高中数学必修一册教案3.1.2函数的表示法（教学设计）-

《3.1.2函数的表示法》教学设计本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第三章《函数的概念与性质》的第一节《函数的概念》。以下是本章的课时安排：第一节第二节第三节第四节课时内容函数的概念及其表示函数的基本性质幂函数函数的应用（一）所在位置教材第60页教材第76页教材第89页教材第93页新教材内容分析以初中已学的函数知识和二次函数为基础，通过四个实例的归纳、概括，抽象出函数的“集合--对应说”，并用抽象符号表示函数；通过典型例题训练学生选择适当的方法表示函数，并通过例题引入分段函数并进行简单应用.教材用代数运算和函数图象研究函数的单调性、奇偶性、最大（小）值，体现了研究数学性质的一般思路；在研究方法上，加强了通过代数运算和图象直观解释函数性质的引导和明示，为提升学生的抽象思维水平奠定基础.在初中已学习的正比例、反比例、二次函数等基础上，通过实例引导学生归纳共性、抽象出概念；借助幂函数这一类函数的研究，使学生理解研究函数的内容、基本思路和方法，引导学生从不同的角度理解函数的概念.利用函数的概念及其蕴含的数学思想方法解决简单的实际问题，包括研究已知解析式或图象的函数的性质，以及简单的建模问题，使学生螺旋上升地认识已有函数，同时巩固函数概念.核心素养培养通过观察实例，理解函数的概念，体现了数学抽象的核心素养；通过作出函数的图象以及图象的应用，提升直观想象的核心素养.通过实例，引导学生归纳概括出用严格的数学语言精确刻画单调性的方法，为提升数学运算、直观想象奠定了基础。通过幂函数概念的学习，强化了数学抽象；通过幂函数图象与性质的学习，提升直观想象与数学运算的核心素养.通过实例，了解函数在实际生活中的应用，促进学生数学抽象的核心素养；根据实际问题构造函数模型解决问题，体现了数学建模的核心素养.教学主线函数的概念通过“预备知识”的学习，学生在学习心理、学习方法、知识技能等方面为高中学习做了必要的准备，本章可以看成高中数学学习的正式起点，在知识的抽象程度、处理问题的方式以及数学语言表达等方面都要上一个台阶。学生在上一节学习了函数的概念，了解了函数是一种对应关系，对于函数的表示法在初中也有学习，所以学生学习本节内容还是比较有兴趣的，本节知识渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质。1.掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法，提升数学抽象的核心素养；2.会根据不同的需要选择恰当方法表示函数，强化逻辑推理和数学运算的核心素养；3.会用解析法及图象法表示分段函数，培养直观想象的核心素养；4.给出分段函数，能研究有关性质，提升数学运算的核心素养。重点：会根据不同的需要选择恰当方法表示函数；了解分段函数概念，并能简单应用；难点：函数的解析式的求法分段函数的定义及应用。（一）新知导入1.创设情境，生成问题（1）图中的曲线反映了南极上空臭氧层空洞的面积从1979年到2001年的变化情况：（2）下表反映了我国从1998年到2002年每年的国内生产总值：年份19981999200020012002国内生产总值（亿元）78345820678944295933102398探索交流，解决问题【思考1】问题（1）（2）中两个变量之间是函数关系吗？【提示】都是函数关系.【思考2】这种表示函数的方法是什么？【提示】（1）是图象法；（2）是列表法.【设计意图】通过探究，引导学生发现生活中函数关系，并能用数学方法表示出函数关系，提高学生用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力。（二）函数的表示法解析法，就是用表示两个变量之间的对应关系．列表法，就是列出来表示两个变量之间的对应关系．图象法，就是用表示两个变量之间的对应关系．这三种方法是常用的函数表示法．【思考3】三种表示法各有什么优点和缺点？【提示】列表法图像法解析法定义用表格的形式把两个变量间的函数关系表示出来的方法用图像把两个变量间的函数关系表示出来的方法一个函数的对应关系可以用自变量的解析式表示出来的方法优点不必通过计算就能直接看出与自变量的值相对应的函数值可以直观形象地表示随着自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，有利于研究函数的性质简明全面的概括了变量之间的对应关系；通过解析式可以求出任意一个自变量的值所对应的函数值缺点只能表示有限个元素的函数关系有些函数的图像难以精确作出一些实际问题难以找到它的解析式【辩一辩】判断正误(1)任何一个函数都可以用列表法表示．()(2)任何一个函数都可以用解析法表示．()(3)函数的图象一定是其定义区间上的一条连续不断的曲线．()答案：(1)×(2)×(3)×某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数y=f(x)．【解析】这个函数的定义域是数集{1，2，3，4，5}.①用解析法可将函数y=f（x）表示为y=5x,x∈{1，2，3，4，5}②用列表法可将函数y=f(x)表示为③用图象法可将函数y=f(x)表示为【类题通法】表示函数的注意事项1.函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；2.解析法：必须注明函数的定义域；3.图象法：是否连线；4.列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．【巩固练习1】已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．x123f(x)211x123g(x)321则f(g(1))的值为________；当g(f(x))＝2时，x＝________.【答案】11【解析】由于函数关系是用表格形式给出的，知g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)＝1.由于g(2)＝2，∴f(x)＝2，∴x＝1.【设计意图】通过探究学习，使学生明确函数的三种表示法的优劣，学会选择最好的方法去表示函数，提高解决问题的能力。（三）函数解析式的求法例2.（1）已知f(x)＝x2＋1，g(x)＝2x＋1，求f[g(x)].（2）已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)的解析式;（3）已知函数f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)，求f(x)；（4）已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x)．【解析】（1）∵f(x)＝x2＋1，g(x)＝2x＋1，∴f[g(x)]＝f(2x＋1)＝(2x＋1)2＋1＝4x2＋4x＋2.即fgx=4x2＋4（2）设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．∵f(0)＝1，∴c＝1.又∵f(x＋1)－f(x)＝2x，∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，整理，得2ax＋(a＋b)＝2x.由恒等式的性质，知上式中对应项的系数相等，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝2，,a＋b＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1，))∴f(x)＝x2－x＋1.（3）法一：换元法设t＝eq\r(x)＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)．∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．法二：配凑法∵x＋2eq\r(x)＝(eq\r(x))2＋2eq\r(x)＋1－1＝(eq\r(x)＋1)2－1，∴f(eq\r(x)＋1)＝(eq\r(x)＋1)2－1(eq\r(x)＋1≥1)，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．（4）∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，①∴将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x.②∴由①②得3f(x)＝x2－6x，∴f(x)＝eq\f(1,3)x2－2x.【类题通法】求函数解析式的四种方法（1）代入法：已知f(x)的解析式,求f(g(x))的解析式,直接将g(x)代入即可.（2）待定系数法：适用于已知函数的类型的情况，如一次函数、二次函数等，先把函数设出来，再解系数．(3)换元法：已知函数f(g(x))的解析式求f(x)的解析式可用换元法(或“配凑法”),一般步骤:令t=g(x),并写出t的范围；用t表示x将用t表示的x代入原式,写出解析式.换元时，一定注意自变量的取值范围的变化情况．(4)方程组法：这种方法针对于特殊题型，如同时出现f(x)和(或f(－x))时，需要把f(x)、(或f(－x))分别看作一个整体．通过解方程组消去不需要的(或f(－x))，解出f(x)的解析式，这种方法也称消去法．【巩固练习2】（1）已知f(x)＝x＋a，且f(x－1)＝x＋6，求a的值.（2）已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，求f(x)．（3）已知f(x2＋2)＝x4＋4x2，求f(x)的解析式.（4）设函数f(x)满足f(x)+2f1x=x(x≠0),求f(x).【解析】（1）∵f(x)＝x＋a，∴f(x－1)＝x－1＋a.又f(x－1)＝x＋6，∴x－1＋a＝x＋6，∴a＝7.设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.又f(f(x))＝4x＋8，∴a2x＋ab＋b＝4x＋8，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,ab＋b＝8))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝\f(8,3)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－8.))∴f(x)＝2x＋eq\f(8,3)或f(x)＝－2x－8.（3）因为f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4，令t＝x2＋2(t≥2)，则f(t)＝t2－4(t≥2)，所以f(x)＝x2－4(x≥2)．（4）因为对任意的x∈R,且x≠0都有f(x)+2f1x=x成立,所以对于1x∈R,且1x≠0,有f1x+2f(x)=1②×2-①得,f(x)=132【设计意图】通过例题学习，使学生掌握求函数解析式的方法，强化数学运算的核心素养。（四）分段函数【探究1】某市空调公共汽车的标价按下列规则判定：①5千米以内，票价2元；②5千米以上，每增加5千米，票价增加1元(不足5千米的按5千米计算)．已知两个相邻的公共汽车站间相距1千米，沿途(包括起点站和终点站)有11个汽车站．【问题】(1)从起点站出发，公共汽车的行程x(千米)与票价y(元)有函数关系吗？(2)函数的表达式是什么？(3)x与y之间有何特点？【提示】(1)有函数关系y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，0<x≤5，,3，5<x≤10))x在不同区间内取值时，与y所对应的关系不同分段函数的定义：分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．【辩一辩】判断正误(1)分段函数由几个函数构成．()(2)分段函数有多个定义域．()(3)函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤1，,－x＋3，x＞0))是分段函数．()(4)函数f(x)＝|x|可以用分段函数表示．()(5)分段函数的图象不一定是连续的．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√（5）√例3.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤－2，,x2＋2x，－2<x<2，,2x－1，x≥2.))(1)求f(－5)，f(－eq\r(3))，的值；(2)若f(a)＝3，求实数a的值．【解析】(1)由－5∈(－∞，－2]，－eq\r(3)∈(－2,2)，－eq\f(5,2)∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，f(－eq\r(3))＝(－eq\r(3))2＋2×(－eq\r(3))＝3－2eq\r(3).∵＝－eq\f(5,2)＋1＝－eq\f(3,2)，且－2<－eq\f(3,2)<2，∴＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))2＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq\f(9,4)－3＝－eq\f(3,4).当a≤－2时，a＋1＝3，即a＝2>－2，不合题意，舍去；当－2<a<2时，a2＋2a＝3，即a2＋2a－3＝0.∴(a－1)(a＋3)＝0，得a＝1或a＝－3.∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，∴a＝1符合题意；当a≥2时，2a－1＝3，即a＝2符合题意．综上可得，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2.【类题通法】1．求分段函数函数值的方法(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间．(2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．2．已知函数值求字母取值的步骤(1)先对字母的取值范围分类讨论．(2)然后代入到不同的解析式中．(3)通过解方程求出字母的值．(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．【巩固练习3】（1）已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x－2)，x>2，,x2＋2，x≤2，))则f(f(1))＝()A．－eq\f(1,2) B．2C．4 D．11（2）函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2，x≤2，,\f(4,5)x，x>2.))若f(x0)＝8，则x0＝________.[解析]（1）由函数的解析式可得，f(1)＝12＋2＝3，则f(f(1))＝f(3)＝3＋eq\f(1,3－2)＝4.（2）当x0≤2时，f(x0)＝xeq\o\al(2,0)＋2＝8，即xeq\o\al(2,0)＝6，∴x0＝－eq\r(6)或x0＝eq\r(6)(舍去)；当x0>2时，f(x0)＝eq\f(4,5)x0＝8，∴x0＝10.综上可知，x0＝－eq\r(6)或x0＝10.[答案]（1）C（2）－eq\r(6)或10【设计意图】通过分段函数定义的学习，使学生掌握分段函数求值的方法以及逆向应用，提升数学运算的核心素养。（五）函数的图象及应用例4.作出下列函数的图象，并根据图象求出函数的值域。(1)y＝2x＋1，x∈[0,2]；(2)y＝eq\f(2,x)，x∈[2，＋∞)；(3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．（4）y＝|x－1|【解析】(1)当x∈[0,2]时，图象是直线y＝2x＋1的一部分．函数的值域为[1,5]．(2)当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝eq\f(2,x)的一部分．函数的值域为(0,1]．(3)当－2≤x≤2时，图象是抛物线y＝x2＋2x的一部分．函数的值域为[－1,8]．（4）函数的解析式可化为y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1，x≥1，,1－x，x＜1.))画出此分段函数的图象，函数的值域为0，+∞．给定函数fx=x+1,gx在同一直角坐标系中画出函数fx,gx的（2）∀x∈R,用Mx表示fx,g【解析】（1）同一直角坐标系中函数fx,gx的（2）结合Mx的定义，可得函数Mx的图象.由x+12=x+1,得x由图易知Mx的解析式为Mx=x+1【类题通法】函数图象问题得的处理措施（1）若y=f（x）是已学过的基本初等函数，则描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有些可能需要根据定义域进行取舍.（2）若y=f（x）不是所学过的基本初等函数之一，则要按：①列表；②描点；③连线三个基本步骤作出y=f（x）的图象.（3）作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.（4）含有绝对值符号的函数作图象时，应该先把绝对值符号去掉，写成分段函数，再做图象。【巩固练习4】1.作出下列函数的图象：(1)y＝1－x(x∈Z)；(2)y＝x2－4x＋3，x∈[1,3]．【解析】(1)因为x∈Z，所以图象为直线y＝1－x上的孤立点，其图象如图①所示．y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，当x＝1,3时，y＝0；当x＝2时，y＝－1，其图象如图②所示．2.已知函数f(x)＝1＋eq\f(|x|－x,2)(－2<x≤2)．(1)用分段函数的形式表示函数f(x)；(2)画出函数f(x)的图象；(3)写出函数f(x)的值域．【解析】(1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋eq\f(x－x,2)＝1，当－2<x<0时，f(x)＝1＋eq\f(－x－x,2)＝1－x.所以f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，0≤x≤2，,1－x，－2<x<0.))(2)函数f(x)的图象如图所示．(3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．【设计意图】通过作函数图象，使学生了解函数的图象可能是点、线段、直线、曲线等形状，会做出分段函数的图形并会进行简单应用，提升直观想象的核心素养。（六）函数的实际应用例6.某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为15～20℃的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度y(℃)随时间x(h)变化的函数图象，其中AB段是恒温阶段，BC段是双曲线y＝eq\f(k,x)的一部分，请根据图中信息解答下列问题：(1)求y与x的函数关系式；(2)大棚内的温度为18℃时是否适宜该品种蔬菜的生长？(3)恒温系统在一天内保持大棚里的适宜新品种蔬菜的生长温度有多少小时？【思维引导】利用待定系数法求出x在每一段上的解析式，再分段研究．【解析】(1)设线段AD的解析式为y＝mx＋n(m≠0)，将点A(2,20)，D(0,10)代入，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＋n＝20,n＝10))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝5,n＝10))，∴线段AD的解析式为y＝5x＋10(0≤x≤2)．∵双曲线y＝eq\f(k,x)经过B(12,20)，∴20＝eq\f(k,12)，解得k＝240，∴BC段的解析式为y＝eq\f(240,x)(12≤x≤24)．综上所述，y与x的函数解析式为：y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＋100≤x≤2,202<x<12,\f(240,x)12≤x≤24))(2)当x＝18时，y＝eq\f(240,18)＝eq\f(40,3)，由于eq\f(40,3)<15，∴大棚内的温度为18℃时不适宜该品种蔬菜的生长．(3)令y＝15，当0≤x≤2时，解5x＋10＝15，得x＝1，当12≤x≤24时，解eq\f(240,x)＝15，得x＝16.由于16－1＝15(小时)，∴恒温系统在一天内保持大棚里的适宜新品种蔬菜的生长温度有15小时．【类题通法】对于应用题，要在分析题意基础上，弄清变量之间的关系，然后选择适当形式加以表示；若根据图象求解析式，则要分段用待定系数法求出，最后用分段函数表示，分段函数要特别地把握准定义域的各个“分点”．【巩固练习5】如图①，在边长为6的正方形ABCD的边上有一点P，沿着折线BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动．设点P运动的路程为x，△APB的面积为y.求：(1)y与x之间的函数关系式；(2)画出y＝f(x)的图象．【解析】(1)按照题意，根据x的变化，写出分段函数的解析式．当点P在线段BC上移动时，即0＜x≤6，BP＝x，于是S△APB＝eq\f(1,2)AB·BP＝eq\f(1,2)×6×x＝3x；当点P在线段CD上移动时，即6＜x≤12，S△APB＝eq\f(1,2)AB·BC＝eq\f(1,2)×6×6＝18；当点P在线段DA上移动时，即12＜x＜18，S△APB＝eq\f(1,2)AB·PA＝eq\f(1,2)×6×(18－x)＝54－3x.于是y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x，0＜x≤6，,18，6＜x≤12，,54－3x，12＜x＜18.))（2）画出y＝f(x)的图象，如图②所示．【设计意图】通过函数的实际应用，培养学生数学建模的核心素养。（七）操作演练素养提升1.如果二次函数的图象开口向上且关于直线x＝1对称，且过点(0,0)，则此二次函数的解析式可以是()A．f(x)＝x2－1 B．f(x)＝－(x－1)2＋1C．f(x)＝(x－1)2＋1 D．f(x)＝(x－1)2－12．已知f(x－1)＝x2－2，则f(2)＝()A．6 B．2C．7 D．93.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x，x≥0，,x－1，x<0，))若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于________．4.设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≤1，,\f(2,x)，x>1，))则f(f(3))＝________.[答案]1.D2.C3.-24.eq\f(13,9)【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。（八）课堂小结，反思感悟1.知识总结：2.学生反思：（1）通过这节课，你学到了什么知识？（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？