高中数学概率专项复习期末真题汇编（含答案详解）

专题概率高频考点概览考点01互斥和对立事件考点02写出样本空间考点03古典概型考点04相互独立事件的判断考点05相互独立事件的概率考点06频率和概率考点01考点01互斥和对立事件1．（2023秋•朝阳区校级期末）从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，则下列事件是对立事件的是（）A．“都是白球”与“至少有一个白球” B．“恰有一个白球”与“都是红球” C．“都是白球”与“都是红球” D．“至少有一个白球”与“都是红球”【解答】解：从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球的所有情况有：一个白球，一个红球；两个白球；两各红球，：至少有一个白球包括两个白球和一个白球，一个红球，不符合题意；：恰有一个白球与都是红球为互斥事件，但不是对立事件；：都是白球和都是红球为互斥事件，但不是对立事件；：至少有一个白球包括一个白球，一个红球和两个白球，与都是红球对立．故选：．2．（2020秋•丰台区期末）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，则与的关系为（）A．互斥 B．相互对立 C．相互独立 D．相等【解答】解：根据题意，事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，两个事件可以同时发生，也可以都不发生，事件发生与否对事件没有影响，是相互独立事件，故选：．3．（2024春•大兴区期末）一个人打靶时连续射击两次，事件“两次都没中靶”的相互对立事件是（）A．至多有一次中靶 B．至少有一次中靶 C．两次都中靶 D．只有一次中靶【解答】解：一个人打靶时连续射击两次，事件“两次都没中靶”的相互对立事件是至少有一次中靶．故选：．4．（2024春•东城区期末）从装有2张红色卡片和2张黑色卡片的盒子中任取2张卡片，则下列结论正确的是（）A．“恰有一张黑色卡片”与“都是黑色卡片”为互斥事件 B．“至少有一张红色卡片”与“至少有一张黑色卡片”为互斥事件 C．“恰有一张红色卡片”与“都是黑色卡片”为对立事件 D．“至多有一张黑色卡片”与“都是红色卡片”为对立事件【解答】解：“恰有一张黑色卡片”与“都是黑色卡片”不可能同时发生，二者为互斥事件，故正确；“至少有一张红色卡片”与“至少有一张黑色卡片”可以同时发生，二者不为互斥事件，故错误；“恰有一张红色卡片”与“都是黑色卡片”为互斥事件，且二者可以都不发生，故不为对立事件，故错误；“至多有一张黑色卡片”与“都是红色卡片”可以同时发生，二者不为对立事件，故错误．故选：．5．（2025春•丰台区期末）某人连续投篮两次，下列事件中与事件“恰有一次投中”互斥的为（）A．至多有一次投中 B．至少有一次投中 C．恰有一次没有投中 D．两次都投中【解答】解：某人连续投篮两次有以下四种情况：第一次中第二次中，第一次中第二次不中，第一次不中第二次中，第一次不中第二次不中，事件“恰有一次投中”包含：第一次不中第二次中，第一次中第二次不中，所以与之互斥的就是“两次都投中”．故选：．6．（2023春•台江区校级期末）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A．至少有一个黑球与都是黑球 B．至少有一个黑球与至少有一个红球 C．恰有一个黑球与恰有两个黑球 D．至少有一个黑球与都是红球【解答】解：对于：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，这两个事件不是互斥事件，不正确；对于：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，不正确；对于：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，两个事件是互斥事件但不是对立事件，正确；对于：事件：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，这两个事件是对立事件，不正确；故选：．7．（2024春•通州区期末）一个口袋内装有大小、形状相同的红色、黄色和绿色小球各2个，不放回地逐个取出2个小球，则与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件有（）A．2个小球恰有一个红球 B．2个小球至多有1个红球 C．2个小球中没有绿球 D．2个小球至少有1个红球【解答】解：根据题意，一个口袋内装有大小、形状相同的红色、黄色和绿色小球各2个，不放回地逐个取出2个小球，有“2个小球都为红色”、“2个小球都为黄色”、“2个小球都为绿球”和“2个小球1个红色和1个黄色”，“2个小球1个红色和1个绿色”、“2个小球1个绿色和1个黄色”，依次分析选项：对于，“2个小球恰有一个红球”即“2个小球1个红色和1个黄色”和“2个小球1个红色和1个绿色”，与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立，符合题意；对于，“2个小球至多有1个红球”即“2个小球1个红色和1个不是红色”，“2个小球至多有1个红球”即“2个小球都不是红球”和“2个小球恰有一个红球”，“2个小球都为红色”和“2个小球至多有1个红球”是对立事件，不符合题意；对于，“2个小球中没有绿球”即“2个小球都为红色”、“2个小球都为黄色”和“2个小球1个红色和1个黄色”，则“2个小球都为红色”是“2个小球中没有绿球”的子事件，不符合题意；对于，“2个小球至少有1个红球”即“2个小球1个红色和1个不是红色的球”和“2个小球都为红色”，“2个小球都为红色”是“2个小球至少有1个红球”的子事件，不符合题意．故选：．8．（2024春•北京期末）已知随机事件和互斥，和对立，且（C），（B），则（）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5【解答】解：根据题意，由和对立，可得（A）（C），又由（C），则（A），又由随机事件和互斥，则（A）（B）．故选：．考点02写出样本空间9．（2021春•通州区期末）先后抛掷两枚质地均匀的硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，此试验的样本空间为（）A．正面，反面 B．正面，反面 C．（正面，正面），（反面，正面），（反面，反面） D．（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）【解答】解：先后抛掷两枚质地均匀的硬币，有先后顺序，则此试验的样本空间为（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）．故选：．10．（2020秋•大兴区期末）从2名男生（记为和和3名女生（记为，和组成的总体中，任意依次抽取2名学生．（Ⅰ）分别写出有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样的样本空间；（Ⅱ）在（Ⅰ）中的两种抽样方式下，分别求出抽到的2人为1名男生和1名女生的概率．【解答】解：（Ⅰ）从2名男生（记为和和3名女生（记为，和组成的总体中，任意依次抽取2名学生，有放回简单随机抽样的样本空间为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．不放回简单随机抽样的样本空间为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．（Ⅱ）有放回简单随机抽样时，抽到的2人为1名男生和1名女生包含的基本事件有12个，分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．有放回简单随机抽样时，抽到的2人为1名男生和1名女生的概率．不放回简单随机抽样时，抽到的2人为1名男生和1名女生包含的基本事件有12个，分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．不放回简单随机抽样时，抽到的2人为1名男生和1名女生的概率．考点03古典概型11．（2022春•平谷区期末）口袋中装有三个编号分别为1，2，3的小球，现从袋中随机取球，每次取一个球，确定编号后放回，连续取球两次．则“两次取球中有3号球”的概率为（）A． B． C． D．【解答】解：每次取球时，出现3号球的概率为，则两次取得球都是3号求得概率为，两次取得球只有一次取得3号求得概率为，故“两次取球中有3号球”的概率为，故选：．12．（2025秋•西城区校级期末）从1，2，3，4这四个数中一次随机选取两个数，所取两个数之和为5的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，其基本事件共有以下6个：，，，，，．其中两个数的和为5的共有两个，．故所求事件的概率，故选：．13．（2021春•朝阳区期末）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球，2个绿色球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则两个球颜色相同的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：对2个红色球，2个绿色球依次编号为1，2，，，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，共有，，，，，，，，，，，种，则两个球颜色相同的情况共有，，，种，则两个球颜色相同的概率，故选：．14．（2025秋•西城区校级期末）若非空集合满足：，都有，则称集合具有“对称特征”．已知集合，2，3，4，，则的非空子集的个数为；从的所有非空子集中随机选取一个集合，则选取的集合具有“对称特征”的概率为．【解答】解：根据题意，集合，2，3，4，，有5个元素，则其非空子集有个，其非空子集中，具有“对称特征”的子集有，、、、、，5，2，、，5，、，4，、，5，2，4，，共7个，故要求的概率．故答案为：31；．15．（2025春•东城区期末）甲、乙两个袋子中分别装有标号为1，2，3，4的4个球，这些球除标号不同外没有其他差别，分别从两个袋子中随机摸出一个球，则摸出的两个小球的标号相同的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：根据题意，每个袋子中有4个球，分别从两个袋子中随机摸出一个球，有种取法，其中摸出的两个小球的标号相同有4种，则要求概率．故选：．16．（2025春•大兴区期末）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲、乙两人中至少一人被选中的概率为（）A． B． C． D．【解答】解：设这5名学生分别为甲、乙、丙、丁、戊，从中随机选出2人，共有甲乙，甲丙，甲丁，甲戊，乙丙，乙丁，乙戊，丙丁，丙戊，丁戊，共10种选法，其中“甲、乙两人中至少一人被选中”共有甲乙，甲丙，甲丁，甲戊，乙丙，乙丁，乙戊，7种情况，因此所求概率为．故选：．17．（2023春•朝阳区校级期末）某班分成了、、、四个学习小组学习二十大报告，现从中随机抽取两个小组在班会课上进行学习成果展示，则组和组恰有一个组被抽到的概率为（）A． B． C． D．【解答】解：从、、、四个学习小组中随机抽取两个小组有，，，，，共6种结果，其中组和组恰有一个组被抽到的结果有，，，共4种结果，所以组和组恰有一个组被抽到的概率为．故选：．18．（2025春•丰台区期末）从1，2，3组成的无重复数字的所有三位数中随机抽取一个数，则该数大于300的概率为（）A． B． C． D．【解答】解：从1，2，3组成的无重复数字的所有三位数中随机抽取一个数，组成的无重复的所有的三位数为，大于300的无重复的三位数为，所以所求的概率为．故选：．19．（2025春•大兴区期末）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如表所示．赔付金额元01000200030004500车辆数辆6008011012090若每辆车的投保金额均为2500元，估计赔付金额大于投保金额的概率为；在样本车辆中，车主是新司机的占，在赔付金额为4500元的样本车辆中，车主是新司机的占，估计在已投保的新司机中，获赔金额为4500元的概率为．【解答】解：根据题意，可得样本车辆共1000辆，而赔付金额大于2500的有210辆，则赔付金额大于投保金额的概率为；又车主是新司机的占，则新司机车辆有150辆，又在赔付金额为4500元的样本车辆中，车主是新司机的占，共计辆，则在已投保的新司机中，获赔金额为4500元的概率为．故答案为：；．20．（2024春•丰台区期末）一个盒子中装有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球和2个白球，若从中任取2个球，则“恰有1个红球”的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：盒子中装有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球和2个白球，若从中任取2个球，则有种取法，又恰有1个红球有种取法，则恰有1个红球的概率是．故选：．21．（2024春•朝阳区期末）袋子中有4个大小和质地相同的小球，标号为1，2，3，4．若从中随机摸出一个小球，则摸到球的标号大于3的概率是；若从中随机摸出两个小球，则摸到球的标号之和为偶数的概率是．【解答】解：由题意，从袋子中随机摸出一个小球，有4种结果，而标号大于3的结果只有1种，故摸到球的标号大于3的概率是；从中随机摸出两个小球，样本空间，，，，，，共6种结果，摸到球的标号之和为偶数的事件，，共2种结果，所以摸到球的标号之和为偶数的概率．故答案为：；．22．（2024春•大兴区期末）《易系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图，洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案．河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数．若从阳数和阴数中各取一数，则阳数大于阴数的概率为．【解答】解：设所有的基本事件为，其中，3，5，7，9，，4，6，8，10，共25个基本事件，目标事件为，，，，，，，，，共10个基本事件，所以．故答案为：．23．（2022春•通州区期末）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有1个白色球，3个黑色球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则两个球都是黑色球的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：设两个球都是黑色球为事件，基本事件总数为，事件包含的基本事件数为，（A），故选：．24．（2022春•朝阳区期末）一个袋子中有大小和质地相同的4个红球和个绿球，采用有放回方式从中依次随机地取出2个球，若取出的2个球颜色不同的概率为，则的所有可能取值为．【解答】解：一个袋子中有大小和质地相同的4个红球和个绿球，采用有放回方式从中依次随机地取出2个球，则取出的2个球颜色不同的概率为：，化简得，解得或，故答案为：2或8．25．（2024春•东城区期末）某中学调查了某班全部45名同学参加书法小组和科创小组的情况，数据如下（单位：人）参加书法小组未参加书法小组参加科创小组84未参加科创小组330（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个小组的概率；（Ⅱ）在既参加书法小组又参加科创小组的8名同学中，有5名男同学，，，，，3名女同学，，，现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求被选中且未被选中的概率．【解答】解：（Ⅰ）由调查数据可知，既未参加书法小组又未参加科创小组的有30人，故至少参加上述一个小组的共有（人，所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个小组的概率为；（Ⅱ）从5名男同学和3名女同学中各随机选1人的所有基本事件有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共15个，其中被选中且未被选中的有，，，共2个，所以被选中且未被选中的概率为．26．（2025秋•西城区校级期末）某工厂有甲、乙两条相互独立的产品生产线，单位时间内甲、乙两条生产线的产量之比为．现采用分层抽样的方法从甲、乙两条生产线得到一个容量为100的样本，其部分统计数据如下表所示（单位：件）．一等品二等品甲生产线76乙生产线2请直接写出，的值；（Ⅱ）从上述样本的所有二等品中任取2件，求至少有1件为甲生产线产品的概率；（Ⅲ）以抽样结果的频率估计概率，现分别从甲、乙两条产品生产线随机抽取2件产品，记表示从甲生产线随机抽取的2件产品中恰好有1件一等品的概率，表示从乙生产线随机抽取的2件产品中恰好有1件一等品的概率，试比较和的大小．（只需写出结论）【解答】解：由题意，知，解得，；（Ⅱ）记样本中甲生产线的4件二等品为，，，，乙生产线的2件二等品为，，从6件二等品中任取2件，所有可能的结果有15个，它们是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，记为“至少有1件为甲生产线产品”这一事件，则中的结果有1个，它是，，所以．（Ⅲ）．理由如下：在一个容量为100的样本中，因为甲生产线产品有76件一等品，有4件二等品，一共有80件产中品，所以从甲生产线产品中取出一件产品是一等品的频率为，因为乙生产线产品有18件一等品，有2件二等品，一共有20件产品，所以从乙生产线产品中取出一件产品是一等品的频率为，由题意可知：以抽样结果的频率估计概率，所以从甲产品生产线随机抽取1件产品是一等品的概率为0.95，从乙产品生产线随机抽取1件产品是一等品的概率为0.9．，，所以．考点04相互独立事件的判断27．（2022春•朝阳区校级期末）有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，则（）A．甲与丙相互独立 B．丙与丁相互独立 C．甲与丁相互独立 D．乙与丙相互独立【解答】解：甲、乙、丙、丁事件分别记为，，，，则有（A）（B），（C），（D），对于，（A）（C），，（A）（C），不正确；对于，（C）（D），，（C）（D），不正确；对于，（A）（D），，（A）（D），甲与丁相互独立，正确；对于，（B）（C），，（B）（C），不正确．故选：．28．（2024春•丰台区期末）同时抛掷两枚质地均匀的骰子，观察向上的点数，记事件“点数之和为5”，事件“点数之积为6”，事件“至少有一个点数为3”，事件“点数都不为3”，则（）A．为不可能事件 B．与相互独立 C．与互斥 D．与互为对立【解答】解：对于，当一个点数为3，另一个点数为2时，事件和事件同时发生，故错误；对于，由题意可知，（A），（B），，因为（A）（B），所以与不相互独立，故错误；对于，当一个点数为1，另一个点数为6时，事件和事件同时发生，所以与不互斥，故错误；对于，由对立事件的定义可知，与互为对立事件，故正确．故选：．29．（2024秋•怀柔区期末）有四个盒子，已知前三个盒中分别只装了一个红球、一个绿球、一个黄球，第四个盒子中红球、绿球、黄球都有．现随机抽取一个盒子，事件为抽中的盒子里面有红球，事件为抽中的盒子里面有绿球，事件为抽中的盒子里面有黄球．则下面正确的选项是（）A．与互斥 B．与相互独立 C．与互斥 D．与相互独立【解答】解：根据题意，设“抽中第一个盒子”，“抽中第二个盒子”，“抽中第三个盒子”，“抽中第四个盒子”，则，则，，，依次分析选项：对于，，事件和可以同时发生，与不互斥，错误；对于，（A），（B），，与相互独立，正确；对于，，事件和可以同时发生，与不互斥，错误；对于，（A），，，（A），则与不相互独立，错误．故选：．考点05相互独立事件的概率30．（2022秋•丰台区期末）甲、乙两人独立地破译某个密码，若两人独立译出密码的概率都是0.5，则密码被破译的概率为．【解答】解：密码被破译的概率为．故答案为：0.75．31．（2025春•通州区期末）天气预报端午假期甲地的降雨概率为0.6，乙地的降雨概率为0.7，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则在这段时间内两地都不降雨的概率为．【解答】解：由题意可知，在这段时间内两地都不降雨的概率为．故答案为：0.12．32．（2022秋•石景山区期末）甲、乙两人进行羽毛球比赛，采取“三局两胜”制，即两人比赛过程中，谁先胜两局即结束比赛，先胜两局的是胜方，另一方是败方．根据以往的数据分析，每局比赛甲胜乙的概率均为，甲、乙比赛没有平局，且每局比赛是相互独立的．（1）求比赛恰进行两局就结束的概率；（2）求这场比赛甲获胜的概率．【解答】解：（1）比赛恰进行两局就结束对应的事件有两种可能，事件：甲胜乙，事件：乙胜甲．，，．（2）这场比赛甲获胜对应的事件有两种可能，事件：比赛两局结束且甲获胜；事件：比赛三局结束且甲获胜．，，．33．（2024春•大兴区期末）甲，乙，丙三人独立破译同一份密码．已知甲，乙，丙各自独立破译出密码的概率分别为，且他们是否破译出密码互不影响，则至少有2人破译出密码的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：因为甲，乙，丙三人独立破译同一份密码．已知甲，乙，丙各自独立破译出密码的概率分别为，且他们是否破译出密码互不影响，则至少有2人破译出密码的概率为．故选：．34．（2023春•朝阳区期末）甲、乙两人射击，甲的命中率为0.6，乙的命中率为0.5，如果甲、乙两人各射击一次，恰有一人命中的概率为（）A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6【解答】解：由题意得，恰有一人命中的概率为．故选：．35．（2024春•通州区期末）从写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中有放回的抽取两次，两次抽取的卡片数字和为5的概率是．【解答】解：从写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中有放回的抽取两次，共有25种取法，又两次抽取的卡片数字和为5的取法有，，，共4种，则两次抽取的卡片数字和为5的概率是．故答案为：．36．（2024春•闽侯县期末）近期九江市各部门掀起创建文明城市高潮，为增强师生创建全国文明城市意识，某校组织了一次教师创建全国文明城市知识考核，每位教师必需参加且最多参加2次考核，一旦第一次考核通过则不再参加第二次考核，2次考核未通过的教师将被扣除文明积分．已知教师甲每次考核通过的概率为，教师乙每次考核通过的概率为，且甲乙每次是否通过相互独立．（1）求乙通过考核的概率；（2）求甲乙两人考核的次数和为3的概率．【解答】解：（1）乙第一次考核通过的概率，乙第二次考核通过的概率为，乙通过考核的概率为；（2）甲考核2次，乙考核1次的概率，甲考核1次，乙考核2次的概率，甲乙两人的考核次数和为3的概率．37．（2024春•通州区期末）在中小学生体质健康测试中，甲、乙两人各自测试通过的概率分别是0.6和0.8，且测试结果相互独立，求：（Ⅰ）两人都通过体质健康测试的概率；（Ⅱ）恰有一人通过体质健康测试的概率；（Ⅲ）至少有一人通过体质健康测试的概率．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，记甲通过体能测试为事件，乙通过体能测试为事件，且事件与事件相互独立，则两人都通过体能测试的概率（A）（B）；（Ⅱ）由事件与事件相互独立，则恰有一人通过体能测试的概率为：；（Ⅲ）由事件与事件相互独立，则至少有一人通过体能测试的概率为：．38．（2022秋•平谷区期末）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，，，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求：（Ⅰ）该应聘者用方案一考试通过的概率；（Ⅱ）该应聘者用方案二考试通过的概率．【解答】解：（1）记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为，，，则（A），（B），（C），应聘者用方案一考试通过的概率：；（2）应聘者用方案二选择任意两科的概率为，考试通过的概率：．39．（2022秋•怀柔区期末）为了庆祝神舟十四号成功返航，学校开展“航天知识”竞赛活动，甲乙两个班级的代表队同时回答一道有关航天知识的问题，甲队答对此题的概率是，乙队答对此题的概率是，假设每队答题正确与否是相互独立的．（Ⅰ）求甲乙两队都答对此题的概率；（Ⅱ）求甲乙两队至少有一队答对此题的概率．【解答】解：（Ⅰ）甲乙两个班级的代表队同时回答一道有关航天知识的问题，甲队答对此题的概率是，乙队答对此题的概率是，假设每队答题正确与否是相互独立的．则甲乙两队都答对此题的概率；（Ⅱ）甲乙两队至少有一队答对此题的概率为：．40．（2022秋•延庆区期末）已知甲的投篮命中率为0.6，乙的投篮命中率为0.7，丙的投篮命中率为0.5，求：（Ⅰ）甲，乙，丙各投篮一次，三人都命中的概率；（Ⅱ）甲，乙，丙各投篮一次，恰有两人命中的概率；（Ⅲ）甲，乙，丙各投篮一次，至少有一人命中的概率．【解答】解：甲的投篮命中率为0.6，乙的投篮命中率为0.7，丙的投篮命中率为0.5，（Ⅰ）甲，乙，丙各投篮一次，三人都命中的概率为：；（Ⅱ）甲，乙，丙各投篮一次，恰有两人命中的概率为：；（Ⅲ）甲，乙，丙各投篮一次，至少有一人命中的概率为：．41．（2025春•丰台区期末）近年来，国内涌现出一批优秀的应用大模型．某中学为了解学生使用、、三种应用大模型的情况，采用分层随机抽样的方法，从初中部抽取了60名学生，从高中部抽取了50名学生，获得如下数据：初中部40人38人42人高中部30人25人20人假设所有学生使用应用大模型的情况相互独立．用频率估计概率．（1）从该校全体学生中随机抽取1人，估计该学生使用应用大模型的概率；（2）从该校初中部全体学生中随机抽取1人，高中部全体学生中随机抽取1人，估计这2人中至少有1人使用应用大模型的概率；（3）在上述样本中，记初中部使用以上三种应用大模型人数的方差为，高中部使用以上三种应用大模型人数的方差为，试比较与的大小．（结论不要求证明）【解答】解：（1）设事件“从全体学生中随机抽取1人，使用应用大模型”，样本中使用应用大模型的学生共有70人，样本共有人，所以估计；（2）设事件“这2人中至少有1人使用应用大模型”，事件“从初中部全体学生中随机抽取1人，使用应用大模型”，事件“从高中部全体学生中随机抽取1人，使用应用大模型”，则估计，，所以估计．（3）记高中部使用以上三种应用大模型人数的平均数为，，；记初中部使用以上三种应用大模型人数的平均数为，，；所以．