一元二次方程的应用课件2026-2027学年北师大版九年级数学上册

2.4一元二次方程的应用

4一元二次方程的应用（1）学习目标1.掌握列一元二次方程解决数学问题的方法,并能根据具体问题的实际意义,检验结果的合理性。（重点、难点）2.理解将实际问题抽象为方程模型的过程。（难点）复习导入1.勾股定理的内容：2.行程问题中速度、时间、路程的关系：3.直角三角形、梯形、长方形、正方形的面积：在Rt△ABC中，∠C=90°，则a2+b2=c2.aABCbc路程=速度×时间S直角三角形=底×高÷2S梯形=（上底+下底）×高÷2S长方形=长×宽

S正方形=边长×边长知识讲解知识点

一元二次方程的应用

如图,某海军基地位于A处,在其正南方向200n

mile处有一重要目标B,在B的正东方向200

n

mile处有一重要目标C.小岛D位于AC的中点,岛上有一补给码头;小岛F位于BC的中点.一艘军舰从A出发,经B到C匀速巡航,一艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰.已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船航行了多少海里？(结果精确到0.1n

mile)ABCDFE北东例1行程问题

例2面积问题等腰梯形的面积为160

cm2,上底比高多4

cm,下底比上底多16

cm，求这个梯形的高.例3古代数学问题《九章算术》“勾股”章中有一题:“今有二人同所立.甲行率七，乙行率三.乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会.问甲乙各行几何?”大意是说:已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3.乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.那么相遇时，甲、乙各走了多远?解：设甲、乙相遇时所用时间为x，根据题意，得（7x-10)2=(3x)2+102.整理得2x2-7x=0.解得x1=3.5,x2=0（不合题意，舍去）所以，3x=3×3.5=10.5,7x=7×3.5=24.5.答：甲走了24.5步，乙走了10.5步.乙：3x107x-10起点相遇点例4传播问题有两名流感病人，如果每轮传播中平均一个病人传染的人数相同，为了使两轮传播后，流感病人总数不超过288人，则每轮传播中平均一个病人传染的人数不能超过多少人？解：设每轮传染中平均一个人传染x人，由题意得，2+2x+(2+2x)x=288,解得:x1=11,x2=-13,答:每轮传播中平均一个病人传染的人数不能超过11个人.随堂小测1.如图，要把长为

4

m、宽为

3

m的长方形花坛四周扩展相同的宽度

x

m,得到面积为

30

m2的新长方形花坛，则x的值为（

）A.4.5B.2C.1.5D.1Dxm4

m3

m2.如图1,将一张长20

cm,宽10

cm的长方形硬纸片裁剪掉图中阴影部分之后，恰好折成如图2的有盖纸盒,纸盒底面积为48

cm2,则该有盖纸盒的高为（

）A.4

cmB.3

cm

C.2

cmD.1cmC3.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是157,每个支干长出的小分支数目为（

）A.12B.11C.8D.7A4.《九章算术》中“勾股”章有一个问题:今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈(1丈=10尺，1尺=10寸)，问户高、广各几何?意思是:已知长方形门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈,那么门的高和宽各是多少?设门的宽为x尺，下列方程中正确的为（

）A.x2+(x+6.8)2=102B.x2+(x-6.8)2=12C.x2+102=(x+6.8)2D.x2÷(x÷6.8)2=12A5.如图所示，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm,AD=8cm.动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向B移动,一直到达B为止;点Q以2cm/s的速度向D移动.当P，Q两点从出发开始几秒时，点P和点Q的距离是10cm.(

)(若一点到达终点，另一点也随之停止运动.A.2s或4.6s

B.1s或4.4sC.4.4s

D.2s或4.4sD小结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤：在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，但一般情况下只有一个根符合实际问题的要求，所以解方程后一定要检验看哪个根是符合实际问题的解.审清题意设未知数列方程解方程作答验根

4一元二次方程的应用（2）学习目标1.会用一元二次方程解决营销问题及增长率等问题。（重点）2.培养化实际问题为数学问题的能力及分析、解决问题的能力。（难点）复习导入列一元二次方程解决实际问题的一般步骤：审清题意设未知数列方程解方程作答验根知识讲解知识点

应用一元二次方程例1销售问题新华商场销售某种冰箱,每台进货价为2500元.调查发现:当销售价为2900元时,平均每天能售出8台;而当销售价每降低50元时,平均每天能多售出4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元,每台冰箱的定价应为多少元?分析：本题的主要等量关系是：每台的销售利润×平均每天销售的数量=5000元.

例2增长率问题新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱.去年某款新能源汽车销售量为15万辆，销售量逐年增加，明年预估当年销售量为21.6万辆，求这款新能源汽车的年平均增长率.解：设年平均增长率为x,根据题意可列方程:15(1+x)2=21.6.解得:x1=0.2,x2=-2.2(不合题意,舍去).答:这款新能源汽车的年平均增长率是20%.例3循环问题在一次会议上,每两个参加会议的人都握了一次手，据统计一共握了55次手，则这次参加会议到会的人数是多少？例4数字问题有一个两位数等于其各位数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数.随堂小测1.某海鲜市场以每千克10元的进价进了一批螃蟹,经市场调研发现:售价为每千克20元时，每天可销售40千克.售价每上涨1元，每天的销量将减少3千克.如果该海鲜市场想平均每天获利408元,设这种螃蟹的售价上涨了x元，根据题意可列方程为（

）A.(x-10)[40-3(x-20)]=408B.(20+x)(40-3x)一10×40=408C.(20+x)(40-3x)=408D.(20+x-10)(40-3x)=408D2.两个相邻自然数的积是132.则这两个数中，较大的数是（

）A.11B.12C.13D.14B3.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排15场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？4.前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，试求甲种药品成本的年平均下降率是多少？解：设甲种药品的年平均下降率为x.根据题意，得5000(1－x)2=3000，解方程，得x1≈0.225，x2≈1.775.根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5％.注意：下降率不可为负，且不大于1.5.小明设计了一个魔术盒，当任意实数对(a,b)进入其中时，会得到一个新的实数a2+2b-3.例如把(2,-5)放入其中，就会得到22+2×（－5）－3=－9，现将实数（m,－3m)放入其中，得到实数4，则m的值是多少？解：根据题意得,m2