2026年八年级数学人教版 第04讲 全等三角形及其性质(暑假预习讲义)

04预习航标→析目标·教材全解→建框架·题型突破→析考点·1234567过关检测→练考点·全等三角对应边相对应角相1/01即时即练下列各组中的两个图形属于全等形的是（ 2/知识点 全等三角形概即时即练下列命题中，是真命题的为（A：∵在直角三角形中，两锐角之和为90A是真命题．B：两个角相等不一定是对顶角，∴B是假命题．C：两个直角三角形面积相等不一定全等，例如直角边分别为3和4的三角形与直角边分别为2和6的三角形面积都是6但不全等，∴C是假命题．D：三角形的一个外角可能等于或小于某个内角，例如直角三角形中直角处的外角等于直角，∴D是3/BCEFA和DB和EC和F分别是对应角。知识点 全等三角形的性即时即练如图，

DEB，点E在边AB上，若AE6，BC9，则线段DE的长是 DEAB，EBBC9AB15DE【详解】解：∵ABC≌DEB∴DEAB，EBBC9∵AE6∴ABAEBE15∴DE15⟹⟹4/1全等图形1】下列各组中的两个图形属于全等形的是（ B．A中，一个是圆形，一个是方形，形状不同，不是全等形；B中，一个是六边形，一个是五边形，形状不同，不是全等形；C中，两个三角形大小不同，不是全等形；D中，两个心形的形状和大小都完全相同，能够完全重合，是全等形；2】下列图形是全等图形的是（A． 1-1】4组图形中，是全等图形的一组是（5/ 1-2】下列新能源汽车标志中，不是由多个全等图形组成的是（ 21】如图，已知ACDCBE，则A的对应角是（6/

【详解】解：∵ACDCBEABCE，则A的对应角为BCE．2】下列说法正确的是（ C正确，其他选项均不能保证三角形全等．7/CC是真命题，符合题意；D，周长相等的三角形三边组合可能不同，故不一定全等，不符合题意．2-2】mn30°，满足上述三个条件但不全等的三角形个数称若m2，n3，则伴生数 若m7，n为正整数，且伴生数为4，则n的最大整数值 【详解】解：如图所示，ABC,DEF,DEG,JHK23，有一角为30当n4

JHK67，有一角为30当n13

JHK67，有一角为30当n134n31】如图，△ABC≌△ABC，则C的度数是（8/ 【详解】解：∵△ABC≌△ABC∴BB51∵ABC180，A56∴C73【例2】如图，△ABC≌△AED，若BAC=40，CAE15，则CAD等 【答案】【分析】根据全等三角形的性质得到EADBAC40，即可求出CAD【详解】解：∵△ABC≌AED∴EADBAC∵CAE15∴CAD401555【变式3-1】如图，AB与CD相交于点O，已知△AOD≌△COB，A50，COB100，则B的度 【答案】30/309/【分析】利用全等三角形对应角相等得到C，再根据COB100B【详解】解：△AOD≌△COBAC50COB100B180COBC3-2】如图，已知△ABC≌△DEFFBEC(1)BD．若DBE70BDF30，求C(2)DF4AB3BC(2)1BC由互补的定义得DBF180DBE110F180DBFBDF40，再根据全等三角形的性质得CF40ACDF4，由三角形三边关系定理得到1BC7【详解】（1）解：FBECDBE与DBFDBF180DBE18070在VBDF中，得F180DBFBDF1801103040，由△ABC≌△DEF，得CF40； ABCACDF4AB343BC431BC

DEF41】如图，△ABC≌△DEFAD，BEBC5cm，BF7cm长为（10/ 【详解】解：∵△ABC≌△DEFBC5cmBF7cm∴EFBC5cm，CFBFBC2cm∴ECEFCF2】如图，已知△ADC≌△AEBAB8CE5AE的长度为（ ACAB8AE的长．【详解】解：∵△ADC≌△AEB∴ACAB8

EBC，AB4cm，BC7cm，则DE cmEBAB4cmBDBC7cm

EBC，AB4cm，BC7cm11/∴EBAB4cm，BDBC7cm∴DEBDBE743cm4-2】A、C、D、F△ABC≌△FED162B22AF5cmACF【分析】（1）根据△ABC≌△FEDACDFACDFAFCD4(cm)，即可解答；（2）根据△ABC≌△FEDEB22，再利用外角的性质得出1EF【详解】（1）解：△ABC≌△FEDACDFACDFAFCD514(cm)，即2AC4cm，AC2cmAC的长为2cm（2）解：△ABC≌△FEDEB1EF62F1E622240．F的度数为40．51】△ADF≌△CBEE、B、D、F12/(1)AFEC(2)BFDE【答案】(1AFEC(2BFDE【分析】（1）由全等三角形的性质得FE【详解】（1）AFEC∵△ADF≌△CBE∴FE∴AF∥EC∵△ADF≌△CBE∴DFBEDFBDBEBD，BFDE．(1)AE(2)DFABACDC5BCEC3由全等三角形的性质得ACBDCEADBFD1809090ACDC5BCEC3AEAC

△ABC≌△DEC13/52AE的长为2（2）证明：△ABC≌△DECACBDCEADACBDCE180ACBDCEAB90DBBFD1809090DFAB(1)BD4AD12，求VABC(2)AB与CF(2ABCF根据全等三角形的性质得出CDAD12BCBDCD16，根据三角形面积公式求出结果即根据垂线定义得出BADB90，根据ABDCFDBADFCDFCDBADCD．又AD12CDAD12

△ABD≌△CFD又BD4BCBDCD1614/S△

1BCAD1161296 （2）ABCF．理由：ADBC，CDF90BADB90△ABD≌△CFDBADFCDFCDB90ABCF5-2】如图，已知ABC≌DEC，ACB是锐角，B30，ACD60BADEF，交CEG．(1)BF与CE(2)ACDE，求DCE【答案】(1)BF与CE(2)DCE【详解】（1）BFCE理由如下：∵ABCDEC，B30，ACD60∴BCGACBACGDCEACGACD∴BGC180BBCG1803060∴BFCE15/∵ACDE∴ACGE∵ACD60∴DCEACDACG60303061】DE在VABCBC上，且△ABD≌△ACE，下列说法错误的是（△ABD经过平移可与△ACEDE将△ABDBC的垂直平分线翻折，可与△ACE将ABEBC的垂直平分线翻折，可与ACD将△ABDBC的中点逆时针旋转180，不能与△ACE【详解】解：∵△ABD≌△ACE∴ABAC，BDCE，ADAE△ABDDE的长，BDECA不重合，故不能与△ACEA选项错误，将△ABDBC的垂直平分线翻折，可与△ACE将ABEBC的垂直平分线翻折，可与ACD将△ABDBC的中点逆时针旋转180BD和CEA不重合，故不能与△ACE重合，正确， 90,BAC=x, 5,BC2,ABC≌DEF．于点G,CAG的平分线与直线EF交于点H，则AHE （用含x的代数式表示）．16/1x或1801x或901x 2 2 根据角平分线的定义求出ÐHAG1x°，利用△ABC≌△DEF，得ÐBÐFED90°ABEFGAHFAH平分CAG\ÐHAG=1ABC≌DEF\ÐB=ÐFED=ABEF\ÐHAG+ÐAHE=AHE1801x 2 GAHFAH平分CAG17/\ÐHAG=1ABC≌DEF\ÐB=ÐFED=ABEF\ÐHAG+ÐAHE=AHE1801x 2 GAHEAB∥EF\ÐHAG=ÐAHE=1GAÐBAC=AH平分CAGHAG901x 2 AB∥EFHAGAHE901x 2 HAG1x，1801x901x 2 2 1x或1801x或901x 2 2 18/0，4．如图2，将数轴在点O的左侧部分绕点O顺时针方向旋转90，将数轴在点A的右侧部分绕点A逆时针方向旋转90，连接BM，MN．若OBM和AMN全等，则点M表示的数为 【答案】2或4【分析】本题考查了全等三角形的性质以及实数与数轴，根据全等三角形的性质得出OBMA7OMMA ∵OBM和AMNOBMA7或OMMAOMOAMA4 或OM1OA22或476-2】VABCB旋转（顺时针）90到DBE，且ABC(1VABC和DBE(2)ACDE【答案】(1)ABCDBE,ACB与

DBEABDB,ACDEBCBE；对应角：A与D,ABC19/ACDEF，根据全等三角形的性质，结合三角形的内角和定理求出AFD90，即可得【详解】（1）解：ABC≌DBE∵VABCB旋转（顺时针）90到DBE∴ABC≌DBEABDBACDEBCBE对应角为：A与D,ABC与DBE,ACB与E（2）ACDE相互垂直，理由如下：ACDEF，∵ABC≌DBE∴AD∵ACBDCF∴AFDABC90ACDE71】AMANAB平分MANBBCBAAN于点CDEE以2cmsAND以1cmsAMAC6cmDE的运动时间为tsDAM上运动时，若ADB与VBEC 【答案】2或20/分EAC上时，△ADB≌△CEB，EAC上时，DABCEBE延长线上时，△ADB≌△CEBEAC延长线上时，BCBA∴ABC∵BABC∴BACBCA∵AMANAB平分MAN∴BADBACBCE45EAC△ADB≌△CEB∴ADCE∵ADt，CE62t

∴t62tt2sEAC上时，DABCEB∴ADCE∵ADt，CE62t∴t62tt2sEAC△ADB≌△CEB∴ADCE∵ADt，CE2t6∴t2t6t6sEAC延长线上时，∴ADCE∵ADt，CE2t6

ECB∴t2t6t6s∴若ADB与VBEC全等，则t的值为2或6，2或6．【例2】ABCDADBCAD6cm，BD10cm，BC8cmP以1cm/s的速度AADDQ以2cm/sBBCC匀速移动，动点MBBDDPM、QMM的速度为 cm/sP、D、M为顶点的三角形与QBM21/【答案】0.5或【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的性质，解二元一次方程组，设运动的时间为ts，动M的速度为vcm/sAPtcm，BQ2tcm，BMvtcmPD6tcm，DM10vtcm，再分当DPM≌BMQ时，当DPM≌BQM时，两种情况根据全等三角形对应边相等建立方程组求解即【详解】解：设运动的时间为tsM的速度为vcm/s，APtcm，BQ2tcm，BMvtcm，∴PD6tcm，DM10vtcm∴ADBDBC当DPM≌BMQDPBM，DMBQvt10解得t4，644v，解得v0.5当DPM≌BQMDPBQ，DMBM2t10解得t2，∴102v2v，解得v2.5．M的速度为0.5cm/s或2.5cm/s，0.5或2.5．7-1】题目：“如图，已知△ABD≌△CDBAD8cmBD10cmP以1cm/sA出ADD移动，动点Q以2cm/sBBC向终点CMB22/BDDPM、QM，MP、D、M为顶点的三角形与QBM全等（BD是对应点）．”甲答：3cm/s，乙答：15cm/s，丙答：10cm/s，则正确的是 APtcmBQ2tcmDP8tcm△ABD≌△CDB可得ADBCBDPDM≌QBM和PDMAPtcmBQ2tcm∴DP8tcm∵△ABD≌△CDB∴ADBCBD当PDM≌QBMDPBQDMBM∴8t2t，DMBM1BD5cm

MBQ∴t8∴此时点M的速度为5815cm/s 当PDM

MBQDPBMDMBQDPBQBMDMBD，即8t2t10，∴t2∴BMDP82∴此时点M的速度为623cm/sM的速度为15cm/s或3cm/sA23/ABCDADBCA90ABBC12cmAD10cmPA出发，以3cmsABBBDCP．设运动时间为t（s）．如图①，若

BCP，求tP开始运动时，另一动点Q同时从点C出发，以acms的速度沿CBB匀速运PQ运动的过程中，若△ADP与BQP全等，请求出此时a和tDQEAEMD1AD

ADES

，请直接写出此时a【答案】（1）t2s；（2）t2a1或t2a156 1BPAD10cmAP2cm，根据3t22①当△ADP与BQP全等时，有两种情况，一种情况是ADP≌BQPAPBPADPBPQADBP时．根据对应相等的线段的长度求出运动时间t程求出aADCQ10cmMDM的运动路程和速度求出运动时间t，根据运动的时间t和点Q运动的路程CQ的长度求出a ABD≌BCPBPAD10cmAPABBP12102cmt2s（2）①解：若ADP≌BQPAPBP，ADBQ10cmAB12cm24/APBPt62sCQBCBQ12102cm2a1210a1若ADPBPQADBP10cm，BQAPABBP12102cmt2sCQBCBQ12210cm2a10a15t2a1或t2a15AQAAGDQ于G，过点C作CHDQHMD1AD，AD10cmMD5cmt25s SADESCDE1DE·AG1DE·CH AGCH1DQ·AG1DQ·CH SADQSCDQ1AD·AB1QC·AB ADCQ10cm25/∵t5s5a10a6△ABC≌△DEFA、E、B、D在同一直线上，若A45F65，则CBE（ ACBF65，再根据三角形内角和定理即可求出CBE【详解】解：∵△ABC≌△DEF∴ACBF65∵A45CBE180AACB70，AB20MAABAMA8BDABBPBA1米，QBD2P、QBxMA上有一点C，使CAP与PBQx的值为（）

B．5或 D．20或论：当CAPQBPAPBPCAQB；当△CAP≌△PBQAPBQ，CAPB；由全等三角形26/【详解】解：PBA1米，QBD2米，P、QB出发，x秒后，BPxBQ2xAPABBP20x（米当CAPQBPAPBPCAQB20xx，x10此时CAQB2x210208，不符合题意，舍去；当△CAP≌△PBQAPBQCAPB，∴20x2xx20此时CABP208综上所述，CAP与PBQx20故选：AB,FC,E△ABC≌△DEFBC6,EC2FC的长是（ BCEFBFCE2，FCBCBFFC的长．【详解】解：∵△ABC≌△DEF∴BCEFBFCFCEFC∴BFCE2FCBCBF624，如图，VABCABAC14BC10DABPBC227/米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当△BPD与VCQP全等时，v的值为（ 3或 B．5或 C．14或 D．5或

分两种情况讨论：①VBPD≌VCQP，②△BPD≌△CPQ，继而可解．【详解】解：设两点所用的时间为tBP2tCQvtPCBCBP102tABCABAC14DABBD7若VBPD≌VCQP，则CPBDBPCQ，则2tvt，解得v2；若△BPD≌△CPQBDCQBP则vt7,2t102t解得t5，v14 v14图，AB4cm，ACBD3cm，CABDBAPAB上以2cm/sAB时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，设运动时间为t(s)，则BP cm（用含有t的式子表示）；当△ACP与VBPQ全等时，点Q的运动速度为 cm/s．

2Q的运动速度为acm/sAP2tcm，BQatcm，BP42tcm，当△ACP与VBPQ全等时，需要分△ACP≌△BPQ和△ACP≌△BQP两种情况讨论，根据全等三角形对应边相等，可得关于a、t的方程，解方程即可求出a的值．28/【详解】解：设点Q的运动速度为acm/s时，△ACP与VBPQ全等，AP2tcmBQatcmBPABAP42tcm，当△ACP≌△BPQBPACAPBQAB4cm，ACBD3cmat42tatt 2点Q的运动速度为2cm/s；当△ACP≌△BQP时，ACBQAPBPat42tatta3点Q的运动速度为3cm/s综上所述，点Q的运动速度为2cm/s或3cm/s．42t2或3．如图，AB10，AB，ACBD8．点P在线段AB上，点Q在线段BD上．若△ACP≌△BPQ，则AP的长为 【答案】ACBP8，进而根据线段的和差关系即【详解】解：∵△ACP≌△BPQ∴ACBP8∵AB10∴APABBP108229/ADBCE，且△ABE≌△DCEF在线段CD的延长线上，AF，求AD∥BF．性质得ACDE，结合AF得CDEF，由平行线的判定即可证明．【详解】解：△ABE≌△DCEACDEAFCDEFAD∥BF△ABC≌△DEBEAB上，ACBDF，AB6，AE3，C55，AED80(1)BC【答案】(1BC(2)DBEABAE3，由△ABC≌△DEBBCBE由△ABC≌△DEB可得CEBD55，再由AED为BDE的外角，可得DAEDEBD，【详解】（1）AB6AE3∴BEABAE3∵△ABC≌△DEB∴BCBE3（2）解：∵△ABC≌△DEB30/∴CEBD∵AED为BDE∴AEDDEBD即DAEDEBD8055如图所示，A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACEBDDECEADBBD(2)ADBADCEBDAE【详解】（1）证明：∵△BAD≌△ACE∴ADCE，BDAE∴AEADDE∴BDDECE（2）解：当ADB90BD∥CE∵△BAD≌△ACE∴ADBE90∴BDEE∴BD∥CE如图①，在Rt△ABCC90BC6cmAC8cmAB10cmPA出发，ACCBB