期末模拟题（四）-2021-2022学年高二年级上册数学（人教A版（2019）选择性必修第一册）

高二上册数学期末模拟题（四）•人教A版（2019）新高考

一、单选题

1.以4（2/），8（3,4）两点为直径的圆的半径是（）

A.叵B.x/10C.2D.1

2

2.已知椭圆C：工+上=1的左、右焦点分别为尸2,过点Fi作直线/交椭圆。于M,

43

N两点，则△入MN的周长为（）

A.3B.4C.6D.8

3.已知P是平行四边形A8CO所在平面外一点,如果丽=（2,—l,Y）,而=（4,2,0）,

丽=（-1,2,-1）,则下列结论中错误的是（）

A.AP1ABB.APLAD

C.而是平面ABC。的法向量D.AP//BD

4.已知数列｛q｝的前〃项积为9,4=2且见+]=।-~,则与MI=()

%

A.-1B.1C.2D.-2

5.设直线x=r（0WY2）与函数y=d的图象交于点A,与直线y=3x-4交于点B.则

|4同的取值范围是（）

A.[2,6]B.[2,4]C.[4,6]D.[1,4]

6.若直线y=2x,x-y=l,/nv+盯+3=0相交于同一点，则点。猫〃）到原点的距离的最小

值为（）

A.巫B.75C.无D.拽

335

7.已知斜三棱柱ABC-AMG所有棱长均为2,NAA8=NAAC=9,点E、尸满足

A.76B.45C.2D.72

8.设函数/（x）=min卜（min｛q。｝表示a,b中的较小者），则函数/（x）的

最大值为（）

A.eB.1C.-D.—

ee

二、多选题

9.已知数列｛〃〃｝中，ai=3,a”i=——能使a〃=3的〃可以为（）

a”

A.22B.24

C.26D.28

10.下列说法正确的是（）

A.直线（a-l）x-（a-2）y-l=（Xa£R）一定经过第一象限

B.经过点尸。,2）,倾斜角为a的直线方程为y-2=tana（x-l）

C.经过两点”（凡,凹），%5,为）（内的直线方程为丁一丁产江基仁一王）

X2~X\

D.截距相等的直线都可•以用方程％+y=4（aeR）表示

11.在正方体48CO-ABCQ中，点P在线段80上运动，则下列结论正确的有（）

A.直线8。1平面AG。

B.三棱锥P-AO8体积为定值

C.异面直线AP与AD所成角的取值范围是

o2

D.直线GP与平面AG。所成角的正弦值的最大值为亚

3

三、填空题

12.若抛物线丁=以上的一点M到坐标原点。的距离为石，则点M到该抛物线焦点

的距离为.

13.已知函数/（%）=X3-3X+1,曲线y=/（A）在点（1,-1）处的切线方程.

14.已知数列｛&｝的首项4=-&,其前〃项和为S”，且满足

〃（77+1）（々向一凡）+11«以川=0,则当S”取得最小值时，〃=.

15.唐代诗人李顽的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河

试卷第2页，共4页

诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处

出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设

军营所在区域为/+()，+2尸42,若将军从点&T.0)处出发，河岸线所在直线方程为

x+y-\=Ot并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马''的最短总路

程为.

16.已知椭圆c：二+f=1上有一点P，A、F2分别为其左右焦点，5”=e,△开巴

84

的面积为S,则下列说法正确的有.

①若S=2,则满足题意的点尸有4个；

②若6=60。，则5=竽；

③。的最大值为90。：

④若鸟是钝角三角形，贝代的取值范围是e,2夜).

四、解答题

17.如图，己知在正方体48CZ)—AiBiCi£)i中，M,N,尸分别是ADi,BD,BC的中

点，利用向量法证明：

(1)MN〃平面CGDiD；

(2)平面MNP〃平面CGDiD.

18.已知AAHC,4(l,4),B(-l,Ci),C(2,l),以BABC为邻边作平行四边形A8CO

(1)求点。的坐标；

(2)过点A的直线/交直线BC与点£若SaME=2S〃cE，求直线/的方程.

19.设S”是等比数列｛q｝的前/:项的和，6二上，且£、S3、S2成等差数列.

16

(1)求｛4｝的通项公式：

⑵设，为实数，S20为血｝的前2〃项的和，。为数列｛%的前〃项的和，且S2.二〃；,

求I的值.

20.如图，已知在四棱锥P-ABC。中，"_1_平面人8。，四边形A8C。为直角梯形,

AD=2AB=2BC=2tPA=\,ZABC=90°.

(1)求点8到平面尸CO的距离；

(2)在线段尸8上是否存在点E,使得二面角E-AC-P的余弦值为立？若存在，指

3

出点七的位置：若不存在，请说明理由.

22

厂+)‘

21.已知椭圆氏/+从=13泌>0)的右焦点坐标为尸(3,0),过户的直线/交椭圆于

A,R两点、,当A与上顶点重合时，AF-3FB

(1)求椭圆石的方程;

(2)若点P(6,0),记直线布，P5的斜率分别为&&，证明：4+为为定值.

22.已知函数〃力=。2?1-lira,a>0.

(1)若4=1,证明：八刈之0；

(2)若/(工)之0恒成立，求a的取值范围.

试卷第4页，共4页

参考答案

1.A

【分析】

利用两点之间的距离公式求出|4耳，再根据该圆的半径为即可得到结果.

【详解】

由题意可知，|AB|=’(2—3)2+(1-4)2=加

所以以A(2,l),5(3,4)两点为直径的圆的半径是萼.

故选：A.

2.D

【分析】

由△KMN的周长为=\MN\+M用+|N段=|M制+|M段+|N£|+|八闾，结合椭圆的定义,

即可求解.

【详解】

由题意，椭圆C:工+《=1,可得/=4,即〃=2,

43

如图所示，根据椭圆的定义，可得的周长为匕.=阿叫+眼图+|叫|

二|"K|+|M埒+|N用+|纥|=2々+勿=4〃=8

故选：D.

【分析】

根据题意，结合线面位置关系的向量判断方法，一一判断即可.

【详解】

答案第1页，共16页

因为A月A户=-2-2+4=0，所以与_L而，故A正确；

因为而•而=-4+4+0=0，所以存历，故B正确；

由A,B知，C正确：

丽=而一丽=(2,3,4)与而=(-1,2,-1)不平行，故D错误.

故选：D.

4.A

【分析】

由递推式可得｛勺｝是周期为3的数列且生=；、生=-1，可得进而求42一

【详解】

,11,11,1c

由题设，,=1-----=~»4=1------=T，。4=1------=2…，

ax2a2%

・•・｛〃“｝是周期为3的数列，又q生a3=2xgx(-l)=T,且2021=3x673+2,

^202)=(-1)673・々2020,^2021=-lX2x-=-1.

故选：A.

5.A

【分析】

根据题意，用/表示出,耳，结合导数判断单调性，求出最值即可.

【详解】

由题意得4(5),8(/3—4),则陷十-3f+4|(0Q2).

设函数/(。=/一3/+4,0</<2,则力^)=3『・3,

易知/⑺在［0,1)上单调递减，在0,2］上单调递增，所以『⑴.="1)=2,

又"0)=4,/(2)=6,所以/⑺的值域为［2,6］,故|A用的取值范围是［2,6］.

故选：A.

6.D

【分析】

v=2x

先由,「求得直线的交点会标，代入直线，加+冷叶3=0,得到〃叶2〃-3=0,然后

x-y=l

答案第2页，共16页

将点（见，。到原点的距离的最小值，转化为原点到直线〃?+2〃-3=0的距离求解.

【详解】

[y=2%、,(x=-\

由I，解得

[x-y=1[j=-2

所以直线的交点为(T-2),

因为交点（-卜2）在直线侬+〃），+3=0上,

所以〃?+2〃-3=0,

所以点（〃?，，。到原点的距离的最小值为d

故选：D

7.D

【分析】

uumuuuuuuUIM1/ULUULMUUIT\

以向量A3,ACA4,为基底向量，则石产5(AB+AC-/UJ根据条件由向量的数量积的

运算性质，两边平方可得答案.

【详解】

UUUUUUUUU

以向量4及AC,朋为基底向量,

uiuuiruuu1uuurizuiinuuu、i/Uimuuuuuir

EF=EA+AF=--AAi+-^AB+ACj=-^AB+AC-AAi

所以

lumpIzuunuiiuuuurx21/UUD2UUM2uuir、uunuuuuunuuiruumuuir

[石尸|=

:(AB+AC—AAJ=+AC+AAi+2ABAC-2ABAAi-2ACAAt

=1[4+4+44-2x2x2x1-2x2x2x1-2x2x2x1

41222

=—x8=2

4

所以同卜应

故选：D

8.B

【分析】

答案第3页，共16页

根据题意，令尸(x)=xlnx-根据零点存在性定理可知产(工)在(L2)上存在零点，设零

点为而，则分别设g5)=xlnx和力(力=提，利用导数研究函数的单调性，并结

合函数图象可知当“4天时，/(x)=.dnx,可得出〃x)2=%ln/=W，当时，

此时/(可皿=/(6)=1,根据函数/2(x)的单调性比较两个最大值，即可得出结

e

果.

【详解】

解：由题可知，函数/(刈的定义域为(0,+e),

令F(x)=xlnx-二,®iJF(l)<0,F(2)>0,

可知产(同在(1,2)上存在零点,设零点为小，则1<与<2,

设g(x)=xlnx,则g[x)=lnx+l,令g(t)=0,解得：x=-f

e

所以g(x)在10,目上单调递减；在已,e)上单调递增，

设网力=1，则/«。=尸令〃(力=0,解得：X=e,

所以人(力在(0,e)上单调递增，在(e,«Q)上单调递减，

大致画出函数g(x)=xlnx和〃(力=J的图象，

结合图象可知，当xGb时，f(x)=g(x)=x\nx,

此时"x)a=/(%)=”4=*，

当工>x0时，/(x)=/z(x)=4»此时〃xL=〃e)=l，

e

由于f(x0)</(e),则x°ln%=4<l,

所以函数〃x)的最大值为1.

故选：B.

答案第4页，共16页

【分析】

通过计算找到数列的周期，即得解.

【详解】

114

解：由0=3,=-79得42=1~9。3=~—»的=3.

〃”+143

所以数列｛为｝是周期为3的数列，故〃22=428=3.

故选：AD

10.AC

【分析】

求出直线过的定点可判断A；当a=90。时可判断B；由直线的点斜式方程以及斜率公式可判

断C：当横纵截距都等于。时可判断D,进而可得正确选项.

【详解】

对于A：由(a-l)x-(a-2)y-l=O(aeR)可得a(x-y)-x+2y-l=0,

由’一二I八可得一」所以该直线恒过定点(1,1)，该直线一定经过第一象限，故选

-X+2y-1=0[y=l

项A正确；

对于B：当a=90时，直线的斜率不存在，所以不能写成y-2=tana(x-l)的形式，故选项

B不正确；

对于C：因为外工毛，所以过点”(与,)，N(9,%)两点的直线斜率为&=&5&,所以直

线的方程为丁一%二止基仁一百)，故选项C正确：

“2一七

对于D：当直线的横纵截距都等于。时，直线的方程为丫=H，不可以用方程x+y=a(acR)

答案第5页，共16页

表示，故选项D不正确；

故选：AC.

11.ABD

【分析】

在正方体中，本题涉及线面垂直的证明，三棱锥体积的求解，异面直线所成角的范围及线面

角正弦值的范围.需逐个分析、计算、证明各选项.

【详解】

对于选项A,连接8a、4G,由正方体可得AG_L8a,且_L平面4由CQ,则_LAG,

又B\D、c网=，且平面BD洪，所以4a1平面BD禺，故.4.C,18A.

同理可证A。-LBD,，又AGcA，且AG，AQU平面AG。，所以8A_L平面AC。，

故A正确；

对于选项B,在正方体中，易知8cli而80(2平面AOu平面AOB,所以BCII

平面4。8,且因为点尸在线段BC上运动，则尸到平面4。8的距离为定值，面积

为定值，所以三棱锥尸-4。8体积为定值，故B正确；

对于选项C,因为AC//A。，则异面直线”与4。所成角等于直线80与AP所成角，

易知，当点尸与线段同。的端点重合时，直线BC与AP所成角取得最小值为?，故C错误;

对于选项D,如图所示建立空间直角坐标系：设正方体棱长为1,则

答案第6页，共16页

B(LLO)H(O,O,I)，G(O，U),设P(a，L。)，则e>=m,OM-i)

由B选项证明可知，8R_L平面AC。,所以应)1是平面AG。的一个法向量，设直线GP与平

血4G。所成角为夕，则

1

GxJ2a2-勿+1

1取得最大值底,

当时,即2为4c中点时,sina=故D正确

出xSaFa+l3

故选：ABD.

12.2

【分析】

求得点M的坐标，将点M到该抛物线焦点的距离转化为点M到抛物线/=4x的准线的距

离即可.

【详解】

2

解：设点M(q,y)f・・•|M0|=石，

4

22

...(£,0)+(y-0)=5,

.,・丁=4或=一|6(舍去)，

.”=回=1,

4

.•・M到抛物线/=4x的准线x=-\的距离d=1-(-1)=2,

•・•点M到该抛物线焦点的距离等于点M到抛物线丁=4x的准线的距离,

答案第7页，共16页

•••点M到该抛物线焦点的距离为：2.

故答案为：2.

13.

【分析】

根据导数的几何意义即可求出.

【详解】

因为制X)=3f-3,所以r⑴=0,曲线y=/(x)在点QT)处的切线方程为尸-1.

故答案为：y=-i.

14.5

【分析】

/、111111,111

首先根据〃(〃+1)(4+1-。”)+1147%=0得到---+—-=—+—,令。=—+一得到勿=2,

an+l〃+*ttn〃〃

从而得到q=47,再求当5“取得最小值时〃的值即可.

【详解】

由题意，=0

,11111111111111

nJ得------------------------,---H-----=—+-

-%〃5+1)n〃+1。向〃+1ann

,111,、

令”二1+了，则心产却即也｝是常数列，

所以"='+"=e='+11=2,故々1T

annax2w-l

当0<〃W5时，4<0；当〃之6时，%>().

故当〃=5时，S“取得最小值.

故答案为：5

15.4应

【分析】

先求出点4关于直线x+y-l=0的对称点点4到圆心的距离减去半径即为最短.

【详解】

答案第8页，共16页

设点4关于直线工+丁-1=0的对称点A'Q,力),

，q-40、,b

AA的中点为(工一二)，=--,

22。+4

-----(-1)=-1

故z/+：4,解得h。=-1

由V+(y+2)242知军营所在区域中心为。(0,-2),

要使从点A到军营总路程最短，即为点A到军营最短的距离为|A'C|-也,

“将军饮马”的最短总路程为"+(5+2)2-&=4a,

故答案为：4\/2

16.®@®®

【分析】

根据椭圆焦点三角形的性质逐一判断即可.

【详解】

由已知得a=2&，b=2,c=2,

对于①，因为S=；x4x/i,所以力=1<〃=2,所以这样的点有4个，故①正确;

仍用2+俨用2_『用2

对于②，因为|PK|+|P周=4历,cos"S=l|P/-||P^|sin^,故

2附|.|P周

答案第9页，共16页

S=Z>2tan—=4xtan30°=生®,故②正确；

23

对于③，归耳|+归闾=4>历,

cos”附「：呻2一产、的产「岸4/*=0

21P凰.P用2附|忖周[P用+归用Y，所以"90。，故③正

<2,

确；

对于④，因为△耳尸鸟为钝角三角形，且由③得/片尸用=。工90。，所以NP耳6或NP八月为

钝角，当/尸式用=90。时,S最大，此时|尸制+|质|=4^,归用2_俨用2=]6,解得|尸玛|=应,

所以三角形面积S=gx4x应=2拉，所以S«0,2例，故④正确；

故答案为：①②③④.

17.(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【分析】

(1)建立空间直角坐标系，设出相关点的坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，利

用直线的方向向量和平面的法向量的数量积为。进行证明；(2)证明两个平面有相同的一个

法向量即可..

【详解】

(1)证明：以O为坐标原点，丽，DC，国的方向

分别为x,y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系,

设正方体的棱长为2,则42,0,0),C(0,2,0),

0(0,0,0),M(l,0,1),ML1，0),P(l,2,1).

由正方体的性质，知AO_L平面CGQi。,

答案第10页，共16页

所以丽=(2,0,0)为平面CGOQ的一个法向量.

由于丽=(0，1，—1)，

则MNDA=0x2+1x0+(—1)x0=0,

所以丽砺.

又MNC平面CCiDiD,

所以MN〃平面CGQiD.

(2)证明：因为方=(2,0,0)为平面CGQQ的一个法向量，

由于丽=(0，2,0),MN=(0,1,-1),

MPDA=0

则〈,

MNDA=0

即方=(2,0,0)也是平面MNP的一个法向量，

所以平面MNP〃平面CGDiD.

18.

(1)。(4,5)

(2)x=l和x—2y+7=0

【分析】

(1)根据阳°=即。，%8=心8,设列出方程，求得尤丁的值，即可求解；

(2)要使S".=2SJC£,得到点8,。到直线/的距离4,4之比为2,分直线/的斜率存

在和不存在，两种情况，结合点到直线的距离公式，即可求解.

(1)

解：由题可知，以8A8C为邻边作平行四边形A8CD,可得AB,

所以“AD=^BC^CD=^AB'

设DUy)且41,4),B(7,0),C(2,l),则可得汇='且上二=2,

x-13x-2

解得x=4,y=5,所以£＞的坐标为(4,5).

(2)

解：要使SaAB£=2SjcE，贝IJ点以。到直线/的距离4,4之比为2,

当斜率存在时，设/的方程为4=2*-1),即日-)，-攵+4=0

答案第II页，共16页

所以由4=24，可得耳空二I,即卜2&+4|=2|4+3|,解得k=

7k+1迎+12

所以直线/的方程为x-2y+7=0.

当直线斜率不存在时，/的方程为x=l,此时4=2,4=1,仍符合题意.

综上：/的方程为x=l和x-2y+7=0.

19.

【分析】

（I）求出等比数列｛%｝的公比，利用等比数列的通项公式可求得数列应｝的通项公式;

（2）利用等比数列的求和公式求出》.、Tnt进而可求得，的值.

（1）

解：设等比数列｛叫的公比为/则,HO,

由已知可得2s3=Si+S2f即2^+2a2+2%=2^+生，即2%+4=°，

则44(2乡+1)=0,解得q=-g,因此，an=a5-

(2)

所以，数列｛d｝是以1为首项，以;为公比的等比数列,

所以，仁工L（（孙因此，，吟q号二;

匚L」3”⑺

答案第12页，共16页

20.

(1)—;

6

(2)存在，E为PB上靠近点8的三等分点.

【分析】

(I)建立空间直角坐标系，利用点到面距离的公式即可求出结果；

(2)假设线段PB上存在点£,设屋=2刖，Ae[0,l],则七(40,1-2),进而结合空间向

量的夹角坐标公式建立方程，解方程即可求出结果.

(1)

以A为坐标原点，45,AD,AP所在的直线为居y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

则4(0,0,0),5(1,0,0),。(0,2,0),0(1,1,0),P(0,0,l),

CP=(-1,-1,1),CD=(-1,1,0),丽=(1,0,-1).

设平面PCD的法向量为m=(x,y,z),

则有《，即(取机=(1,1,2).

m-CD=0[r+y=0'f

设点8到平面PCO的距离为d,则d=W覃=?=半，

网76o

所以点B到平面PCD的距离为由.

6

(2)

假设线段PB上存在点£使得二面角E—AC-尸的余弦值为且.

3

设屋=2用,^€[0,1],®JE(A,0,l-Z),

从而亚=(九0/一/1),AC=(1,1,O),AP=(0,0,1).

设平面ACE的法向量为％=(工],为4),

答案第13页，共16页

屋通=0AX1+(1-2)^=0

则有即《取I=-

/AC=0*x+y=0

设平面PAC的法向量为％=(孙%?2)，

即『一八，取后二(1,-1,0).

则有

民+),2=°

忖闻二2|2一1|二G

W%|>/2--^2(A—I)2+A23

解得或4=2(舍去)，

故线段P4上存在点£,使得二面角石-AC-尸的余弦值为立，此时E为PB上靠近点B的

3

三等分点.

21.

(2)4+旬为定值0,证明见解析.

【分析】

(1)由已知可得点40,8)，由向量关系求出点8的坐标，然后代入椭圆E的方程即可计算得

解.

(2)直线/不垂直于)，轴时设出其方程，与椭圆七的方程联立，借助韦达定理计算即可得解,

再讨论直线/垂直于y