求高数极值的题目及答案

求高数极值的题目及答案考试时间：120分钟 总分：100分 年级/班级：高一/数学班

求高数极值的题目及答案

一、选择题

1.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的极值点数为

A.0

B.1

C.2

D.3

2.若函数f(x)=ax^2+bx+c在x=1处取得极大值，则

A.a>0

B.a<0

C.b>0

D.b<0

3.函数f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1的极值点为

A.x=0

B.x=1

C.x=-1

D.无极值点

4.函数f(x)=|x|在x=0处的极值类型为

A.极大值

B.极小值

C.非极值

D.无法确定

5.函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=2处的极值为

A.0

B.1

C.-1

D.2

6.函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1在区间[0,3]上的最大值为

A.1

B.2

C.3

D.4

7.若函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=2处取得极值，则f(2)的值为

A.0

B.1

C.-1

D.2

8.函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=1处的极值为

A.极大值

B.极小值

C.非极值

D.无法确定

9.函数f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1在x=1处的极值为

A.0

B.1

C.-1

D.2

10.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最小值为

A.-2

B.0

C.1

D.2

二、填空题

1.函数f(x)=x^3-3x^2+2的极值点为x=__________和x=__________。

2.若函数f(x)=ax^2+bx+c在x=1处取得极大值，且f(1)=3，则a=__________，b=__________，c=__________。

3.函数f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1的极值点为x=__________。

4.函数f(x)=|x|在x=0处的极值为__________。

5.函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=2处的极值为__________。

6.函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1在区间[0,3]上的最大值为__________。

7.若函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=2处取得极值，则f(2)的值为__________。

8.函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=1处的极值为__________。

9.函数f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1在x=1处的极值为__________。

10.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最小值为__________。

三、多选题

1.函数f(x)=x^3-3x^2+2的极值点可能为

A.x=0

B.x=1

C.x=2

D.x=-1

2.若函数f(x)=ax^2+bx+c在x=1处取得极大值，则

A.a>0

B.a<0

C.b>0

D.b<0

3.函数f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1的极值点可能为

A.x=0

B.x=1

C.x=-1

D.x=2

4.函数f(x)=|x|在x=0处的极值类型为

A.极大值

B.极小值

C.非极值

D.无法确定

5.函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=2处的极值为

A.0

B.1

C.-1

D.2

6.函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1在区间[0,3]上的最大值可能为

A.1

B.2

C.3

D.4

7.若函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=2处取得极值，则f(2)的值可能为

A.0

B.1

C.-1

D.2

8.函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=1处的极值为

A.极大值

B.极小值

C.非极值

D.无法确定

9.函数f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1在x=1处的极值为

A.0

B.1

C.-1

D.2

10.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最小值可能为

A.-2

B.0

C.1

D.2

四、判断题

1.函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=1处取得极大值。

2.函数f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1在x=1处取得极小值。

3.函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=2处取得极小值。

4.函数f(x)=|x|在x=0处既不是极大值也不是极小值。

5.若函数f(x)=ax^2+bx+c在x=1处取得极大值，则f'(1)=0。

6.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值为2。

7.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最小值为-2。

8.函数f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1在x=1处取得极大值。

9.函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=0处取得极值。

10.函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1在区间[0,3]上的最小值为1。

五、问答题

1.求函数f(x)=x^3-3x^2+2的极值点及极值。

2.求函数f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1的极值点及极值。

3.求函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1在区间[0,3]上的最大值和最小值。

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.C

解析：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或x=2。f''(x)=6x-6，f''(0)=-6<0，f''(2)=6>0，故x=0为极大值点，x=2为极小值点，共有2个极值点。

2.B

解析：f'(x)=2ax+b，f'(1)=2a+b=0，得b=-2a。由于在x=1处取得极大值，a必须小于0。

3.B

解析：f'(x)=4x^3-12x^2+12x-4=4(x-1)^3，令f'(x)=0得x=1。f''(x)=12(x-1)^2，f''(1)=0，但f'''(x)=24(x-1)，f'''(1)=0，f''''(x)=24，f''''(1)=24>0，故x=1为极小值点。

4.C

解析：f'(x)=sgn(x)，在x=0处f'(x)不存在，但左右导数符号相反，故x=0处为非极值点。

5.A

解析：同第1题解析，f(2)=2^3-3*2^2+2=0。

6.B

解析：同第1题解析，f(1)=1^3-6*1^2+9*1+1=5，f(3)=3^3-6*3^2+9*3+1=1，故最大值为5。

7.A

解析：同第5题解析，f(2)=0。

8.B

解析：同第1题解析，f'(1)=3-6+2=-1<0，f''(1)=6-6=0，f'''(x)=6，f'''(1)=6>0，故x=1为极小值点。

9.A

解析：同第3题解析，f(1)=1^4-4*1^3+6*1^2-4*1+1=0。

10.A

解析：同第1题解析，f(-1)=-1-3+2=-2，f(3)=27-27+18-12+1=7，故最小值为-2。

二、填空题答案及解析

1.0,2

解析：同选择题1解析，极值点为x=0和x=2。

2.-3,6,-2

解析：f'(x)=2ax+b，f'(1)=2a+b=0，得b=-2a。f(1)=a+b+c=3，得a-2a+c=3，即c=a+3。又f(1)=a(1)^2+b(1)+c=a-2a+c=3，代入c=a+3得3a+3=3，a=0，则b=0，c=3。但a<0，故a=-3，b=6，c=-2。

3.1

解析：同选择题3解析，极值点为x=1。

4.非极值

解析：同选择题4解析，x=0处为非极值点。

5.0

解析：同选择题5解析，f(2)=0。

6.5

解析：同选择题6解析，最大值为5。

7.0

解析：同选择题7解析，f(2)=0。

8.极小值

解析：同选择题8解析，x=1处为极小值点。

9.0

解析：同选择题9解析，f(1)=0。

10.-2

解析：同选择题10解析，最小值为-2。

三、多选题答案及解析

1.A,B,C

解析：同选择题1解析，极值点为x=0和x=2。

2.B,D

解析：同选择题2解析，a<0，b<0。

3.A,B

解析：同选择题3解析，极值点为x=1。

4.C

解析：同选择题4解析，x=0处为非极值点。

5.A,B,C,D

解析：同选择题5解析，f(2)=0。

6.A,B,C,D

解析：同选择题6解析，最大值为5。

7.A,B,C,D

解析：同选择题7解析，f(2)=0。

8.A,B

解析：同选择题8解析，x=1处为极小值点。

9.A,B,C,D

解析：同选择题9解析，f(1)=0。

10.A,B,C,D

解析：同选择题10解析，最小值为-2。

四、判断题答案及解析

1.错

解析：同选择题1解析，x=1处为极小值点。

2.对

解析：同选择题3解析，x=1处为极小值点。

3.错

解析：同选择题3解析，x=2处为极小值点。

4.对

解析：同选择题4解析，x=0处为非极值点。

5.错

解析：f'(1)=2a+b=0，得b=-2a。f''(1)=2a<0，因为极大值点处二阶导数为负。

6.对

解析：同选择题6解析，最大值为5。

7.错

解析：同选择题10解析，最小值为-2。

8.错

解析：同选择题3解析，x=1处为极小值点。

9.错

解析：同选择题1解析，x=0处为极值点。

10.错

解析：f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)^2，令f'(x)=0得x=1。f''(x)=6(x-1)，f''(1)=0，f'''(x)=6，f'''(1)=6>0，故x=1为极小值点，f(1)=1。区间端点f(0)=1，f(3)=1，故最小值为1。

五、问答题答案及解析

1.极值点为x=0，极大值为2；极值点为x=2，极小值为0。

解析：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或x=2。f''(x)=6x-6，f''(0)=-6<0，故x=0处取得极大值，f(0)=2。f''(2)=6>0，故x=2处取得极小值，f(2)=2^3-3*2^2+2=0。

2.极值点为x=1，极小值为0。

解析：f'(x)=4x^3-12x^2+12x-4=4(x-1)^3，令f'(x)=0得x=1。f''(x)=12(x-1)^2，f''(1)=0，但f'''(x)=24(x-1)，f'''(1)=0，f''''(x)=24，f''''(1)=24>0，故x=1为极小值点，f(1)=