2027届新高考数学热点突破复习+离散型随机变量及其分布列、数字特征

2027届新高考数学热点突破复习离散型随机变量及其分布列、数字特征2027课标解读

1.了解离散型随机变量的概念.2.理解离散型随机变量分布及其数字特征(均值、方差).强基础•固本增分研考点•精准突破目录索引

强基础•固本增分自主诊断1.(人教A版选择性必修第三册习题7.2第2题改编)下表是离散型随机变量X的分布列,则常数a的值是(

)X3459P

C

2.(人教A版选择性必修第三册7.3.2节练习第1题改编)已知随机变量X的分布列为

X1234P0.20.30.40.1则D(X)=

.

0.84解析

由题意知E(X)=1×0.2+2×0.3+3×0.4+4×0.1=2.4,所以D(X)=(1-2.4)2×0.2+(2-2.4)2×0.3+(3-2.4)2×0.4+(4-2.4)2×0.1=0.84.知识梳理1.随机变量的有关概念(1)随机变量一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有唯一的实数X(ω)与之对应,我们称X为随机变量.通常用大写英文字母表示,例分两类:离散型随机变量和连续型随机变量如X,Y,Z;用小写英文字母表示随机变量的取值,例如x,y,z.(2)离散型随机变量:可能取值为有限个或可以

的随机变量.

微点拨

离散型随机变量X的每一个可能取值为实数,其实质代表的是“事件”,即事件是用一个反映结果的实数表示的.一一列举2.离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,我们称X取每一个值xi的

为X的概率分布列,简称分布列.

有表格、图形和解析式三种形式

(2)离散型随机变量的分布列的性质①pi

0,i=1,2,…,n;

②

=1.

微点拨

判断所求离散型随机变量的分布列是否正确,可用pi≥0,i=1,2,…,n及p1+p2+…+pn=1检验.概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n

≥p1+p2+…+pn3.离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xnPp1p2…pn

x1p1+x2p2+…+xnpn

微点拨

1.均值是算术平均值概念的推广,是概率意义下的平均.2.E(X)是一个实数,由X的分布列唯一确定,即作为随机变量,X的取值是可变的,可取不同值,而E(X)是不变的.微思考

随机变量的均值、方差与样本的均值、方差有何关系?提示

随机变量的均值、方差是一个常数,样本的均值、方差是一个随机变量,随观测次数的增加或样本容量的增加,样本的均值、方差趋于随机变量的均值、方差.4.均值与方差的性质(1)E(aX+b)=

.(a,b为常数)

(2)D(aX+b)=

.(a,b为常数)

aE(X)+ba2D(X)研考点•精准突破考点一离散型随机变量分布列的性质

规律方法

离散型随机变量的分布列性质的应用

[对点训练1](1)(多选题)设离散型随机变量X的分布列为

X-10123P

AB

(2)(多选题)已知离散型随机变量X的分布列为

X012P0.40.2a则(

)A.E(X)=1 B.E(2X-1)=1C.D(X)=0.8 D.D(2X-1)=0.6ABC解析

对于A,B,由题意知,a=1-0.4-0.2=0.4,所以E(X)=0×0.4+1×0.2+2×0.4=1,所以E(2X-1)=2E(X)-1=2×1-1=1,故A,B正确;对于C,D,D(X)=0.4×(0-1)2+0.2×(1-1)2+0.4×(2-1)2=0.8,D(2X-1)=22D(X)=4×0.8=3.2≠0.6,故C正确,D错误.故选ABC.考点二离散型随机变量的分布列及数字特征例2

甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得10分,负方得0分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军,已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.(1)求甲学校获得冠军的概率;(2)用X表示乙学校的总得分,求X的分布列与期望;(3)设用Y表示甲学校的总得分,比较D(X)和D(Y)的大小.解

(1)甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,则乙学校每场比赛获胜的概率分别为0.5,0.6,0.2.甲学校要获得冠军,需要在3场比赛中至少获胜2场,若甲学校3场全胜,则概率为P1=0.5×0.4×0.8=0.16;若甲学校获胜2场,失败1场,则概率为P2=0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.8=0.44,所以甲学校获得冠军的概率为P=P1+P2=0.6.(2)乙学校的总得分X的可能取值为0,10,20,30,其概率分别为P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16,P(X=10)=0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.8=0.44,P(X=20)=0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.2=0.34,P(X=30)=0.5×0.6×0.2=0.06,则X的分布列为X0102030P0.160.440.340.06所以E(X)=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13.(3)(方法1)甲学校的总得分Y的可能取值为0,10,20,30,其概率分别为P(Y=0)=0.5×0.6×0.2=0.06,P(Y=10)=0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.2=0.34,P(Y=20)=0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.8=0.44,P(Y=30)=0.5×0.4×0.8=0.16.则Y的分布列为Y0102030P0.060.340.440.16所以E(Y)=0×0.06+10×0.34+20×0.44+30×0.16=17.故D(Y)=(0-17)2×0.06+(10-17)2×0.34+(20-17)2×0.44+(30-17)2×0.16=65,由(2)可得,D(X)=(0-13)2×0.16+(10-13)2×0.44+(20-13)2×0.34+(30-13)2×0.06=65,故D(X)=D(Y).(方法2)由题意Y=30-X,所以D(Y)=(-1)2D(X)=D(X).规律方法

求离散型随机变量分布列及数字特征的步骤

[对点训练2]元旦班级联欢晚会上,某班设计了一个摸球表演节目的游戏:在一个纸盒中装有红球、黄球、白球、黑球各1个,这些球除颜色外完全相同,同学不放回地每次摸出1个球,若摸到黑球,则停止摸球,否则就要将纸盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球表演2个节目,摸到白球或黄球表演1个节目,摸到黑球不用表演节目.(1)求a同学摸球三次后停止摸球的概率;(2)记X为a同学摸球后表演节目的个数,求随机变量X的分布列和数学期望、方差.

所以随机变量X的分布列为

X01234P

考点三均值与方差中的决策问题

X0246P

Y0246P

规律方法

利用均值、方差进行决策的2个策略(1)当均值不同时,两个随机变量取值的水平可见分歧,可对问题作出判断.(2)若两随机变量均值相同或相差不大,则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度,进而进行决策.[对点训练3]对某地区过去20年的年降水量(单位:毫米)进行统计,得到以下数据:887

939

643

996

715

838

1082

923

901

1182

1035

863

772

943

1035

1022

855

1118

768

809将年降水量处于799毫米及以下、800至999毫米、1000毫米及以上分别指定为降水量偏少、适中、偏多三个等级.(1)用频率估计概率,分别计算该地区过去20年的年降水量偏少、适中、偏多的概率;(2)根据经验,种植甲、乙、丙三种农作物在年降水量偏少、适中、偏多的情况下可产出的年利润(单位:千元/公顷)如下表所示.你认为这三种作物中,哪一种最适合在该地区推广种植?请说明理由.作物种类年降水量偏少适中偏多甲8128乙12107丙71012

(2)设种植农作物甲、乙、丙一年后每公顷地获得利润分别是随机变量X,Y,Z.X的分布列为X812P0.50.5种植甲种农作物,则每公顷地获利的期望E(X)=8×0.5+12×0.5=10.Y的分布列为Y12107P0.20.50.3种植乙种农作物,则每公顷地获利的期望E(Y)=12×0.2+10×0.5+7×0.3=9.5.Z71012P0.20.50.3种植丙种农作物,则每公顷地获利的期望E(Z)=7×0.2+1