机器人运动分析中的矩阵变换

机器人运动分析中的矩阵变换(Huan)演示文稿第一页，共五十一页。机器人运动分(Fen)析中的矩阵变换第二页，共五十一页。▲雅可比矩阵的定义▲微分运动与广(Guang)义速度▲雅可比矩阵的构造法▲PUMA560机器人的雅可比矩阵▲逆雅可比矩阵▲力雅可比矩阵第四讲：微分运动和雅可比矩阵第三页，共五十一页。

上一章我们讨论了刚体的位姿描述、齐次变换，机器人各连杆间的位移关系，建立了机器人的运动学方程，研究了运动学逆解，建立了操作空间与关节空间的映射关系。本章将在位移分析(Xi)的基础上，进行速度分析，研究操作空间速度与关节空间速度之间的线性映射关系——雅可比矩阵(简称雅可比)。雅可比矩阵不仅用来表示操作空间与关节空间之间的速度线性映射关系，同时也用来表示两空间之间力的传递关系。第四页，共五十一页。4.1雅可比矩阵的定义

把机(Ji)器人关节速度向量定义为：

式中，为连杆i相对i-1的角速度或线速度。第五页，共五十一页。手抓在基坐标系中的广义速度向量为：

式中，v为线速度，ω为角(Jiao)速度分量。第六页，共五十一页。从关节空间速度向(Xiang)操作空间速度映射的线性关系称为雅可比矩阵，记为J，即：

4-3第七页，共五十一页。在数学上，机器人终端手抓的广义位置（位姿）矢量P可写成：

上式(Shi)对时间求导，有：4-5第八页，共五十一页。对照(Zhao)式4-3和式4-5，可知：

第九页，共五十一页。

在机器人学中，J是一个把关节速度向量变换为手爪相对基坐标的广义速度向量的变换矩阵。在三维空间运行的机器人，其J阵的行数恒为6(沿/绕基坐标系的变量共6个)；列数则为机械手含有的关节数目。对于平面运动的机器人来说，手的广义位置向量均容易确定，可采用直接微分法求J，比(Bi)较方便。第十页，共五十一页。对于三维空间运行的机器人则不完全适用。从三维空间运行的机器人运动学方程，可以获得直角坐标位(Wei)置向量的显式方程，因此，J的前三行可以直接微分求得，但不可能找到方位(Wei)向量的一般表达式。找不出互相独立的、无顺序的三个转角来描述方位．绕直角坐标轴的连续角运动变换是不可交换的，而对角位移的微分与对角位移的形成顺序无关，故一般不能运用直接微分法来获得J的后三行。因此，常用构造性方法求雅可比J。第十一页，共五十一页。4.2微分运动与广义速度刚体或坐标系的微分运动包括微分移动矢(Shi)量d和微分转动矢(Shi)量δ。前者由沿三个坐标轴的微分移动组成，后者由绕三个坐标轴的微分转动组成，即或

或第十二页，共五十一页。刚体或坐标系的微分运动矢(Shi)量刚体或坐标系的广义速度第十三页，共五十一页。简写(Xie)为：第十四页，共五十一页。其中(Zhong)，R是旋转矩阵S(P)为矢量P的反对称矩阵S(P)矩阵具有以下性质：第十五页，共五十一页。相应的，广(Guang)义速度V的坐标变换为：任意两坐标系A和B之间广义速度的坐标变换为：第十六页，共五十一页。4.3雅可比矩阵的构造法构造雅可比矩阵的方法有矢量积法和微分变换法，雅可比矩阵J(q)既可当成是从关节空间向操作空间的速度传递的线性关系，也可看成是微分运动(Dong)转换的线性关系，即：

第十七页，共五十一页。对于有n个关节的机器人，其雅可比矩阵(Zhen)J(q)是6×n阶矩阵，其前三行称为位置雅可比矩阵，代表对手爪线速度v的传递比，后三行称为方位矩阵，代表相应的关节速度对手爪的角速度ω的传递比。因此，可将雅可比矩阵J(q)分块，即：式中，Jli和Jai分别表示关节i的单位关节速度引起手爪的线速度和角速度。

第十八页，共五十一页。雅可比矩阵的求解(Jie)（矢量积法）：Jli的求法：(1)第i关节为移动关节时仅平移关节产生的线速度第十九页，共五十一页。设某时刻仅此关节运动、其(Qi)余的关节静止不动，则：设bi-1为zi-1轴上的单位矢量，利用它可将局部坐标下的平移速度di转换成基础坐标下的速度：由于所以第二十页，共五十一页。

(2)第i个关(Guan)节为转动关(Guan)节时，设某时刻仅此关(Guan)节运动，其余的关(Guan)节静止不动，仍然利用bi-1将zi-1轴上的角速度转化到基础坐标中去仅旋转关节产生的线速度第二十一页，共五十一页。矢量起于Oi-1，止于On，所以由ωi产生(Sheng)的线速度为:第二十二页，共五十一页。由(You)于所以第二十三页，共五十一页。雅可比矩阵的求解：Jai的求法：第i关节为移动关节时由于关节移动的平移不对手部产(Chan)生角速度，所以此时(2)第i关节为转动关节时，所以第二十四页，共五十一页。当第i关节为移(Yi)动关节时当第i关节为转动关节时第二十五页，共五十一页。确(Que)定1、用b表示zi-1轴上的单位向量把它转换到基础坐标系中，即为第二十六页，共五十一页。

如右图所示。用O、Oi-1、On分别表示基础坐标系、i-1号坐标及手部坐标系的原点。用矢量x表示在各自(Zi)坐标系中的原点。把用齐次坐标表示第二十七页，共五十一页。有上式(Shi)可以确定第二十八页，共五十一页。例2-6：建立右图的雅可(Ke)比矩阵第二十九页，共五十一页。第三十页，共五十一页。机械(Xie)臂末端的速度为第三十一页，共五十一页。微分(Fen)变换法

对于转动关节

第三十二页，共五十一页。对于移动关(Guan)节

第三十三页，共五十一页。对于移动(Dong)关节

对于转动关节

第三十四页，共五十一页。例：PUMA560的6个关节都是转动关节，其雅可比有6列。此(Ci)处用矢量积法计算J(q)第三十五页，共五十一页。第三十六页，共五十一页。第三十七页，共五十一页。第三十八页，共五十一页。例：斯坦福六自由度机器人除第三关节为移动关节外，其(Qi)余5个关节为转动关节。此处用微分法计算TJ(q)第三十九页，共五十一页。第四十页，共五十一页。第四十一页，共五十一页。若给定机器人终(Zhong)端手抓的广义速度向量V，则可由下式解出相应的关节速度：逆雅可比矩阵

上式中，称为逆雅可比矩阵，为加给对应关节伺服系统的速度输入变量。第四十二页，共五十一页。雅(Ya)可比矩阵的应用1、分离速度控制

由上式可见，当已知手端速度向量V，可通过左乘雅可比逆矩阵计算出机器人的关节速度向量，所以上式为运动学逆问题的速度关系式，是对机器人进行速度控制的基本关系式。第四十三页，共五十一页。

采用计算机控制时，把速度表(Biao)示位置增量的形式，故将上式写为：式中,Δv为手部在基础坐标下一个采样周期的位移(线位移、角位移)；Δq为在同一周期内关节变量的增量。第四十四页，共五十一页。

当要求机器人沿某轨迹运动时，Δv为已知，将它代入上式中求得关节变量增量Δq

，于是可确(Que)定各关节变量值，由伺服系统实现位置控制，这就是分离速度控制原理，如下图所示。Δv要求Δv实际分离速度控制原理第四十五页，共五十一页。雅可比矩阵的应用2、在静力分析(Xi)中的应用

有些机器人的工作需要与环境接触，并保持一定的接触力，如右图所示。接触力F可表示为一个六维力向量：设一个驱动器只驱动一个关节，则n个关节需求n个驱动力，可组成一个n维关节力向量:第四十六页，共五十一页。T与F的关系可以表示(Shi)为：2-56