系统函数与系统特

系统函数与系统特7.1

系统函数与系统特性第4-2页■7.1

系统函数与系统特性一、系统的零点和极点：LTI系统的系统函数是复变量s或z的有理分式，即：1、对于连续系统：0snn

1H

(s)

m

m

1

0

a

sn

1

ab

sm

b sm

1

b1

2

n

m

1

2

m

(s

p

)(s

p

)

(s

p)b (s

ξ

)(s

ξ

)

(s

ξ

)H

(•

)

B

(

•)A

(

•)mni

1其中：ξ

i

，

i

1，2，

，

m

，称

H(s)

的零点；p

j

，j

1，2，

，n

，称H(s)的极点。bm

(s

ξ

j)

j

1

,

(s

Pi

)m

n7.1

系统函数与系统特性2、对于离散系统：0第4-3页■H

(z)

znn

1

m

m

1

0A(z)

a z

n

1

aB(z) b zm

b zm

1

b1

2

n

m

1

2

m

b (z

ξ

)(z

ξ

)

(z

ξ

)(z

P

)(z

P

)

(z

P)mnbm

(z

ξ

j

)

j

1

,

(z

Pi

)i

1其中：ξ

i

，

i

1，2，

，

m

，称

H(z)

的零点；p

j

，j

1，2，

，n

，称H(z)的极点。m

n零/极点的种类：实数、复数(复数零、极点必共轭)一阶、二阶及二阶以上极点7.1

系统函数与系统特性二阶极点：k1

k

2

s1

11

2(

s

α

)

2

k e

α

t

)

ε

(

t

)te

α

t

(

k不在负实轴上：

ke

α

t

ε

(

t

)s

αk二、系统函数与时域响应：1、连续系统H(s)

的零、极点与时域响应h(t)的关系：（1）极点在左半平面：在负实轴上：一阶极点：一阶极点：

B

(

s

)

kecos(

β

t

θ

)ε

(

t

)(

s

α

)

2

βB

(

s

)2

α

t二阶极点：

k

te

α

t

cos(

β

t

θ

)ε

(t

)1

1第4-4页■

(α

s

)

2

β

2

2

22c

o

s

(

β

t

θ

)ε

(t

)

k e

α

t7.1

系统函数与系统特性（2）极点在jω轴上：在原点：1

k

ε

(

t

)s一阶极点：k

kt

ε

(t

)s

2二阶极点：

k

不在原点：

一阶极点：

k

cos(

β

t

θ

)ε

(

t

)第4-5页■2s

2B

(

s

)

β二阶极点：

k1

t

co

s

(

β

t

θ

1

)ε

(t

)k

2

c

o

s

(

β

t

θ

2

)ε

(t

)2 B

(

s

)

s

22

β7.1

系统函数与系统特性（3）极点在右半平面：在正实轴上：⎯

eαt

ε

(t)s

αk1112(s

α

)2不在实轴上：二阶极点：k1

k2

s)ε

(t)α

t

(k teα

t

k

e(s2

α

)2

β

2一阶极点：

B(s)

keαt

cos(βt

θ

)ε

(t)1第4-6页■1[(s

α

)2

β

2

]2B(s)cos(β

t

θ

)ε

(t)αt

k

te22cos(β

t

θ

)ε

(t)αt

k

e一阶极点：二阶极点：7.1

系统函数与系统特性第4-7页■H(s)的零、极点与h(t)的关系：零点影响h(t)的幅度、相位；极点决定h(t)的函数形式：左半平面极点对应h(t)，随时间增加，是按指数函数规律衰减的；虚轴上一阶极点对应h(t)是阶跃函数或正弦函数，二阶及二阶以上极点对应h(t)是随时间增加而增大的；右半平面极点对应h(t)都是随时间增加按指数函数规律增加的。7.1

系统函数与系统特性H(s)的一阶极点与所对应的响应函数：

t

t

t

tt

tσ第4-8页■jω07.1

系统函数与系统特性2、离散系统H(z)的零、极点与h(k)的关系：（1）单位圆内的极点：在实轴上：|

a

|

1z

a一阶极点：

Az

Aak

ε

(k

),二阶极点：

Az

Akak

ε

(k

)(z

a)2不在实轴上：

1

1

α

k

2

|

A1

| cos(β

k

θ

)ε

(k

),

α

1A

z A

z

z

αe

jβz

αe

j

β二阶极点：1第4-9页■1] (k

)

2

|

A

|

α

k

1

cos[β

(k

1)

θ

εA

z(z

αe

jβ

)2A

z

1(z

αe

jβ

)2一阶极点：7.1

系统函数与系统特性（2）单位圆上的极点：在实轴上：

Az

A(

1)k

ε

(k

)z

1

Az

Ak(

1)k

ε

(k)(z

1)2不在实轴上：z

αej

βA

zz

α

e

jβ

Az

2

|

A

|

cos(βk

θ

)ε

(k

)(z

αe

jβ

)2第4-10页■(z

αe

jβ

)2

Az

A

z

2

|

A

|

k

cos[β

(k

1)

θ

]ε

(k

)7.1

系统函数与系统特性（3）单位圆外的极点：在实轴上：

Az

Akak

1ε

(k

)(z

a)2不在实轴上：

2

|

A

|

α

k

cos(β

k

θ

)ε

(k),α

1Azz

α

e

jβA

zz

α

e

jβ

Aak

ε

(k

), |

a

|

1第4-11页■z

aAz1A

zA

z

1

1

2

|A

|

α

k

1

cos[β

(k

1)

θ

]ε

(k

)(z

αe

jβ

)2

(z

αe

jβ

)27.1

系统函数与系统特性第4-12页■结论：（1）H(z)的极点在单位圆内，对应h(k)按指数规律衰减；（2）H(z)的极点在单位圆上一阶极点对应h(k)为阶跃序列或正弦序列；二阶及二阶以上极点对应h(k)增长。（3）H(z)的极点在单位圆外，对应h(k)按指数规律增长。7.1

系统函数与系统特性H(z)的一阶极点与所对应的响应序列：

k

kk

kRe[z]z平面

Im[z]0

k

|

z

|

1k第4-13页■7.1

系统函数与系统特性三、系统函数与频域响应1、连续系统H(s)

的零、极点与系统频率响应：（1）H(s)

与H(jω)关系：设h(t)为因果信号00

stH

(s)

h(t)e

dtσ＞σ

H

(

jω

)

0

h(t)e dt

h(t)e

jωtdt

jωtH

(

jω)

H

(s)

s

jω这种情况下，h(t)对应的系统称为因果稳定系统。第4-14页■当σ

σ

0且

σ

0

0

时，（H(s)

极点在左半平面）7.1

系统函数与系统特性（2）H(s)

零、极点与连续系统频率特性：设：H

(s)

bm

(s

ξ1

)

(s

ξm)(s

p1

)

(s

pn)的极点全部在左半平面；则：H

(jω)

H

(s)s

jω

,

H(jω)又称系统频率响应。m第4-15页■m

11

nm

i

1

bm

(

jω

ξi

)n

i

1b

(

jω

ξ

)

(

jω

ξ

)H

(

jω)

(

jω

p

)

(

jω

p

)i(

jω

p

)设，i

1，2，

，m，i

1，2，

，nijψiijω

ξ

B

eijθi

ijω

p

Ae1

21

2nn则：H

(

jω)

m

1

2

m

|H

(

jω)

|

e

jφ

(ω)j(θ

θ

θ

)b B

B

B e

j

(ψ1

ψ

2

ψ

m

)A

A

Ae7.1

系统函数与系统特性|

H

(

jω)

|

bm

B1

B2

Bm;A1

A2

Anφ

(ω)

(ψ1

ψ

2

ψ

m

)

(θ

1

θ2

θn

)例：一阶RL系统，U1(s)为输入，U2(s)为输出，求系统频率响应H(jω)。s

RssL

RL在左半平面。sLU1

(s)解：H

(s)

U

2

(s)

R

极点：

L

,

U1

(s)

R第4-16页■sL

U

2

(s)

7.1

系统函数与系统特性Ae

jθBe

jψjω

0L

Ljωjω

Rjω

(

R

)H

(

jω

)

，φ(ω)

ψ

θA，|

H

(

jω)

|

BA

2H

(

jω)

|

H

(

jω)

|

e

jφ

(ω

)

B

e

j

(ψ

θ

)，ω＞0

，ψ

π讨论：0

ω

A|

H

(

jω

)

|

B

:，|

H

(

j0)

|

0Lω

0

:

B

0

，

A

Rω

:

B

，A

，|

H

(

jω)

|

ω

:

B

，

A

，|

H

(

j

)

|

1σj

π2jωBe

jψ

ω

eAejθθR

/

L0ψ

第4-17页■7.1

系统函数与系统特性2φ

(ω

)

π

θ

:2πω

0

:ψ

，θ

0，φ(0)

π2ω

:

ψ

π

，θ

，φ

(ω)

；2

π，φ(

)

02ω

:

ψ

，θ

π20ω|

H

(

jω)

|10ωφ

(ω)π2第4-18页■7.1

系统函数与系统特性2、离散系统H(z)与系统频率响应：设H(z)的收敛域包含单位圆，对因果系统，H(z)的极点全部在单位圆内，则系统的频率响应为：z

e

j

TH

(e

j

T

)

H

(z)

|nm

(z

Pi

)bm

(z

zi

)i

1设

H

(z)

i

1

i

1i

P

)nim

(e

j

Tb

(e

j

T

z

)m

i

1则H

(e

j

T

)

令e

j

Tiijθj

T,

e

Pi

Aiejψii

z

B

e则H

(e

j

T

)

|

H

(e

j

T

)

|

e

jφ

(

T

)第4-19页■minim

i

1i

1b

B

e

jψ

i

Ae

jθi7.1

系统函数与系统特性|

H

(e

j

T

)

|

bm

B1B2

BmA1

A2

Anφ(

T

)

(ψ1

ψ

2

ψ

m

)

(θ1

θ2

θn

)画出系统幅频响应曲线。|

z

|

1

,2z

1

2例：H

(z)

z

1

,2解：因为H(z)的收敛域为

|

z

|

1

,故系统频率响应为：2

)

1j

T2(e

j

Te

j

TH

(e

)

1

,令e

j

T

1

Ae

jθ2第4-20页■

1

e

j

T

(

1)

Be

jψ

,e

j

T把

Be

jψ

和

Ae

jθ画在z复平面上，如图所示：7.1

系统函数与系统特性2

T

0

:

A

1

,

B

2,

ψ

0,

θ

0|

H

(e

j

T

)

|

B

2,

φ

(

T

)

ψ

θ

02AA

,

B

,

ψ

,

θ

T

:Re[

z]Im[

z]12ψθABe

j

T1

10|

z

|

1第4-21页■

7.1

系统函数与系统特性2

T

2π

:

A

1

,

B

2,

ψ

2π

,

θ

2π|

H

(e

j

T

)

|

2,

φ

(

T

)

02

2ΩT

π

:

A

3

,

B

0,

ψ

π

,

θ

ππ2|

H

(e

j

T

)

|

0,

φ

(

T

)

T

:

A

,

B

,

ψ

,

θ

0

Tφ

(

T

)π2|

H

(e

j

T

)

|π

2π

T202

ππ2π第4-22页■7.2

系统的因果性与稳定性第4-23页■7.2

系统的因果性与稳定性一、系统的因果性：因果系统（连续的或者离散的）指的是，系统的零状态响应yf

(•)不出现于激励f

(•)之前的系统。也就f

(•)，即对于是说，对于t=0(或k=0)接入的任意激励任意的f

(•)

0,t(或k)

0如果系统的零状态响应都有y

f

(•)

0,t(或k

)

0就称该系统为因果系统，否则为非因果系统。7.2

系统的因果性与稳定性第4-24页■连续因果系统的充要条件：h(t

)

0,t

0或者，系统函数H(s)的收敛域为：Re[s]

σ

0即其收敛域为收敛坐标σ

0

以右的半平面。离散因果系统的充要条件：h(k

)

0,

k

0或者，系统函数H(z)的收敛域为：|

z

|

ρ0即其收敛域为半径等于ρ0的圆外区域。证明略。7.2

系统的因果性与稳定性二、系统的稳定性：系统的稳定性是系统设计和分析中的关键问题；系统传输函数H(s)的零、极点分布与系统的稳定性有密切的关系。1、稳定系统的定义：一个系统（连续的或离散的），如果对任意有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出(BIBO)稳定系统。设0

M

f

，0

M

y

。对所有的激励

f

(•)

M

f其零状态响应为y

f

(•)

M

y。则称该系统是稳定的。第4-25页■7.2

系统的因果性与稳定性2、连续系统的稳定性：（1）连续系统稳定的充分必要条件：①时域充要条件：证明：h

(

t

)

dt

＜

充分性：设

y

f

(t)

h(τ

)

f

(t

τ

)

dτ

y

f

(t)

M

f

h(τ

)

dτ即：y

f

(t)＜

h(τ

)

f

(t

τ

)dτf

y

(t)

f

(t)

M

f第4-26页■

，

h(t)

dt＜

7.2

系统的因果性与稳定性必要性：设令

1f

(

t

)

Sgn

h

(

t

)

01h

(

t

)＜

0h

(

t

)

0h

(

t

)＞

0则f

(

t

)

h

(

t

)

h

(

t

)h(τ

)

f

(t

τ

)dτfy

(t)

y

f

(0)

h(τ

)

f

(

τ

)dτ

h(τ

)

dτ

②S

域充要条件：H

(s

)

L

h

(t

)

的极点全部在左半开平面。h

(

t

)

d

t

第4-27页■ff

(

t

)

M

，

H

1

(

s

)1F

(

s

)1

K

H

(

s

)fY

(

s

)

H

1

(

s

)s

211H

(

s

)

1

K

H

(

s

)

3

s

2

K

7.2

系统的因果性与稳定性F(s)Y

(s)(Yf

(s))H1(s)

X

(s)

K解：

X

(

s

)

F

(

s

)

K

Y

f

(

s

)Y

f

(

s

)

X

(

s

)

H

1

(

s

)

F

(

s

)

K

Y

f

(

s

)

H

1

(

s

)例1:1第4-28页■1(

s

)

(

s

1)(

s

2

)图示线性时不变系统，HK为何值，系统稳定?p1

,

23

2

K

3

2

2

27.2

系统的因果性与稳定性H(s)的极点：为了使极点均在左半开平面，必须:

3

2

3

2第4-29页■

2

2

K

2

解得：K

27.2

系统的因果性与稳定性（2）稳定系统的S

域判别方法：①必要条件：A(s)第4-30页■设H

(s)

B(s)nA(s)

a

sn

an

1sn

1

a

s

a1

0若系统稳定，则

ai＞0

，i

0，1，2，

，n②充分必要条件：连续系统稳定准则也称为罗斯-霍尔维兹准则。霍尔维兹多项式：所有根均在左半开平面的多项式。罗斯阵列：An(R-H排列)7.2

系统的因果性与稳定性n n

1

a

n

s

a

n

1

s

a1

s

a

0anan

1第4-31页■an

2an

3an

4an

5

cn

1cn

3cn

5

dn

1dn

3

dn

5

⁝n

11234n

2000007.2

系统的因果性与稳定性第3行及以后各行计算公式：

，，n

5n

3n

3n

1

1

a

n

1

a

naa

n

4caa

n

2c

，第4-32页■，n

5n

1

n

1a

n

1

a

n

1

1

a

n

1a

n

5n

3n

3n

1

n

1a

n

1

a

n

1

1

a

n

1a

n

3n

1cc

cdcc

cd罗斯-霍尔维茨准则(R-H

准则)：若罗斯阵列(R-H

排列)第一列元素(第一行至n+1行)的符号相同(全为“+”号或全为“-”号)，则H(s)

的极点

(A(s)的零点)全部在左半平面，系统稳定。例1:

4

s

2

5

s

2s

3H

(

s

)

2

s

1

判别系统稳定性。，

a

i＞0

，i

0，1，2，3.解：罗斯阵列：n

1

4第一列元素全为正，故系统稳定。7.2

系统的因果性与稳定性124314524

4

0

1

10

04

4

2

1

15

4.542

2

1

4.5

4.5

0

4.5

4.5

0第4-33页■40

0

1

解：

X

(

s

)

F

(

s

)

Y

f

(

s

)Y

f

(

s

)

X

(

s

)

H

1

(

s

)

F

(

s

)

Y

f

(

s

)

H

1

(

s

)F

(

s

)H

1

(

s

)11

H

(

s

)fY

(

s

)

H

1

(

s

)s

21

K

(

s

2

)

H

(

s

)

1

H

(

s

)

(

K

1)

s

(

2

K

2

)7.2

系统的因果性与稳定性F

(s)Y

(s)(Yf

(s))H1

(s)

X

(s)第4-34页■

例2:1(

s

)

K

(

s

1)

(

s

1)(

s

2

)图示线性时不变系统，HK为何值，系统稳定。罗斯阵列：n

1

3当K

1＞

0

，

(

2

K

2

)＞

0即，当

K

＞1

时，系统稳定。7.2

系统的因果性与稳定性1K

12K

2第4-35页■2K

2007.2

系统的因果性与稳定性例3:10a s

2

a s

a2

1B

(

s

)A

(

s

)H

(

s

)

B

(

s

)

对于二阶系统，求系统稳定的条件。解：罗斯阵列：n

1

3a2a1a0第4-36页■a000根据罗斯－霍尔维兹准则:a

2

0

,

a1

0

,

a

0

0a

2

0

,

a1

0

,

a

0

0或3、离散系统稳定性：（1）离散系统稳定的充分必要条件：第4-37页■设系统的单位响应为h(k)

k

充要条件：

|

h(k

)|

7.2

系统的因果性与稳定性证明：

m

m

即：|y

f

(k

)

|

M

f

|

h(m)

|m

则|

y

f

(k

)|

①充分性：设|

f

(k

)|

M

fy

f

(k

)

h(k

)

f

(k

)

h(m)

f

(k

m)m

|

y

f

(k

)

|

|

h(m)

f

(k

m)

|

|

h(m)

|

|

f

(k

m)

|

若

|

h(m)|

m

7.2

系统的因果性与稳定性第4-38页■无界输出y

f

(k

)。设

f

(k)

sgn[h(r

k)],

r

为一整数。②必要性：

h(m)

sgn[h(r

k

m)]m

令k

r，得y

f

(r)

h(m)

sgn[h(m)]m

m

则

y

f

(k)

f

(k)

h(k)

h(m)

f

(k

m)k

若

|

h(k)

|

，则至少有一个有界输入

f

(k)

产生

1

,

h(m)

0

h(m)

0

1,

h(m)

0第4-39页■

sgn[h(m)]

0

,

h(m)sgn[h(m)]

|

h(m)

|

y

f

(r)

|

h(m)

|m

若

|

h(m)|

m

则y

f

(r)

即y

f

(k)无界。7.2

系统的因果性与稳定性（2）离散系统稳定性判别：①离散系统稳定性的z域充要条件：若LTI因果离散系统的系统函数H(z)的极点全部在单位圆内，则系统为稳定系统。②朱里准则：朱里排列：设H

(z)

B(z)，z的正幂分式第4-40页■A(

z)n

n

1A(z)

an

z

an

1z

a0对系数ai

排列如下：7.2

系统的因果性与稳定性7.2

系统的因果性与稳定性ana0cn

1c0dn

2d0

r2an

1a1cn

2c1dn

3d1

r1an

2a2cn

3c2dn

4d2

r0

an

1

an

c1c0

cn

2d0cn

1

dn

2

123456⁝2n

3a1a000n

1

an

a1a

a0n

2

an

a2a

a,

cn

2,

cn

3,

ncn

1

an

a0a

ac0第4-41页■c1c2000,

dn

3,

dn

4,

dn

2c

cn

1

cn

1c

cn

2

cn

1c

cn

3

cn

1朱里准则：A(z)=0的所有根都在单位圆内的充要条件是：A(1)

A(z)

|z

1

0

第4-42页■n

1

00n

22

0(

1)n

A(

1)

0

c

|

c

|

d

|

d

|

r

|

r

|

an

|

a0

|

上式关于元素的条件就是：各奇数行，其第一个元素必大于最后一个元素的绝对值。7.2

系统的因果性与稳定性Y

(

z

) 1

2

z

1

3

z

2H

(

z

)

F

(

z

) 1

z

1

K

z

2z

2z

2

2

z

3

z

K

7.2

系统的因果性与稳定性例1:

图示LTI离散系统，K满足什么条件时，系统稳定?解：由左端加法器列方程：F(

z)

X

(

z)Y

(z)Kz

1z

1

213

X

(

z

)

(

z

1

K

z

2

)

X

(

z

)

F

(

z

)由右端加法器列方程：Y

(

z

)

(1

2z

1

3

z

2

)

X

(

z

)由上式可解得系统函数1

,

2第4-43页■

1

1

4

K2p

H(z)的极点：7.2

系统的因果性与稳定性当1

4K

0，即K

1

时为实极点，为使极点在单位圆内4必须同时满足不等式

1

1

4

K

1

,

1

1

4

K

12分别解得：K2K

0

2

,

K0

因而当1

4K

0，即K

1

时为复极点，可写为4

1

j

4

K

12第4-44页■p1

,

2

4此时：0

K

17.2

系统的因果性与稳定性可解得：K

1

1

2

4

K

1

2

14综合以上结果可知：0

K

1

时系统是稳定的。为使极点在单位圆内，必须满足

p1,2

1第4-45页■4此时有：1

K

17.2

系统的因果性与稳定性判断系统是否稳定。12z2

6z

1例2：H

(z)

,12z3

4z2

3z

1解：A(1)

12

4

3

1

6

0(

1)3

A(

1)

12

4

3

1

12

0朱里阵列：由上表可见：12

|1|143

|

32

|根据朱里准则可知，系统稳定。121

4

3

3

4112143

45

32123第4-46页■

7.3 信号流图7.3

信号流图一、连续系统的方框图表示(a)

时域:

h(t

)

h1

(t

)

h2

(t

)

hn

(t)若hi

(t

)为因果信号.方框图表示：f

(t)系统的串联：H

(

s

)

H

1

(

s

)•

H

2

(

s

)•

H

n

(

s

)(b)

S域:y(t)y(t

)h(t)

f

(t)δ

(t)h1

(t)h2

(t)hn

(t

)F

(s)Y

(s)

第4-47页■H1(s)H2

(s)Hn

(s)7.3

信号流图系统的并联：时域:h

(t

)

h1

(t

)

h2

(t

)

hn

(t)若hi

(t

)为因果信号.S域:H

(

s

)

H

1

(

s

)

H

2

(

s

)

H

n

(

s)f

(t

)y(t)

F

(s)⁝h1

(t)h2

(t)hn

(t)

Y

(s)⁝

第4-48页■

H1

(s)H2

(s)Hn

(s)7.3

信号流图例：LTI连续系统的框图如下，求描述系统的微分方程。解：系统方程：s

2

X

(s)

a

sX

(s)

a X

(s)

F

(s)1

0X

(s)(s2

a

s

a

)

F

(s)1

0

F

(s)Y

(s)

s

1s

1b11

a0b

a01

0s2X

(s)

1

F

(s)

a

s

a①Y

(s)

b1sX

(s)

b0

X

(s)②第4-49页■7.3

信号流图①式代入②式：Y

(s)

F

(s)1

0s

2

a

s

ab1s

b01

0

1

0(s2

a

s

a

)Y

(s)

(b

s

b

)F

(s)由单边拉氏变换的时域微分性质，得：y

′

(t)

a1

y

(t

)

a0

y

(t

)

b1

f

(t

)

b0

f

(t

)二、连续系统的信号流图表示：1.

信号流图的有关规定：(1)

用点表示信号(变量)：(2)

用有向线段表示信号方向和传输函数：x2

(s)

H1

(s)x1

(s)X

(s)x

(s)1x

(s)2第4-50页■H1

(s)7.3

信号流图x3

(s)

H1

(s)x1

(s)

H2

(s)x2

(s)(3)基本规则：x2

(s)

H1

(s)x1

(s)x3

(s)

H2

(s)x1

(s)x4

(s)

H1(s)

x1(s)

H2

(s)x2

(s)3

3

H

(s)x

(s)x5

(s)

H4

(s)

x4

(s)x6

(s)

H5

(s)x4

(s)1x

(s)x

(s)2H1

(s)H2

(s)3x

(s)x2

(s)x3

(s)H1

(s)H2

(s)1x

(s)1x

(s)2x

(s)H1

(s)2H

(s)3x

(s)x5

(s)x6

(s)H4

(

s)3H

(s)X4

(s)H5

(s)第4-51页■7.3

信号流图2、系统的信号流图表示：可用信号流图表示系统框图等：例：LTI连续系统的框图如下，画出系统的信号流图。

F

(s)Y

(s)

s

1s

1b11

a0b

a01x2x3xF

(s)第4-52页■Y

(s)s

10bs

1

a10

a1

x1x2b1x37.3

信号流图第4-53页■一般步骤：选输入、输出、积分器输出、加法器输出为变量；

建立变量间的传输关系和传输函数，根据变量间的传输关系和信号流图的规定画信号流图。3、由信号流图求系统函数——梅森公式（Mason’s

rule）(1)

流图术语：支路：两点间的有向线段称一条支路；通路：从某一节点出发，沿支路方向，连续经过节点和支路到达另一节点，所经过的路径称通路；开路：从一节点到达另一节点，并且节点不重复的通路称为开路；7.3

信号流图环：从一节点出发，经过节点和支路又回到该节点的闭合通路称为环或回路；开路传输函数：组成一条开路的所有支路传输函数的乘积称为该条开路的传输函数,pi；环传输函数：组成一个环的所有支路传输函数的乘积称为该环的环传输函数,Li。(2)

梅森公式：设f

fF

(s)

L

f

(t)

,

Y

(s)

L

y

(t

)

第4-54页■

则：H

(s)

m

pi

ii

1fF

(s)Y

(s)7.3

信号流图第4-55页■m,n p

,q

,r其中：Δ称为流图行列式（特征行列式）

1

Lj

Lm

Ln

Lp

Lq

Lr

j

Ljj

Lm

Ln—

流图中所有环传输函数Lj

之和；—

流图中所有两两不相接触的环传输 函数乘积之和；m,np

,q

,r

Lp

Lq

Lr

——流图中所有三个不相接触环的环传输函数乘积之和；pi

——由F(s)到Yf

(s)的第i条开路的传输函数；

i

——除去第i条开路，剩余流图的流图行列式；m

——从F(s)到Yf

(s)的所有开路数。7.3

信号流图例1：求H(s)。j

m,n

p,q,r

1

(

H1G

1

H2G2

H3G3

H4G1G2G3

)

H1G1H3G3,

1

1

(

H

2G2

)m

2

:

p1

H4

H5

p2

H1H2

H3

H5

,

2

12p

p

H

(s)

i

1

1

1

2

2

pi

iF

(s)Y

(s)H41

H1H3H2H51

G1

G2

G3

Lm

Ln

Lp

Lq

Lr

第4-56页■解：

1

Lj7.3

信号流图1

)1s

201解：

1

(

a

as2b2H

(s)

i

1

1

0s2b

s2

b

2

0

bs2

0

a

s

a

1

a1

a0s

s2

pi

iF

(s)例2：求H(s)。1Y

(s)b1s

10bs

1

a10

am

2

:

p1

b2,

1

12第4-57页■0

2s2p

1

b

,

17.3

信号流图三、离散系统的方框图表示：1、简单的方框图表示：2、系统的串、并联：（LTI因果系统）串联：hi

(k

)

Hi

(z),

i

1,2,

n设串联复合系统的冲激响应为h(k)，h(k

)

H

(z)则h(k)

h1

(k)

h2

(k

)

hn

(k

)H

(z)

H1(z)

H2

(z)

Hn

(z)f

(k)y(k)f

(k

)F

(z)y(k

)h1(k)h2

(k)

hn

(k)Y

(

z)H1(z)第4-58页■H2

(z)Hn

(z)7.3

信号流图并联：设并联复合系统的冲激响应为h(k

)，h(k

)

H

(z)则h(k

)

h1(k)

h2

(k)

hn

(k

)H

(

z)

H1

(

z)

H2

(

z)

Hn

(

z)f

(k

)y(k

)

F

(z)⁝h1(k

)h2

(k

)hn

(k

)

Y

(z)⁝

第4-59页■

H1

(z)H2

(

z)Hn

(z)7.3

信号流图3、用基本运算器表示系统：f

(k

)f

(k

)af

(k

)af

(k

)F

(z)F

(z)aF

(z)aF

(z

)f1

(k)f2

(k)

f1

(k)

f2

(k)F1

(

z)F2

(

z)

F1

(z)

F2

(z)

f

(k

)f

(k

1)F

(z)z

1f

(

1)

z

1F(

z)

f

(

1)

f

(k

)f

(k

1)F

(z)z

1

z

1F

(z)第4-60页■7.3

信号流图例1：图示离散系统，求系统差分方程。

F

(z

)Y

(z)

z

1z

1b11

ab0

a0z

1z

1b2

第4-61页■

解：由加法器输出端可列出方程：Y

(z)

a

z

1Y

(z)

a

z

2Y

(z)

b

F

(z)

b

z

1F

(z)

b

z

2

F

(z)1

0

2

1

01

0

2

1

0Y

(

z)

a

z

1Y

(

z)

a

z

2Y

(

z)

b

F

(

z)

b

z

1F

(

z)

b

z

2

F

(z)系统差分方程为：y(k)

a1

y(k

1)

a0

y(k

2)

b2

f

(k

)

b1

f

(k

1)

b0

f

(k

2)7.3

信号流图

F

(z)Y

(

z)

z

1z

11

a

a0b0

b1

b2

z

X

(z)

1z X

(z

)第4-62页■

2X

(z

)例2：图示离散系统，求系统差分方程解：设左边加法器输出为X(z),由两个加法器可得方程：X

(z)

a

z

1

X

(z)

a

z

2

X

(z)

F

(z)1

01

01

a

z

1

a

z

2X

(z)

F

(z)

,-----------------------（1）Y

(z)

b

X

(z)

b

z

1

X

(z)

b

z

2

X

(z)2

1

0---------（2）7.3

信号流图（1）式代入（2）式得：F

(z)第4-63页■Y

(z)

1

02

1

0

1

a

z

1

a

z

2b

b

z

1

b

z

2(1

a

z

1

a

z

2

)Y

(z)

(b

b

z

1

b

z

2

)F

(z)1

0

2

1

0y(k

)

a1

y(k

1)

a0

y(k

2)

b2

f

(k

)

b1

f

(k

1)

b0

f

(k

2)7.3

信号流图F(

z)z

1z

1F

(z)z

1F

(z)Y

(z)

z

1F

(z)11F1

(z)

F2

(z)

F1(

z)2F

(z)F1

(z)

F2

(z)F1

(z)2F

(z)aF(

z)aF

(z

)F

(z)Y

(z)

aF

(z)F

(z)H

(

z)Y

(z

)F(

z)第4-64页■四、离散系统的信号流图表示：1、框图表示与信号流图对应关系：H

(z)Y

(z)

H

(z)F

(z)7.3

信号流图2、信号流图规则：同于连续系统信号流图规则1x

(z)2x

(z)H

(z)1H2

(z)3x

(z)x5

(

z)6x

(

z)4H

(z)H3

(z)4X

(

z)5H

(

z)x3

(z)

H1

(z)x1

(z)

H2

(z)x2

(z)x2

(z)

H1

(z)x1

(z)x3(z

)

H2

(z

)x1

(z

)x4

(z)

H1(z)x1(z)

H

2

(z)x2

(z)3

3

H

(z)x

(z)x5

(z)

H4

(

z)

x4

(

z)x6

(z)

H5

(z)x4

(z)1x

(z)x

(z)2H1

(z)H2

(z)3x

(z

)x2

(z)x3

(z

)H1

(z)H2

(z)1x

(z)第4-65页■7.3

信号流图3、从框图表示到信号流图表示：例：LTI离散系统的框图如下，画出系统的信号流图。方法：选输入、输出、加法器输出、单位延迟器输出为变量，用点表示；根据信号流图规定和框图中信号传输关系画出信号流图。

F

(z)Y

(z)

z

1z

1b11

ab0

a0x1x2x3F

(z

)Y

(

z)1b0第4-66页■b

a1

a011

x2z

1

x

z

13x7.3

信号流图第4-67页■4、梅森公式：设LTI离散系统的输入为f

(k

)，零状态响应为y

f

(k

)y

f

(k)

Yf

(z)mf

(k)

F

(z),（单边Z变换对）

Pi

iF

(z)

Y

(z)H

(z)

f

i

1 其中：

：流图行列式（特征行列式）

1

Li

Li

Lj

Ll

Lp

Lq

i,

j

i

：除去第i

条开路后剩余流图的流图行列式；Pi：第

i

条开路的开路传输函数；m

：从F

(z)到Yf

(z)的开路数。7.3

信号流图例：图示离散系统，求系统函数H(z)。12

1

2L

L

L

2z

2

,

L

L

L

3z

313

1

3

1

Li

Li

Lj

i

i,

j

1

(

z

1

2z

1

3z

2

)

(2z

2

3z

3

)

1

3z

1

5z

2

3z

31F

(z)Y

(z)z

1z

1

z

1

2

32

11

11解：（1）流图的环传输函数

Li

及

：L

z

1,

L

2z

1,

L

3z

21

2

3两个不接触环的环传输函数：第4-68页■7.3

信号流图（2）流图的开路传输函数Pi

及

i

：P

2z

1,

1

(L

L

)

1

2z

1

3z

21

1

2

3P

z

2

,

1

L

1

z

12

2

12第4-69页■H

(z)

i

1

1

1

2

2

1

2z

(1

2z

3z

)

z

(1

z

)1

3z

1

5z

2

3z

32z2

5z

7z3

3z

2

5z

3

（3）由梅森公式求H

(z)

Pi

i

7.4

系统的结构7.4

系统的结构一、连续系统的模拟——由H(s)

到信号流图、框图：1、直接形式：s

a

0例1：H

(s

)

b1s

b0

.画出系统的信号流图。解：H

(s)

b01

b01s

s1

(

a0

)1

a

0sbsb

由梅森公式：流图包含两条开路，一个环。F

(s)第4-70页■Y

(s)b10b

a01

s

1（形式1）.

画出系统信号流图。1

0s

2

a

s

ab s

2

b

s

b例2：H(s

)

2

1

0

2

1

0

1

0s

2b s

2

b

s

b2s

2

b1

b0解：H

(s

)

a

s

absss

21

(

a1

a0

)

由梅森公式：流图包含3条开路和两个相接触环。7.4

系统的结构F

(s)第4-71页■Y

(s)1b10b

a0s

1（形式2）7.4

系统的结构F

(s)Y

(s)1b10b0

as

1