2026年二面角课前测试题及答案

2026年二面角课前测试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，平面ABCD与平面A₁B₁C₁D₁所成二面角的度数是A.0°B.45°C.90°D.180°2.若两平面法向量分别为n₁=(1,2,2)、n₂=(2,-1,2)，则它们所成二面角的余弦值为A.4/9B.2/3C.1/3D.5/93.已知二面角α-l-β的平面角为60°，直线m⊂α且m与棱l夹角30°，则m与平面β所成角的正弦值为A.√3/4B.√3/2C.1/2D.√2/24.在正四棱锥P-ABCD中，底面边长为a，侧棱长为a√2，则侧面PAB与底面ABCD所成二面角的正切值为A.1B.√2C.√3D.25.若二面角的两半平面分别垂直于第三平面，则该二面角的大小A.必为90°B.必为0°C.必为180°D.无法确定6.已知空间四点A(0,0,0)、B(1,0,0)、C(0,1,0)、D(0,0,1)，则平面ABC与平面ABD所成二面角的余弦值为A.1/2B.√2/2C.√3/3D.1/37.若二面角α-l-β为锐角，点P∈α，P到棱l距离为3，到平面β距离为2，则该二面角的正弦值为A.2/3B.3/4C.4/5D.5/68.在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB，则平面A₁BC与底面ABC所成二面角的度数是A.30°B.45°C.60°D.90°9.若二面角的两半平面分别与第三平面成30°、45°角，则该二面角可能为A.15°B.60°C.75°D.90°10.已知二面角α-l-β为120°，点Q∈β，Q到棱l距离为4，则Q到平面α的距离为A.2B.2√3C.4D.4√3二、填空题（每题2分，共20分）11.若两平面法向量夹角为θ，则它们所成二面角的平面角等于________。12.在正方体中，相邻两侧面所成二面角的余弦值为________。13.已知二面角α-l-β为45°，点M∈α，M到棱l距离为6，则M到平面β的距离为________。14.若二面角的两半平面分别与水平面成60°、30°角，且棱水平，则该二面角大小为________°。15.在正六棱锥中，侧面与底面所成二面角的正切值为√3，则侧棱与底面所成角的正弦值为________。16.若二面角α-l-β为钝角，且cosθ=-1/3，则sinθ=________。17.已知空间向量a=(1,1,1)、b=(1,-1,0)分别垂直于二面角的两个半平面，则该二面角的余弦值为________。18.在四面体ABCD中，AB=AC=AD=BC=BD=CD=a，则面ABC与面ABD所成二面角的余弦值为________。19.若二面角的两半平面法向量分别为(2,2,1)与(3,-6,2)，则该二面角的正弦值为________。20.已知二面角α-l-β为θ，点R∈α，R到棱l距离为d，则R到平面β的距离为________（用θ、d表示）。三、判断题（每题2分，共20分，正确打“√”，错误打“×”）21.二面角的平面角一定不大于180°。22.若两平面平行，则它们所成二面角为0°。23.二面角的余弦值一定非负。24.在正方体中，体对角线所在两平面所成二面角为90°。25.若二面角的两半平面分别与第三平面垂直，则该二面角必为90°。26.二面角的正弦值与平面角正弦值相等。27.若二面角为锐角，则其补角为钝角。28.二面角的棱上任一点到两半平面的距离相等。29.若二面角的两半平面法向量互相垂直，则该二面角为90°。30.二面角的大小与棱的长度无关。四、简答题（每题5分，共20分）31.简述利用空间向量求二面角余弦值的步骤。32.说明在几何体中如何作出二面角的平面角，并举一例。33.已知二面角α-l-β为θ，点P∈α，P到棱l距离为d，推导P到平面β的距离公式。34.比较二面角与平面角、线面角、线线角的异同点。五、讨论题（每题5分，共20分）35.讨论：当二面角从0°变化到180°时，两半平面法向量夹角如何变化？36.讨论：在正n棱锥中，侧面与底面所成二面角随n增大如何变化？37.讨论：若二面角的两半平面分别与第三平面成定角，该二面角是否唯一？38.讨论：如何利用二面角概念解释“折纸”中折痕两侧纸张的夹角？答案与解析一、1.C2.A3.A4.B5.D6.C7.A8.B9.C10.B二、11.θ或180°-θ12.013.3√214.9015.√3/216.2√2/317.1/318.1/319.√17/320.d|sinθ|三、21√22√23×24×25×26√27√28×29√30√四、31.步骤：1.求两半平面法向量n₁、n₂；2.计算cosφ=|n₁·n₂|/(|n₁||n₂|)；3.二面角θ=φ或180°-φ，取锐角。32.作法：在棱l上取点O，分别在两半平面内作OA⊥l、OB⊥l，则∠AOB为平面角。例：正方体中，取棱中点O，在两侧面内作垂直于棱的线段，夹角90°。33.设P在α内，作PH⊥β于H，PK⊥l于K，则PK=d，∠PHK=θ，故PH=PK|sinθ|=d|sinθ|。34.相同：均用角度度量位置关系；差异：二面角是两平面，平面角是两条相交直线，线面角是直线与平面，线线角是两条直线，维度与对象不同。五、35.法向量夹角从0°增至18