2025-2026学年下学期2026年6月高二数学核心高频考点

（含二级结论（空间向量与立体几何+平面解析几何+数列+导数+计数原理+概率与统计01空间向量与立体几何（10个核心考点空间向量共线的充要条件：若空间向量a与b(b≠0)共线，则存在唯一实数λ，使得a=λb，坐标形式空间向量共面的充要条件：三个空间向量a，b，c共面，等价于存在实数λ、μ，使得c=λaμb；若空间向量的数量积：设向量a与b的夹角为θ(θ[0°,180°])，则a·b=|a|·|b|cosθ，结果为实数，可用空间向量垂直的充要条件：两个空间向量a与b垂直，等价于a·b=0空间向量的模：若向量a=(x,y,z)，则|a| x2+y2+z2，可用于求空间中两点间的距离空间向量夹角公式：cosθ=|cos⟨a，b⟩|=|a·b|，θ为两向量的夹角若a∥b，即a=λb，则a∥b；若a⊥b，即a·b=0，则a⊥直线与平面的位置关系：直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，且l⊥若a∥n，即a=λn，则lα；若a⊥n，即a·n=0，则a∥平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，若n1∥n2，即n1=λn2，则α∥β；若n1⊥n2，即n1·n2=0，则α⊥β.异面直线所成角公式：设a，b分别为异面直线l1，l2上的方向向量，θcosθ=|cos⟨a，b⟩|=|a·b|sinθ=|cos⟨a，n⟩|=|a·n|二面角公式：设n1，n2分别为平面α，β的法向量，二面角的大小为θ，则θ=⟨n1，n2⟩π—

⟩（需要根据具体情况判断相等或互补），其中|cosθ|=|n1·n2|点到平面的距离：A为平面α外一点，n为平面α的法向量，过A作平面α的斜线AB及垂线AHd= 异面直线间的距离（拓展如图，设两条异面直线a，b的公垂线的方向向量为n，这时分别在a，b上任取A，B两点，则向量在n → 正射影长就是两条异面直线a，b的距离。即d=AB·n

10.最小角定理cosθ=cosθ=cosθ1cosθ206直线与圆（24个核心考点x轴正方向所成的最小正角，范围为[0°,180°)，倾斜角为90°直线的斜率：倾斜角为α（α≠90°）时，斜率k=tanα；倾斜角为90°直线的斜率公式：过两点

)、

≠

）的直线斜率k=y2—y1x2—直线的一般式方程：AxBy+C=0（A、B0），两条直线平行的充要条件：斜率都存在时，k1=k2x两条直线垂直的充要条件：斜率都存在时，k1·k210，另一条斜率不存在（轴）点到直线的距离公式：点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0两条平行直线间的距离：两条平行直线Ax+ByC1=0与Ax+ByC2=0（C1≠C2）的距离d=|C1—C过定点P(x0,y0)的直线系方程：A(xx0B(yy0)=0(A2B2≠0)，还可以表示为y—y0=k(x—x0)和x=x0。平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程：Ax+By+λ=0(λ≠C)垂直于直线AxByC=0的直线系方程：BxAyλ=0过两条已知直线A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程：A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2=0（不包括直线A2x+B2y+C2=0）和A2x+B2y+C2=0。(点(x，y)关于直线x=a的对称点为(2a—x，y)，关于直线y=b的对称点 点(x，y)关于直线xyk的对称点为(ky，kx)xyk的对称点为(ky，x—k)。圆的核心考点（11个圆的标准方程：(xa)2+(yb)2=r2（r>0），其中（a，b）为圆心坐标，r圆的一般方程：x2y2DxEyF=0（D2E24F>0），圆心为D

D2D2+E2—d，d<r则点在圆内，d=r则点在圆上，d>rd，d<r则相交，d=r则相切，d>r直线与圆相交的弦长公式：弦长=2r2d2（d为圆心到直线的距离，r为圆的半径）圆与圆的位置关系：设两圆半径为r1、r2d。内含(d|r1r2|)、内切(d=|r1r2|)、相交(|r1—r2|<d<r1+r2)、外切(d=r1+r2)、外离(d>r1+r2)。（1）过圆x2+y2=r2P（x0，y0）的圆的切线方程为x0x+y0y=r2（2）过圆(xa)2(yb)2=r2P（x0y0）的圆的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)=r2。（3）过圆x2+y2=r2M（x₀，y₀）x0x+y0y=r2同心圆系方程：(xa)2+(yb)2=r2(r>0)a，b是定值，r(2)过直线AxByC=0与圆x2y2DxEyF=0交点的圆系方程：x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R)；（3）过圆C1:x2y2D1xE1yF10和圆C2:x2y2D2xE2yF20交点的圆系方程：x2y2D1xE1yF1λ(x2y2D2xE2yF2)=0(λ1)（C₂，解题C₂是否满足题意，以防漏解）。二级结论：若两圆相交，其公共弦所在直线方程为两圆一般方程相减（消去x2、y2项）03圆锥曲线（38个核心考点F₁、F₂(焦点)的距离之和等于常数(2a，2a|F₁F₂|)=2c(c<a)x2+y2=1(a>b> y2+x2=1(a>b>椭圆的标准方程：焦点在x轴上 （ab0），其中b2=a2c2

；焦点在y轴上 判断椭圆焦点位置时，需看标准方程中x2、y2椭圆的离心率：e=c，范围为（0，1），e1，椭圆越扁；e02b。x轴上为（±c，0），y轴上为（0，±c），满足c2=a2b2圆的焦半径，分别记作r1=|PF1|，r2=|PF2|。x2+y2=1(a>b> r=a+ r=a—

， 0， y2+x2=1(a>b> r=a+ r=a—

， 0， 椭圆的焦点三角形：椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的∆PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2=∆PF

x2+y2=1(a>b>12的面积为S，则在椭圆 （1）P为短轴端点时，θ（2）S=1|PF||PF|·sinθ=b2tanθ=c|y 当|y0|=bP为短轴端点时，Sbc焦点三角形的周长为2(ac) =椭圆的焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦中以通径（垂直于长轴的焦点弦）最短，弦长 ax2+y2=1(a>b>

,y

,y

,y椭圆的弦长问题：AB

11

22

00弦长l 1+

| 1+1

AB的斜率

=—a2ya2y椭圆的通径（过焦点且垂直于长轴的弦）长度为2b2/a）.P

,y

x2+y2=若

00在椭

P

,y

）以

00

（2）过

x0x+y0y=0的椭圆的切线方程是 P

,y

x2+y2=

p

,y

P若

00在椭

00

1、2，则切点弦1x0x+y0y=的直线方程 双曲线的定义：平面内与两个定点F1、F2（焦点）(2a,0<2a<|F1F2|)的点的轨迹，|F1F2|=2c（c>x2—y2= y2—x2=双曲线的标准方程：焦点在x轴上 （a>0，b>0）；焦点在y轴上 （a>0，b>0），b2=c2双曲线的离心率：e=c，范围为(1,+∞)，e1，双曲线开口越窄；e越大，开口越宽双曲线的顶点：实轴端点a,0)(0,a)，虚轴端点(0,b)b,0)2a，虚轴长x轴上为(±c,0)y轴上为(0,±c)，满足c2=a2x轴上：y=±bxy轴上：y=±ax 特征双曲线的通径（过焦点且垂直于实轴的弦）长度为x2—y2= x2—y2=—（1）

共轭的双曲线方程

原点为圆心 原点为圆心

=x2—y2=

x2— =

(λ≠0,a2—λ>0,λ+b2>（2）

a2—

x2—y2=

x2+ =

(λ≠0,a2+λ>λ—b2>（3）

x2+y2=

x2— =

(λ≠0,a2—λ>0,λ—b2>（4）

a2— x2—y2=（5）

x2—y2=①焦点在x轴上时：

，(λ>0,λ≠y2—x2=②焦点在y轴上时：

，(λ>P点是双曲线上异于长轴端点的任一点，F1、F2为其焦点记∠F1PF2=θ（1）

||PF| （2）

=

|=b2cotP

,y

x2—y2=若

00在双曲

P

,y

k=）以

00

过

x0x—y0y=0的双曲线的切线方程是 P

,y

x2—y2=

P若

00在双曲

P作双曲线的两条切线切点为1

2，则切点弦

2x0x—y0y=线方程 p（p>0）。x轴正半轴：y22px；x轴负半轴：y22px；y轴正半轴：x2=2py；y轴负半轴：x2=—2py（p>0）。抛物线的离心率：e=1抛物线的顶点：坐标原点（0，0）是抛物线的最低点（或最高点） 抛物线的焦点与准线：焦点到顶点的距离为2，顶点到准线的距离为2p抛物线y2=2px（p>0）P（x₀，y₀）的切线方程为y0y=p(x+x0)AB是过抛物线y2=2px(p>0)FA（x₁，y₁），B（x₂，y₂），xx= yy=—（1）1 4，1 （2）|AF|= ，|BF|= ，弦长|AB|=x+x+p=2p（αAB的倾斜角

1+1=2； ABAFBFy速查04导数（24个核心考点导数的概念：一般地，函数y=𝑓(x)在x=xlimΔy=lim𝑓(x0+Δx)— Δx→0

y=𝑓(x)在x=

处的导数，记作

即

)=limΔy=lim𝑓(x0+Δx)—𝑓′(x)=lim𝑓(x+Δx)—

Δx→0

为𝑓(x)导数的几何意义：函数𝑓(x)在点x0处的导数𝑓′(x0)的几何意义是在曲线y=𝑓(x)上点P(x0,𝑓(x0))处的切线的斜率。相应地，切线方程为y—𝑓(x0)=𝑓′(x0)(x—x0)。导数的物理意义：若s=s(t)表示位移函数，则s′(t)表示瞬时速度，s′′(t)𝑓(x)=为常数=𝑓(x)==𝑓(x)=𝑓′(x)𝑓(x)==𝑓(x)=𝑓′(x)𝑓(x)=𝑓′(x)—𝑓(x)=ax(a≠𝑓′(x)𝑓(x)=>≠=𝑓(x)±g(x)′=𝑓′(x)±𝑓(x)·g(x)′=𝑓′(x)g(x)+

′=𝒇′(x)g(x)—g(x)g′(x)(g(x)≠复合函数的求导法则：设y=𝑓(u)，u=g(x)，则y′x=y′u·u′x隐函数的求导方法：对等式两边同时求导，注意yx导数与函数单调性的关系：𝑓′(x)>0时，函数单调递增；𝑓′(x)<0时，函数单调递减；𝑓′(x)=极值点的判定方法：先求导数，找到𝑓′(x)=0𝑓′(x)不存在的点，再判断该点两侧导数符号是否改二阶导数的意义：𝑓′′(x)可判断函数的凹凸性，𝑓′′(x)>0为凹函数，𝑓′′(x)<00利用导数判断函数的零点个数：结合函数单调性和极值，判断函数与x05数列（57个核心考点数列的定义：按一定顺序排列的一列数，记作{an}，n∈N∗，n数列的项与项数：an表示数列的第n项，n数列的通项公式：如果数列{an的第n项与项数n之间的关系可以用一个式子表示，这个式子叫做数列n项和：Sn=a1+a2+a3+...+anSₙ，S0=n项和的关系：an=SnSn—1(n≥2)，a1=S1a₁是否满足n≥2常数列的定义：各项都相等的数列，通项公式为an=C（C为常数），n项和Sn=T，使得对任意n∈N∗，都有an+T=anTd．等差数列的通项公式：ana1(n1)d（a₁为首项，d为公差等差数列通项公式变形：an=am(nm)d(m，n等差数列的判定方法：定义法（an+1—an=d，常数）、中项法（2an+1=an+n项和公式：S=nan(n—1)d= 在等差数列{aₙ}中，当m+n=p+q时，am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N∗)．特别地，若m+n=2t，则am+an=2at(m,n,t∈N∗)．ak，ak+m，ak+2m，⋯md(k，m∈Sn，S2n—Sn，S3n—S2n，⋯也成等差数列，公差为若{aₙ}，{bₙ}是等差数列，则{pan+qbn}若{aₙ}是等差数列，则{Sn}也成等差数列，其首项与{aₙ}首项相同，公差是 （6）若项数为偶数2n，则 =n(a+ )=n(a+ )；S—S= S=an

=(2n—1)a；S—S=

S=2n—

≤在等差数列{aₙ}a1>0，d<0{a ≤

m

Sm ≥a1<0，d>0{a ≥

m

SmS=dn𝟐+a— n。数列{aₙ}⇔S=An𝟐+Bn(A、B为常数)

等差数列的公差与单调性：d>0时，数列递增；d<0时，数列递减；d=0q（q≠0）。等比数列的通项公式：an=a1qn—1（a1为首项，q为公比，a1≠0，q≠0）等比数列通项公式变形：an=amqn—m（m、n∈ℕ∗，am≠0，q≠0）等比数列的判定方法：定义法（an+1=q·q为常数，q≠0）、中项法 =a an≠0）

na1(q=

nn项和公式：Sn={a1(1−qn)=a1−anq(q≠

mnpqamanapaqmn=2p时，amana2①设{aₙ}{λan}(λ为非零常数)，{|an|}，{ak}{aₙ}与{bₙ}{anbn}等比数列{aₙ}的单调性(a1q决定)当a1> a1<q>1{0<q<1时，{aₙ}a1>0<q<

a< q>1时，{aₙ 若已知等比数列{aₙ}qnSnap，ap+k，ap+2k，⋯，ap+(n—1)k，⋯为等比数列，公比为Sm，S2m—Sm，S3m—S2m，⋯为等比数列，公比为qm（当q=—1时，m不为偶数）等比数列的最值：当q>1，a1>0时，数列递增，无最大值，有最小值a1；当0<q<1，a1>时，数列递减，无最小值，有最大值a1裂项相消法核心（二级结论）：

=1—1 1212​

— n+n+​

n+n+

— n 2 2倒序相加法适用范围：适用于首尾对称项之和为定值的数列求和（n项和推导）递推数列求通项的常用方法：累加法（适用于an+1=an+𝑓(n)）、累乘法（an+1=an·𝑓(n)）+c{a—c}，其中c q(p≠ ++x，y{an+xn+两边同除以qn+1，构造新的数列06计数原理、概率（20个核心考点n1m₁2类方m₂nmₙ种不同的方法.那么，完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法n1m₁2步有m2种不同的方nmₙ种不同的方法.那么，完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法.

Cm=

=n(n—1)(n—2)…(n— (1)An=n!，0!=1;(2)C0=1，Cm=Cn—m，Cm+Cm—1= 二项式定理：（1）(a+b)n=C0an+C1an—1b+…+Ckan—kbk+…+Cnbn(n∈ (2)Tk+1=Ckan—kbk，它表示第k+1二项式系数：二项展开式中各项的系数为（1）0≤P(A)≤必然事件的概率：P(E)=不可能事件的概率：P(F)=（1）ABP(A∪B)=P(A)+AB互为对立事件，则AB为必然事件，P(AB)=1，P(A)=1—P(B).P(A∪B)=P(A)+P(B)—P(A∩P(A)=m，m为该事件包含的样本点个数，n为该试验的样本点总个数.ABABP（B|A）来表示，其公式为P(B|A)=P(AB)(P(A)>①非负性：0≤P(B|A)≤BCP(B∪C|A)=P(B|A)+ P(B)=P(A)P(B|A)+AiAj=∅，i，j=A1+A2+⋯+An=P(Ai)>0，i=ΩBB=BA1+BA2+⋯+BAnP(B)=∑nP(BAi)=∑n一般地，当0<P（A）<1且P（B）>0时，有P(A∣B)=P(A)P(B∣A) 2ΩA1，A2，…，AnAiAj=∅i，j=1，2，…，nA1+A2+⋯+An=0<P(Ai)<1，i=ΩBB=BA1+BA2+⋯+BAn

P(Aj∣B)

=∑nP(A)P(B∣A （1）A，BABA，B(2)P(AB)=P(A)P(B)AB相互独立 ABA与B，AB，A与BABP(B｜A)=P(AB)=P(B｜A)P(A)=A1，A2，…，An(n>2，nN*n个事件同时发生的概率等于每个P(A1A2⋯An)=P(A1)P(A2)⋯P(An)．离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量X可能取的不同值为x1，x2，⋯，xi，⋯，xnxi(i=1,2,⋯,n)的概率P(X=xi)=piXX的分布列.有时也用等式P(X=xi)=pi，i=1，2，⋯，nX的分布列.分布列的性质：①pi≥0，i=1，2，3，⋯，n;②∑npi=（1）1-XX服从两点分布，并称p=P(X=1)(2)MNnXMN—P(X=k)=CkCn—k，k=0，1，2，⋯，m，其中m=min{M，n}，且n≤N，M≤MN