判断相似矩阵题目及答案

判断相似矩阵题目及答案考试时间：120分钟 总分：100分 年级/班级：高中一年级数学

判断相似矩阵题目及答案

一、选择题

1.下列哪个矩阵与矩阵A相似？

A.

$$\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}$$

B.

$$\begin{pmatrix}3&0\\0&1\end{pmatrix}$$

C.

$$\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$$

D.

$$\begin{pmatrix}1&0\\0&3\end{pmatrix}$$

2.矩阵A与矩阵B相似，矩阵B的特征值为2，-1，则矩阵A的特征值可能为：

A.2，-1

B.1，3

C.2，1

D.-1，-2

3.矩阵A与矩阵B相似，且矩阵A的特征值为1，2，3，则矩阵B的特征值一定为：

A.1，2，3

B.1，1，6

C.2，3，6

D.3，6，18

4.下列哪个矩阵不与矩阵A相似？

A.

$$\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}$$

B.

$$\begin{pmatrix}2&1\\0&1\end{pmatrix}$$

C.

$$\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}$$

D.

$$\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}$$

5.如果矩阵A与矩阵B相似，且矩阵A的特征值为1，2，则矩阵B的特征值的可能组合为：

A.1，2

B.2，2

C.1，1

D.以上都不对

6.矩阵A的特征值为1，1，2，则矩阵A可能不相似于：

A.

$$\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}$$

B.

$$\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}$$

C.

$$\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}$$

D.

$$\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$$

7.矩阵A与矩阵B相似，矩阵A的特征值为1，2，3，则矩阵B的迹为：

A.6

B.4

C.3

D.2

8.矩阵A与矩阵B相似，矩阵A的特征值为1，2，3，则矩阵B的行列式为：

A.6

B.4

C.3

D.2

9.下列哪个矩阵一定与矩阵A相似？

A.

$$\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$$

B.

$$\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$$

C.

$$\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}$$

D.

$$\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}$$

10.如果矩阵A与矩阵B相似，且矩阵A的特征值为1，2，则矩阵B的特征值的可能组合为：

A.1，2

B.2，2

C.1，1

D.以上都不对

二、填空题

1.矩阵A与矩阵B相似，矩阵A的特征值为1，2，3，则矩阵B的特征值的和为______。

2.矩阵A与矩阵B相似，矩阵A的特征值为1，2，3，则矩阵B的行列式为______。

3.矩阵A的特征值为1，1，2，则矩阵A的迹为______。

4.矩阵A与矩阵B相似，矩阵A的特征值为1，2，则矩阵B的特征值的可能组合为______。

5.矩阵A的特征值为1，2，3，则矩阵A可能不相似于______。

6.矩阵A与矩阵B相似，矩阵A的特征值为1，2，则矩阵B的迹为______。

7.矩阵A与矩阵B相似，矩阵A的特征值为1，2，3，则矩阵B的行列式为______。

8.矩阵A的特征值为1，1，2，则矩阵A的行列式为______。

9.矩阵A与矩阵B相似，矩阵A的特征值为1，2，则矩阵B的特征值的可能组合为______。

10.矩阵A的特征值为1，2，3，则矩阵A可能不相似于______。

三、多选题

1.矩阵A与矩阵B相似，以下哪个说法一定正确？

A.矩阵A与矩阵B的特征值相同

B.矩阵A与矩阵B的迹相同

C.矩阵A与矩阵B的行列式相同

D.矩阵A与矩阵B的特征向量相同

2.矩阵A的特征值为1，2，3，以下哪个矩阵可能不与矩阵A相似？

A.

$$\begin{pmatrix}1&0\\0&6\end{pmatrix}$$

B.

$$\begin{pmatrix}3&0\\0&2\end{pmatrix}$$

C.

$$\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}$$

D.

$$\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}$$

3.矩阵A与矩阵B相似，以下哪个说法可能不正确？

A.矩阵A与矩阵B的特征值相同

B.矩阵A与矩阵B的迹相同

C.矩阵A与矩阵B的行列式相同

D.矩阵A与矩阵B的特征向量相同

4.矩阵A的特征值为1，1，2，以下哪个矩阵可能不与矩阵A相似？

A.

$$\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}$$

B.

$$\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}$$

C.

$$\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}$$

D.

$$\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$$

5.矩阵A与矩阵B相似，以下哪个说法一定正确？

A.矩阵A与矩阵B的特征值相同

B.矩阵A与矩阵B的迹相同

C.矩阵A与矩阵B的行列式相同

D.矩阵A与矩阵B的特征向量相同

四、判断题

1.如果矩阵A与矩阵B相似，则矩阵A与矩阵B的特征值一定相同。

2.矩阵A的特征值为1，2，3，则矩阵A一定可以相似对角化。

3.矩阵A与矩阵B相似，则矩阵A与矩阵B的行列式一定相同。

4.矩阵A的特征值为1，1，2，则矩阵A的迹为4。

5.如果矩阵A与矩阵B相似，则存在可逆矩阵P，使得B=P^(-1)AP。

6.矩阵A与矩阵B相似，则矩阵A与矩阵B的特征向量一定相同。

7.矩阵A的特征值为1，2，3，则矩阵A的行列式为6。

8.矩阵A与矩阵B相似，则矩阵A与矩阵B的迹一定相同。

9.矩阵A的特征值为1，1，2，则矩阵A一定可以相似对角化。

10.如果矩阵A与矩阵B相似，则矩阵A与矩阵B的秩一定相同。

五、问答题

1.简述矩阵相似的定义。

2.判断两个矩阵是否相似的常用方法有哪些？

3.矩阵相似对角化的条件是什么？

试卷答案

一、选择题

1.A

解析：矩阵相似意味着存在可逆矩阵P，使得B=P^(-1)AP。选项A中的矩阵可以通过适当的相似变换得到矩阵A，例如令P=

$$\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$$，则B=P^(-1)AP=A。其他选项无法通过相似变换得到矩阵A。

2.A

解析：相似矩阵的特征值相同。因此，如果矩阵A与矩阵B相似，且矩阵B的特征值为2，-1，则矩阵A的特征值也一定是2，-1。

3.A

解析：相似矩阵的特征值相同。因此，如果矩阵A与矩阵B相似，且矩阵A的特征值为1，2，3，则矩阵B的特征值也一定是1，2，3。

4.B

解析：选项B中的矩阵无法通过相似变换得到矩阵A。矩阵A的特征值为1，2，而选项B中的矩阵的特征值为1，1，这与矩阵A的特征值不同。

5.A

解析：相似矩阵的特征值相同。因此，如果矩阵A与矩阵B相似，且矩阵A的特征值为1，2，则矩阵B的特征值的可能组合为1，2。

6.D

解析：矩阵A的特征值为1，1，2，而选项D中的矩阵的特征值为1，1，这与矩阵A的特征值不同。因此，矩阵A可能不相似于选项D中的矩阵。

7.A

解析：相似矩阵的迹相同。矩阵A的特征值为1，2，3，则矩阵A的迹为1+2+3=6。因此，矩阵B的迹也为6。

8.A

解析：相似矩阵的行列式相同。矩阵A的特征值为1，2，3，则矩阵A的行列式为1*2*3=6。因此，矩阵B的行列式也为6。

9.C

解析：选项C中的矩阵可以通过相似变换得到矩阵A。例如令P=

$$\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}$$，则

$$\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}$$=P^(-1)AP=A。其他选项无法通过相似变换得到矩阵A。

10.A

解析：相似矩阵的特征值相同。因此，如果矩阵A与矩阵B相似，且矩阵A的特征值为1，2，则矩阵B的特征值的可能组合为1，2。

二、填空题

1.6

解析：相似矩阵的特征值相同。矩阵A的特征值为1，2，3，则矩阵B的特征值也为1，2，3。特征值的和为1+2+3=6。

2.6

解析：相似矩阵的行列式相同。矩阵A的特征值为1，2，3，则矩阵A的行列式为1*2*3=6。因此，矩阵B的行列式也为6。

3.3

解析：矩阵A的特征值为1，1，2，则矩阵A的迹为1+1+2=4。因此，矩阵A的迹为3。

4.1，2

解析：相似矩阵的特征值相同。因此，如果矩阵A与矩阵B相似，且矩阵A的特征值为1，2，则矩阵B的特征值的可能组合为1，2。

5.

$$\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}$$

解析：矩阵A的特征值为1，2，3，而选项D中的矩阵的特征值为1，1，这与矩阵A的特征值不同。因此，矩阵A可能不相似于选项D中的矩阵。

6.6

解析：相似矩阵的迹相同。矩阵A的特征值为1，2，3，则矩阵A的迹为1+2+3=6。因此，矩阵B的迹也为6。

7.6

解析：相似矩阵的行列式相同。矩阵A的特征值为1，2，3，则矩阵A的行列式为1*2*3=6。因此，矩阵B的行列式也为6。

8.2

解析：矩阵A的特征值为1，1，2，则矩阵A的行列式为1*1*2=2。因此，矩阵A的行列式为2。

9.1，2

解析：相似矩阵的特征值相同。因此，如果矩阵A与矩阵B相似，且矩阵A的特征值为1，2，则矩阵B的特征值的可能组合为1，2。

10.

$$\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}$$

解析：矩阵A的特征值为1，2，3，而选项D中的矩阵的特征值为1，1，这与矩阵A的特征值不同。因此，矩阵A可能不相似于选项D中的矩阵。

三、多选题

1.A，B，C

解析：相似矩阵的特征值相同，迹相同，行列式相同。因此，矩阵A与矩阵B的特征值相同，迹相同，行列式相同。

2.A，C

解析：选项A和C中的矩阵的特征值乘积不为6，而矩阵A的特征值乘积为6。因此，选项A和C中的矩阵可能不与矩阵A相似。

3.D

解析：相似矩阵的特征向量不一定相同。因此，矩阵A与矩阵B的特征向量可能不同。

4.A，C

解析：选项A和C中的矩阵的特征值乘积不为2，而矩阵A的特征值乘积为2。因此，选项A和C中的矩阵可能不与矩阵A相似。

5.A，B，C

解析：相似矩阵的特征值相同，迹相同，行列式相同。因此，矩阵A与矩阵B的特征值相同，迹相同，行列式相同。

四、判断题

1.正确

解析：相似矩阵的特征值相同。因此，如果矩阵A与矩阵B相似，则矩阵A与矩阵B的特征值一定相同。

2.正确

解析：矩阵A的特征值为1，2，3，且特征值互不相同，因此矩阵A一定可以相似对角化。

3.正确

解析：相似矩阵的行列式相同。因此，如果矩阵A与矩阵B相似，则矩阵A与矩阵B的行列式一定相同。

4.正确

解析：矩阵A的特征值为1，1，2，则矩阵A的迹为1+1+2=4。

5.正确

解析：矩阵相似的定义就是存在可逆矩阵P，使得B=P^(-1)AP。

6.错误

解析：相似矩阵的特征向量不一定相同。因此，矩阵A与矩阵B的特征向量不一定相同。

7.正确

解析：相似矩阵的行列式相同。矩阵A的特征值为1，2，3，则矩阵A的行列式为1*2*3=6。

8.正确

解析：相似矩阵的迹相同。因此，如果矩阵A与矩阵B相似，