（加权平均数公式）。中档题：图表转化法（从图表中提取数据和频数）、累计频数法（找中位数）、众数优先法（决策类题目）。高档题：对比分析法（分析极端值对各统计量的影响）、样本估计法（用样本统计量估计总体）、场景匹配法（根据问题场景选择合适的统计量）。五、课堂练习（中考真题，15分钟）（2024·云南昆明，3分）一组数据：3、5、7、9、11、13，这组数据的中位数是（）A．7B．8C．9D．10答案：B（2023·广西南宁，4分）某学校男子足球队年龄分布条形图如下（年龄：13岁2人、14岁6人、15岁8人、16岁3人、17岁2人、18岁1人），该队队员的平均年龄是（）（图注：横轴为年龄13、14、15、16、17、18，纵轴为人数2、6、8、3、2、1）A．14岁B．15岁C．16岁D．17岁答案：B（2022·贵州贵阳，3分）下列数据：2、3、4、4、5、6，这组数据的众数是（）A．3B．4C．5D．6答案：B（2021·甘肃兰州，8分）某超市抽查一批饮料的净含量（单位：mL），频数分布表如下：净含量x/mL490≤x<500500≤x<510510≤x<520520≤x<530频数512185（1）计算这批饮料净含量的平均水平（用组中值法）；（2）若净含量标准为500-520mL，估计这批饮料符合标准的比例。答案：（1）511mL；（2）80%（2020·海南海口，3分）一组数据：10、12、15、15、18，这组数据的众数和中位数分别是（）A．15，15B．15，12C．18，15D．12，15答案：A六、课堂小结（5分钟）核心知识：加权平均数（含组中值）、中位数、众数的概念、计算方法及特征；三者的区别与联系（同：反映集中趋势；异：受数据影响不同、适用场景不同）。解题方法：一题多解（加权平均数的常规法与百分比法、众数与中位数结合决策）、技巧解题（组中值速算、累计频数找中位数、众数优先决策）。中考策略：基础题保分（熟练掌握概念和简单计算），中档题稳分（准确提取图表数据、规范计算步骤），高档题突破（结合场景选择统计量、综合分析数据）。七、课后作业（分层设计）基础层：完成教材习题23.1所有基础计算题（加权平均数、中位数、众数的直接计算）；完成课堂练习中未讲解的中考真题。提高层：整理2021-2024年中考数据集中趋势相关真题（侧重图表类、决策类），分类解答并总结解题技巧；分析错题原因（如数据提取错误、中位数排序遗漏、权的理解偏差等）。拓展层：设计一个实际场景（如班级考试成绩分析、超市零食销售统计），收集或编造相关数据（含原始数据和图表形式），编写3道题目（分别考查加权平均数、中位数、众数的计算与应用），并给出解答过程，尝试运用多种解法。八、教学反思需关注学生对“权”的理解误区，部分学生易将频数、百分比、重要性系数混淆，可通过多实例对比（如招聘权重、成绩占比、频数分布）强化认知。中位数计算中，学生常忽略“数据排序”步骤或累计频数计数错误，需在例题和练习中强调排序的必要性，通过分步演示累计频数的方法减少错误。组中值的计算与应用是难点，部分学生对“组中值代表每组数据”的合理性理解不足，可通过具体数据举例（如某组数据50-60，组中值55，实际数据多围绕55分布）帮助理解。实际决策类题目中，学生易单一使用统计量（如只看平均数忽略极端值），需通过对比例题（如含极端值的体重数据）让学生体会不同统计量的适用场景，培养全面分析问题的能力。课堂可增加更多互动性练习（如让学生收集自身班级数据进行分析），提升学生的参与感和应用意识；课后拓展作业可鼓励学生结合生活实际，深化对统计量实际价值的理解。综合训练一、选择题1.某学校食堂随机抽取了100名学生,对他们最喜欢的套餐种类进行问卷调查后(每人选一种),绘制了如图所示的条形统计图,根据图中的信息,学生最喜欢的套餐种类是()A.套餐一B.套餐二C.套餐三D.套餐四2.已知一组数据1,2,8,6,8,对这组数据描述正确的是()A.众数是8 B.平均数是6 C.中位数是8 D.方差是93.某中学随机地调查了50名学生,了解他们一周在校的体育锻炼时间,结果如下表所示:时间/h5678学生/人1015205则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是()A.6.2h B.6.4h C.6.5h D.7h4.甲、乙、丙、丁四名选手各射击10次,每人的平均成绩都是9.3环,方差如下表:选手甲乙丙丁方差0.0350.0160.0220.025则这四人中成绩发挥最稳定的是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁5.小明在处理一组数据“12,12,28,35,■”时,不小心将其中一个数据污染了,只记得该数据在30~40之间,则“■”在30~40范围内无论为何值都不影响这组数据的()A.平均数 B.众数 C.中位数 D.方差6.某市举行中学生演讲比赛,某同学将选手们的得分情况进行统计,绘成如图所示的得分成绩统计图.考虑下列四个论断:①众数为6分;②8名选手的成绩高于8分;③中位数是8分;④得6分和9分的人数一样多.其中正确的判断共有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个7.小颖通过计算甲、乙、丙、丁四组数据的方差后,发现有三组数据的方差相同,请你通过观察或计算,找出不同的一组数据是()甲:102,103,105,107,108 乙:2,3,5,7,8丙:4,9,25,49,64 丁:2102,2103,2105,2107,2108A.甲 B.乙 C.丙 D.丁8.某中学青年志愿者协会的10名志愿者,一周的社区志愿服务时间如表所示.时间/h23456人数13231关于志愿者服务时间的描述正确的是()A.众数是6 B.平均数是4C.中位数是3 D.方差是1二、填空题9.在从小到大排列的五个数x,3,6,8,12中再加入一个数,若这六个数的中位数、平均数与原来五个数的中位数、平均数分别相等,则x的值为.

10.七(1)班举行投篮比赛,每人投5球.全班学生投进球数的扇形统计图如图所示,则投进球数的众数是.

七(1)班学生投进球数的扇形统计图11.某校开展演讲比赛,从演讲内容、演讲技巧、演讲效果三个方面打分,最终得分按4∶3∶3的比例计算.若选手小明在演讲内容、演讲技巧、演讲效果三个方面的得分分别为95分、80分、90分,则选手小明的最终得分为分.

12.甲、乙、丙三台机床生产直径为60mm的螺丝,为了检验产品质量,从三台机床生产的螺丝中各抽查了20个测量其直径,进行数据处理后,发现这三组数据的平均数都是60mm,它们的方差依次为s甲2=0.162,s乙2=0.058,s丙2=0.14913.甲、乙两名同学最近20次立定跳远成绩的平均值都是2.58m,方差分别是:s甲2=0.075,s乙2=0.04,这两名同学成绩比较稳定的是.(填“甲”或三、解答题14.王大伯几年前承包了甲、乙两片荒山,各栽100棵杨梅树,成活率为98%,现已挂果,经济效益初步显现.为了分析收成情况,他分别从两山上随意各采摘了4棵树上的杨梅,每棵的产量如折线统计图所示.(1)分别计算甲、乙两山样本的平均数,并估算出甲、乙两山杨梅的产量总和;(2)试通过计算说明,哪个山上的杨梅产量较稳定.15.某市为了节约生活用水,计划制定每位居民统一的月用水量标准,然后根据标准,实行分段收费.为此,对居民上年度的月均用水量进行了抽样调查,并根据调查结果绘制了上年度月均用水量的频数分布直方图(图中分组含最低值,不含最高值),请根据图中信息解答下列问题:(1)本次调查的居民人数为;

(2)本次调查的居民月均用水量的中位数落在频数分布直方图中的第小组内(从左至右数);

(3)当地政府希望让85%左右居民的月均用水量低于制定的月用水量标准,根据上述调查结果,你认为月用水量标准(取整数)定为多少吨时较为合适?16.自开展“学习新思想,做好接班人”主题阅读活动以来,受到各校的广泛关注和同学们的积极响应,某校为了解全校学生主题阅读的情况,随机抽查了部分学生在某一周主题阅读文章的篇数,并制成下列的统计图表.某校抽查的学生文章阅读的篇数统计表文章阅读的篇数/篇34567及以上人数/人2028m1612某校抽查学生文章阅读的篇数情况统计图请根据统计图表中的信息,解答下列问题:(1)求被抽查的学生人数和m的值;(2)求本次抽查的学生文章阅读篇数的中位数和众数;(3)若该校共有800名学生,根据抽查结果,估计该校学生在这一周内文章阅读的篇数为4篇的人数.17.省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛,对他们进行了六次测试,测试成绩如下表(单位:环):运动员第一次第二次第三次第四次第五次第六次甲10898109乙107101098(1)根据表格中的数据,计算出甲的平均成绩是环,乙的平均成绩是环;

(2)分别计算甲、乙六次测试成绩的方差;(3)根据(1)(2)计算的结果,你认为推荐谁参加全国比赛更合适,请说明理由.(计算方差的公式:s2=1n[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2