广东省广州开元中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题（含部分答案）

2025-2026学年广东省广州开元中学高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．已知为虚数单位，复数，则以下命题为真命题的是（

）A．的共轭复数为 B．的虚部为C． D．在复平面内对应的点在第一象限2．已知向量，，若，则（

）A．5 B． C．6 D．3．在中，，，，则的面积等于（

）A． B． C． D．4．已知是不同的直线，是不同的平面，则下列结论正确的是（

）A．若，，则B．若，，则C．若为异面直线且，，，则l与m，n中至少一条相交D．若，，，则5．下列四个正方体图形中，，为正方体的两个顶点，，，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是（

）A．①③ B．②③ C．①④ D．②④6．如图，为了测量B，C两点间的距离，选取同一平面上A，D两点，已知，，，，，则的长为（

）A． B．5 C． D．77．设，，分别是的内角，，的对边，已知，设是边的中点，且的面积为，则等于（

）A． B． C． D．8．在圆锥SO中，C是母线SA上靠近点S的三等分点，，底面圆的半径为，圆锥SO的侧面积为，则下列说法正确的是（

）A．当时，从点A到点C绕圆锥侧面一周的最小长度为B．当时，棱长为的正四面体在圆锥SO内可以任意转动C．当时，圆锥SO的外接球表面积为D．当时，过顶点S和两母线的截面三角形的最大面积为二、多选题9．已知复数是方程的两根，则（

）A．是方程的一个根B．C．D．在复平面内所对应的点位于第四象限10．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即.现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列命题正确的是（

）A．周长为B．三个内角A，C，B满足关系C．外接圆半径为D．中线CD的长为三、单选题11．下列命题正确的是（

）A．若直线，平面，则平面B．若直线与异面，则过空间任意一点与和都平行的平面有且仅有一个C．三个平面两两相交于三条直线，则它们将空间分成7个或8个区域D．已知直线与异面，不同的两点，不同的两点，则直线与可能相交四、填空题12．已知复数，则_____________．13．内角的对边分别为，若，则的面积__________．14．如图，设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且若点D是外一点，，，则当四边形ABCD面积最大值时，____．五、解答题15．已知平面向量，.（1）若，且，求的坐标；（2）当为何值时，与垂直；（3）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.16．如图，在三棱柱中，，，分别为，，的中点．(1)求证：平面平面；(2)若平面，求证：为的中点．17．在中，是的中点，，，.（1）求的面积.（2）若为上一点，且，求值.18．记的内角的对边分别为，，，(1)已知，（i）若，求；（ii）求的最小值；(2)已知点D在边AC上且，，，求．19．如图，设A是由个实数组成的n行n列的数表，其中表示位于第i行第j列的实数，且记向量若则称与为正交向量.若对任意不同的，都有与为正交向量，则称A为正交数表.(1)直接判断是否为正交数表(不需要说明理由)；(2)当时，设且与为正交向量，与为正交向量，求证：与不是正交向量：(3)求证:对任意，当时，A不是正交数表.《广东省广州开元中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题》参考答案题号12345678910答案DADCCAABBCABD题号11答案C1．D2．A3．D4．C5．C6．A7．A8．B9．BC10．ABD11．C12．13．14．15．（1）或；（2