黑龙江省齐齐哈尔市2024-2025学年高一数学上学期12月月考试卷含解析

考试时间：120分钟满分：150分

一、选择题（每小题只有一个选项最符合题意，共8*5=40分）

1.2024是第几象限角（）

A.一B.二C.三D.四

【答案】C

【解析】

【分析】根据终边相同的角的定义计算判断象限即可.

【详解】因为20245360224，所以2024与224终边相同，

因为224是第三象限角，所以2024是第三象限角.

故选：C.

2.函数f(x)x23x18的零点是（）

A.(3,0)和(6,0)B.(3,0)和(6,0)

C.3和6D.3和6

【答案】C

【解析】

【分析】求出函数的零点即可得解.

【详解】由x23x180，得x3或x6，

所以函数f(x)x23x18的零点是3和6.

故选：C

3.Mx|x26x50,Nx|ax1，若MNN，由实数a的取值构成的集合为C，则集

合C的子集个数为（）

A.4B.8C.16D.32

【答案】D

【解析】

【分析】先求出集合M，根据MNN，可得NM，再分a0和a0两种情况讨论求出a，即

可得出集合C，进而可得出答案.

【详解】Mx|x26x501,5，

因为MNN，所以NM，

当a0时，NM，符合题意；

1

当a0时，则N，

a

111

所以1或5，解得a1或a，

aa5

1111

所以a1,,0,,1，即C1,,0,,1

5555

所以集合C的子集个数为2532.

故选：D.

2

4.函数fxlog22x7x4的单调减区间为（）

177

A.(,)B.(,)C.(,)D.(4,)

244

【答案】A

【解析】

【分析】根据对数函数、二次函数的性质，结合复合函数的单调性判断确定递减区间.

1

【详解】由2x27x4(2x1)(x4)0，可得x4或x，

2

1

所以f(x)的定义域为(,)(4,)，

2

7817

对于t2x27x42(x)2，开口向上且对称轴为x，

484

1

所以t在(,)上单调递减，在(4,)上单调递增，而ylogt单调递增，

22

1

所以f(x)的单调递减区间为(,).

2

故选：A

f(x2)f(x1)

log23

5.f(x)为R上的偶函数，当x1,x2[0,)时，0成立，af(log30.1)，bf(4)，

x2x1

c=f(0.3π)则a，b，c的大小关系是（）

A.cabB.abcC.cbaD.bca

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件确定函数f(x)在[0,)上单调性，利用指数、对数函数单调性可得

log23π，再结合偶函数性质比较大小.

2log31040.3

f(x)f(x)

21

【详解】由当x1,x2[0,)时，0成立，得函数f(x)在[0,)上单调递减，

x2x1

π10π10

log23log232

由91027，得2log3103；4(2)3；0.3()3，

33

因此log23π，则log23π，

2log31040.3f(log310)f(4)f(0.3)

由f(x)为R上的偶函数，得f(log30.1)f(log310)f(log310)，

所以log23π，即.

f(log30.1)f(4)f(0.3)cba

故选：C

16

6.已知2ab0，代数式a2取最小值时a3b的值为（）

b(2ab)

A.4B.8C.12D.16

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出取得最小值的条件即可得解.

b2ab

【详解】由2ab0，得2ab0，则b(2ab)()2a2，当且仅当ba时取等号，

2

16161616

因此a2a22a28，当且仅当ba且a2时取等号，

b(2ab)a2a2a2

16

a216

由a2，解得ba2，因此当ba2时，a2取得最小值8，

b(2ab)

ba

所以a3b4a8.

故选：B

x3xa

7.函数fx在,a上是单调减函数，在a,上是单调增函数，则实数a的取值

x1xa

范围（）

A.3,1B.1,1C.1,0D.[0，+¥)

【答案】C

【解析】

【分析】先分析分段函数两段的单调性，再结合已知条件确定a的取值范围.

【详解】因为yx3在,0,0,上单调递减；

yx1在,1上单调递减，在1,上单调递增，

x3xa

又因为函数fx在,a上是单调减函数，在a,上是单调增函数，

x1xa

,a,0a0

所以，则，即a1,0.

a,1,a1

故选：C

3x1

8.函数yf2x3是R上的奇函数，函数gx，若函数fx与gx有n个交点分别为

x2

x1,y1，x2,y2，，xn,yn，则x1y1x2y2xnyn的值为（）

A.2nB.3nC.4nD.5n

【答案】D

【解析】

【分析】根据奇函数及分式型函数的性质确定fx、gx的对称中心为(2,3)，进而求目标式的值.

【详解】由yf2x3是R上的奇函数，则fx的对称中心为(2,3)，

3x17

由gx3，显然gx的对称中心为(2,3)，

x2x2

x,yx,y

由函数fx与gx有n个交点分别为11，22，，xn,yn，

所以x1xnx2xn14，y1yny2yn16，

n

所以xyxyxy(46)5n.

1122nn2

故选：D

二、多选题（每小题有多个选项最符合题意，共3*6=18分）

9.下列选项正确的是（）

A.若sin0则cos0

7

B.πrad105

12

C.时针经过3小时，那么它旋转形成的角为90

24

D.一扇形弧长为4，圆心角为60则扇形的面积为

π

【答案】BD

【解析】

【分析】应用特殊值法计算判断A，弧度制与角度制转化判断B，应用角的旋转方向确定角的正负判断C，

应用扇形的弧长及面积公式计算判断D.

2π2π1

【详解】当，sin0时，则coscos=0，A选项错误；

332

7

πrad105，B选项正确；

12

时针经过3小时，那么它旋转形成的角为90，C选项错误；

π1211224

一扇形弧长为4，圆心角为60，则4r，所以r，则扇形的面积为4，D选项正

3π2ππ

确；

故选：BD.

10.函数yfx的定义域为R且x,yR，fxyfxfy恒成立，当x0时fx0，

且f36，下列说法正确的是（）

A.fx是偶函数

B.f12

C.f2xf3x2的解集为(4,)

D.f2024f2023f20240

【答案】BD

【解析】

【分析】根据奇函数的定义，结合条件判断A；应用赋值法，求得f33f1，判断B；根据单调性的

定义，判断函数的单调性，再求解不等式判断C；根据奇函数的性质求和判断D.

【详解】对A选项：令xy0，可得f0f0f02f0，所以f00，

令yx，则fxfxf00，所以fx为奇函数，所以A错误；

对B选项：令x1,y2，则f3f1f2，令xy1，则f2f1f1，

1

所以f33f1f(1)f(3)2，所以B正确；

3

对C选项：设xx1yx2，而fx1x2fx1fx2fx1fx2，

又x1x2，所以x1x20，所以fx1x20，即fx1fx2，

所以fx在R上单调递增，且f1f(1)2，

由f2xf3x2，可得f2xf3xf1f2x，

22

所以2x2x，得到x，即不等式解集为,，所以C错误；

33

对D选项：因为fx为奇函数，所以fxfx0，

所以f2024f2024f2023f2023f1f10，

又f00，故f2024f2023f20240成立.所以D正确.

故选：BD

2

x4x2x02

11.函数fx关于x的方程：f(x)2p2f(x)p24p0有六个零点，

log2xx0

则下列选项正确的（）

A.fx减区间为，2，0,2

B.0p2

C.p0或p2

D.函数y2x与yf(x)有5个交点

【答案】CD

【解析】

【分析】根据函数解析式画出图象，再由方程根的个数利用换元法得出二次函数对称轴以及区间内的交点

个数可得结果.

x24x2x0

【详解】作出函数fx的图象如下图所示，

log2xx0

fx减区间为，2，0,1，A选项错误；

函数y2x与yf(x)有5个交点，D选项正确；

令fxt，则方程f2x2p2fxpp40化为t22p2tpp40，

要使关于x的方程f2x2p2fxpp40恰好有六个不同的实数根，

2

则方程t2p2tpp40有两个不同实数根t1p,t2p4，

因此需满足

222

Δ4p24pp40Δ4p24pp40Δ4p24pp40

0p42或p42或p42，

2p0p0p2

解得p0或p2，B选项错误，C选项正确；

故选：CD

三、填空题（每小题5分，14题第1空2分，第2空3分，共3*5=15分）

12.函数fxx3xm是定义域2n,2n上的奇函数，则m2n________.

【答案】4

【解析】

【分析】根据函数是奇函数得出n，再应用奇函数定义计算求出m，最后计算求解.

【详解】函数fxx3xm是定义域2n,2n上的奇函数，则2n2n0，所以n2，

3

因为函数是奇函数，所以fxfx,xxmx3xmx3xm，

所以m0，则m2n4.

故答案为：4.

mm

13.幂函数fxm2m1xm3，对于xR,fxfx成立，则不等式a12a1则

a的范围是___________

1

【答案】,2,1

2

【解析】

【分析】由fxm2m1xm3是幂函数解得m，再根据已知条件得到fx为偶函数，从而确定m的

值，再利用作差法通分化简解得a的范围.

2m3

【详解】因为fxmm1x是幂函数，所以m2m11，解得m1或m2，

又因为对于xR,fxfx成立，则fx为偶函数，

2

当m1时，fxx2，fxxx2fx，则fx为偶函数，

5

当m2时，fxxx5fx，则fx为奇函数，不符合条件，

所以m1，

mm1111

则a12a1a12a1，即，

a12a1

112a1a1a21

所以0，解得a,2,1.

a12a1a12a1a12a12

1

故答案为：,2,1

2

14.函数hxx2mx3对于xR恒有h2xhx成立，则m______，函数

xxxfx

fxnxlog331是偶函数，函数gx333m，则gx值域是____________

【答案】①.2②.[6,)

【解析】

【分析】根据已知确定hx的对称轴，结合二次函数的对称轴求参数值，由偶函数的性质得到x2nx恒

成立求参数值，进而求值域.

2m

【详解】由h2xhx，即hxxmx3的图象关于x1对称，则1m2，

2

xx

由fxf(x)，则nxlog331nxlog331，

xxx1

所以log313log332nxlog331，则x2nx恒成立，故n，

2

xxx

log3x1

xx3xx31x11

所以gx3323233232(32)，

x3xx

3232

xxx

212x12121

由(3x)32，令t3232，当且仅当时取等号，

3xxxx0

323232

所以g(x)yt22t2(t1)23在t[2,)上单调递增，则yg(x)[6,).

故答案为：2，[6,)

四、解答题（5道大题，共77分）

15.角顶点为原点，始边在x轴非负半轴，终边上的一点Px,y，

（1）若x0，y3x求sin，cos的值；

（2）若tan2

①求sin2cost(2sincos)中的t值；

②求sin22sincos4cos2的值.

31

【答案】（1）sin，cos；

22

44

（2）①t；②

35.

【解析】

【分析】（1）利用角与终边上点的坐标的关系即可求解；

（2）利用齐次式，将弦化切即可求解.

【小问1详解】

y

因为x0，y3x，则点Px,y在第一象限，角为第一象限角，且tan3，

x

sin31

由tan且sin2cos21，解得sin，cos.

cos22

【小问2详解】

①因为sin2cost(2sincos)，且由题可知cos0，

所以左右两边同时除以cos，得到tan2t(2tan1)，

4

因为tan2，所以3t4，即t.

3

sin22sincos4cos2

②sin22sincos4cos2

sin2cos2

tan22tan4222244

.

tan212215

x2a5

16.函数fx满足f12,f2，

xb2

（1）求fx的解析式；

（2）用定义法证：fx为1,上的单调增函数；

2

（3）设函数gxkx1k0对于x11,3，x21,4使gx2fx1成立，求k的范围.

1

【答案】（1）fxxx0

x

7

（2）证明见解析（3）,1

48

【解析】

5

【分析】（1）利用f12,f2建立方程即可求解；

2

（2）利用定义设，且，比较与大小即可得到单调性；

x1,x21,1x1x2fx1fx2

10

（3）根据题意，求出fx12,，要使x11,3，x21,4使gx2fx1成立，则

3

10

，然后分，两种情况求解即可.

2,gx2k0k0

3

【小问1详解】

1a

2

51ba1

因为f12,f2，所以，解得，

4a5b0

2

2b2

x211

则fxx，

xx

1

所以fx的解析式为fxxx0.

x

【小问2详解】

1

由（1）可知fxxx0，设x,x1,，且1x1x2，

x12

1111x1x2x1x21

则fx1fx2x1x2x1x2，

x1x2x1x2x1x2

xxxx1

因为，所以，，则1212，

1x1x2x1x21x1x210x1x200

x1x2

所以fx1fx20fx1fx2，

所以fx为1,上的单调增函数.

【小问3详解】

10

由（2）知，时，，

x11,3fx12,

3

所以要使x11,3，x21,4使gx2fx1成立，

10

只需要使，

x21,42,gx2

3

因为gxkx21k0，

①若k0，则gxkx21在1,4上单调递增，则gxk1,16k1，

k12

7

所以10，解得k,1，

16k148

3

②若k0，则gxkx21在1,4上单调递减，则gx16k1,k1，

16k12

所以10，解得k无解，

k1

3

7

所以综上，k,1.

48

17.某化工厂引进一条龙先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y万元与年产量x吨之间的函数

1

关系可以近似地表示为yx226x1600，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.

4

（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求最低平均成本；

（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少时，可以获得最大利润？

并求最大利润.

【答案】（1）年产量为80吨时，平均成本最低为14万元/吨；

（2）年产量为100吨时，最大利润为900万元.

【解析】

【分析】（1）列出式子，通过基本不等式即可求得；

（2）将式子化简后，通过二次函数的角度求得最大值.

【小问1详解】

yx1600x1600

2622614，x[60,110]，

x4x4x

x1600

当且仅当时，即x80取等号，符合题意；

4x

∴年产量为80吨时，平均成本最低为14万元/吨.

【小问2详解】

2

x12

Lx24x26x1600(x100)900，

44

=

又60x110，当x100时，L(x)max900.

答：年产量为100吨时，最大利润为900万元.

2k

18.函数fx为R上的奇函数.

1ex2

（1）求实数k的值；

（2）若x0，关于x的不等式f2xmfx恒成立，求实数m的范围；

fx1

（3）设函数gx，对于实数r,s,t0,n，若以r,s,t为线段长度可以构成三角形，则以

1fx

gr,gs,gt为线段长度也能构成三角形，求实数n的最大值.

【答案】（1）k2

（2）m≤1

（3）2ln2

【解析】

【分析】（1）根据f(0)0求出k，再检验f(x)的奇偶性；

2

ex1

（2）若x0，将关于x的不等式f2xmfx恒成立，转化为m恒成立，利用不等式解得

e2x1

2

ex1

1,2，从而可得m≤1；

e2x1

（3）化简g(x)ex，设0rstn，即rst，且ereset，根据题意得ertest1恒成立，

tt

根据基本不等式得rtst，由求出的最大值即为n的最大值.

ee2e22e21t

【小问1详解】

2k

因为fx为R上的奇函数，所以f(0)0，

1ex2

2k

即0，解得k2，

1e02

21ex

则fx1，

1ex1ex

1exex11ex

因为fxf(x)，则f(x)是奇函数，

1exex11ex

所以k2.

【小问2详解】

1exex1

由（1）知fx，

1exex1

e2x1ex1

由x0时，f(2x)mf(x)恒成立，得m，

e2x1ex1

2

x

xe1

因为e10，所以m，

e2x1

2

x

e1e2x2ex12ex2

设h(x)2x2x12x1，

x1

e1e1e1e

ex

11

因为ex2，当且仅当x0时等号成立，又x0，所以ex2，

exex

2

01

所以1，

ex

ex

2

x

e12

故h(x)2x11,2，

x1

e1e

ex

所以m≤1.

【小问3详解】

ex1