人教版 九年级数学上册 252-253：期末练习题（含答案）

25.2用列举法求概率

一、选择题

1.2018♦大连一个不透明的袋子中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1,

2,3,从中随机摸出一个小球，记下标号后放回，再从中随机摸出一个小球并记

下标号，两次摸出的小球标号之和是偶数的概率是（）

415

-c-D-

929

2.三名九年级同学坐在仅有的三个座位上，起身后重新就座，恰好有两名同学没

有坐回原位的概率是（）

1111

--c--

A.964D.2

3.2019•临沂经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，若这

三种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口时，一辆向右转，一辆向左

转的概率是（）

2211

--c-D-

A.3939

4.2019•广西“学雷锋”活动月中，“飞翼”班将组织学生开展志愿者服务活动，小

晴和小霞从图书馆、博物馆、科技馆三个场馆中随机选择一个参加活动，两人恰

好选择同一场馆的概率是（）

212

-c-D-

A.399

5.一个盒子中装有标号分别为1,2,3,4,5的五个小球，这些球除标号不同外

其余都相同,从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为

()

1「3

A-5BtC5D5

6.小明和小华参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其

中的一项，那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为（）

1113

--C--

A.4324

7.定义一种“十位上的数字比个位上的数字、百位上的数字都大”的三位数叫做

“中高数”，如796就是一个“中高数”.若某三位数十位上的数字为7,从3,4,

5,6,8,9中任选两数分别作为个位和百位上的数字，则与7组成“中高数”的

概率是（)

A万B34江1

8.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷

一枚小针，则针尖落在阴影区域内的概率为（)

1

B.zD

乙O4

二、填空题

9.2018•滨州若从一1,1,2这三个数中任取两个分别作为点M的横、纵坐标,

则点M在第二象限的概率是.

10.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的

概率是________.

11.

一个仅装有球的不透明布袋里共有3个球（只有颜色不同），其中2个是红球，1个

是白球.从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再任意摸出一个球，

则两次摸出都是红球的概率是________.

12.如图所示的圆面图案是用半径相同的圆与圆弧构成的.若向圆面投掷飞襟,

则飞镖落在阴影区域的概率为.

13.如图，随机闭合开关SI,S2,S3中的两个，能让灯泡发光的概率是

14.有三张背面完全相同的数字牌，它们的正面分别印有数字力将它们

背面朝上，洗匀后随机从中抽取一张，记录下牌上的数字后并把牌放回，再重复

这样的步骤两次，共程到三个数字4,b,C,则以4,C为边长正好构成等边

三角形的概率是________.

15.在一4,-2,1,2四个数中，随机取两个数分别作为函数y=ax?+bx+l中

a,b的值，则该二次函数的图象恰好经过第一、二、四象限的概率为.

16.已知电路48由如图所示的开关控制，闭合小b,c,d,e五个开关中的任意

两个，则能使电路形成通路的概率是_______.

三、解答题

17.

甲同学口袋中有二张卡片，分别写着数字I、1、2,乙同学口袋中也有二张卡片

,分别写着数字1、2、2.两人各自从自己的口袋中随机摸出一张卡片，若两人

摸出的卡片上的数字之和为偶数，则甲胜；否则乙胜.求甲胜的概率.

18.2019•常州将图中的A型（正方形）、B型（菱形）、C型（等腰直角三角形）纸片分

别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只

,频数（人数）

14-----------------

12-.....................

10

I]______x

u74579584.589.5945995成绩（分）

（1）表中m=,n=

⑵请补全频数直方图；

(3)甲同学的比赛成绩是4()名参赛选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在

分数段内；

(4)选拔赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机

确定2名选手参加全市决赛，请用列表法或画树状图法求恰好是一名男生和一名

女生的概率.

21.2019•孝感一个不透明的袋子中装有四个小球，上面分别标有数字-2,-1,0,

1，它们除了数字不一样外，其他完全相同.

(1)随机从袋子中摸出一个小球，摸出的球上面标的数字为正数的概率是

(2)小聪先从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的

横坐标；然后放回搅匀，接着小明从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为点

M的纵坐标.如图10—ZT—3,已知四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(一

2,0),B(0,-2),C(l,0),D(0,1),请用画树状图法或列表法，求点M落在

四边形ABCD所围成的图形内(含边界)的概率.

人教版九年级数学25.2用列举法求概率课

时训练•答案

一、选择题

1.【答案】D［解析］列表得：

y一次

123

筑一次7^

1234

2345

3456

共有9种等可能的结果，其中两次摸出的小球标号之和是偶数的结果有5种，所

以两次摸出的小球标号之和是偶数的概率为看

2.【答案】D［解析］利用列举法可知，三人全部的坐法有6种，其中恰好有两

名同学没有坐回原位的情况有3种，因此恰好有两名同学没有坐回原位的概率是

3_1

6=2-

故选D.

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】C［解析］随机摸出两个球，所有可能的结果有2()种，每种结果的可

能性相同，其中摸出的小球标号之和大于5的结果有12种，所以所求概率P=1^2

3

=5.故选c.

6.【答案】A

7.【答案】C［解析］画树状图如下：

百位/Ax决X

个位456893568934689

百位受臬义

z/Nxx/hxx/hx

个位345893456934568

・・•共有30种等可能的结果，与7组成“中高数”的结果有12种，

・••与7组成“中高数”的概率是1益7背2

8.【答案】C［解析］设正方形ABCD的边长为2a,针尖落在阴影区域内的概率

_2_______7t

=4a2=8,

故选C.

二、填空题

9.【答案】！［解析］若从一1,1,2这三个数中任取两个分别作为点M的横、

纵坐标，一共有(一1,1),(-1,2),(1,-1),(1,2),(2,-1),(2,1)6种等

可能结果，其中在第二象限的结果一共有2种，所以点M在第二象限的概率是上.

10.【答案】J［解析1同时抛掷两枚硬币共有4种等可能的结果，即正正，正反,

反正，反反，其中一正一反的结果有2种，

所以所求概率=2%方1

11.【答案】百

【解析】如解图所示，由树状图可知，共有9种情况，而符合两次都摸到红球的

m4

情况共有4种，根据计算简单事件的概率公式P=S=9

开始

第一次红1红2

ZN

第二次白红I红2白红I红2白红I红2

12.【答案0

2

13.【答案】，［解析］因为随机闭合开关SI,S2,S3中的两个，共有3种情况:

S1S2,S1S3,S2S3,能让灯泡发光的有S1S2,S1S3两种情况,

2

-

所以随机闭合两个,3

14.【答案年［解析］画树状图如下:

123

123123123

/K/l\ZNZNZT\ZN/NZK/1\

123123123123123123123123123

・・,共有27种等可能的结果，能构成等边三角形的结果有3种，，以4,b,C为

边长正好构成等边三角形的概率是捺=".

15.【答案】t［解析］函数y=ax2+bx+l的图象一定经过y轴上的点(0,1),又

知其图象经过第一、二、四象限，则图象的开口向上，对称轴在y轴的右侧，且

与x轴正半轴有两个交点，所以a>0,b<0,b2-4ac>0.

列表如下:

a

-4-212

b

-4(一2,-4)(L-4)(2,-4)

-2(-4,-2)(1，-2)(2,-2)

1(一4.1)(一2.1)(2・1)

2(-4,2)(一2,2)(1，2)

由表可知，从一4,-2,1,2四个数中随机取两个数一共有12种等可能的结果,

其中只有a=l,b=-4和a=2,b=-4这2种结果符合题意，所以所求概率=

126,

3

16.【答案】$［解析］列表如下:

abcde

e3,e)(b,e)(c，e)(d,e)

d3，cl)S，d)(c,cl)(e,d)

c3，c)S，c)3，c)(e，c)

b(a,b)(c,b)(d,b)(e,b)

a(b,a)(c,a)(d,a)（e，〃）

・•・一共有20种等可能的结果，使电路形成通路的结果有12种,

，使电路形成通路的概率是与12*.3

三、解答题

17.【答案】

解：所有可能的结果列表如下:

112

1偶数偶数奇数

2奇数奇数偶数

2奇数奇数偶数

4

由表可知，和为偶数的结果有4种，・・・P（甲胜）=§.

答：甲胜的概率是夕4

18.【答案】

2

解：⑴g

⑵画树状图如下:

第一次ABC

/\/\/\

第二次

BCACAB

结果(A,B)(A,C)(B,A)(B,C)(C,A)(C,B)

由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中“拼成的图形是轴对称图形”的结果

21

有2种，故P（拼成的图形是轴对称图形）=3=点

19.【答案】

解：根据题意，画树状图如下:

第一：人/K-K

:二木木木

第二次1231231231A23/1K231A231A231A23A123

由树状图可知共有27种等可能的结果，其中组成的“下降数”只有1个，即321,

・・・三次摸球后得到的三位数是“下降数"的概率==

20.【答案】

解：(l)m=40x0.2=8,n=14-40=0.35.

故答案为8,0.35.

(2)补全频数直方图如下：

u74579584.5895945995成绩(分)

(3)成绩从小到大排序后，第20名和第21名同学的成绩都落在84.5〜89.5之间,

故甲的成绩落在84.5〜89.5分数段内.

(4)成绩在94.5分以上的选手共有4名，故男生两名、女生两名，分别记为男1,

男2,女1,女2,

画树状图如下：

常东家家

男2女1女2男1女1女2男1男2女2男1男2女1

由树状图知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中一名男生和一名女生的结

Q9

果有8种，故所求概率P=^=宗

21.【答案】

解：⑴(

(2)由题意，列表如下：

小聪

-2-101

小明

-2(-2,-2)(一1，-2)(0,-2)(1，-2)

-1(一2,-1)(T，-D(0,-1)(1，-D

0(-2,0)(一1，0)(0,0)(1，0)

1(一2,1)(一1，D(0，1)(1，D

由表可知，点M的所有等可能的结果有16种，点M落在四边形ABCD所围成

的图形内(含边界)的结果有(一2,0),(-1,-1),(-1,0),(0,-2),(0,-

Q1

1),(0,0),(0,1),(1,0),共8个，所以满足条件的概率为P=m=]

25.3用频率估计概率

1.某篮球运动员在最近的几场大赛中罚球投篮的结果如下:

投篮次数n81()129161()

进球次数m68971127

m

进球频率7

(1)计算表中各次比赛进球的频率;

(2)这位运动员投篮一次，进球的概率约为多少？

2.当实验次数很大时，事件发生的概率_____在频率附近.•因此我们可通过

多次实验用估计这一事件发生的概率.

3.在做种子发芽实验时，10000颗种子有9801颗发芽，据此估计，该种子发芽

的概率约为.

互动训练

知识点一：用频率估计概率

1.在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是

()

A.频率就是概率

R.频率与试验次数无关

C.概率是随机的，与频率无关

D.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率

2.某校篮球队进行篮球投篮训练，下表是某队员投篮的统计结果:

投篮次数/次1050100150200500

命中次数/次94070108144360

命中率0.90.80.70.720.720.72

根据上表可知该队员一次投篮命中的概率大约是（）

A.0.9B.0.8C.0.7D.0.72

3.对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下，•请你通过计算填出相

应合格品的概率：

抽取台数501002003005001000

合格品数（台）4092192285478954

频率

该厂生产的电视机次品的概率是______.

4.某市医院妇产科对近几年来新生儿性别统计如下表，请你经过计算后填空:

时间2002年2003年2004年2005年

新生女婴911921863892

新生男婴98099188()1120

新生男

婴频率

则该市男婴出生的概率为.

5.在某种条件下种子发芽的情况统计如下，请填表计算:

全部种子100050001000020000

发芽种子7984012798716057

频率

据此估计，该种子发芽的概率为

知识点二：用频率估计概率的应用

6.一个不透明的盒子里有〃个除颜色不同外其他完全相同的小球，其中有9个

黄球.每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子,

通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%,那么估计盒子中小

球的个数〃为（）

A.20B.24C.28D.30

7.一个不透明的口袋里装有除颜色不同外其余都相同的10个白球和若干个红

球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方

法：先将口袋中的球摇匀，再从口袋中随机摸出1球，记下颜色，然后把它放回

口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了1000次，其中有200次摸到白球，因

此小亮估计口袋中的红球有（）

A.60个B.50个C.40个D.30个

8.为配和新课程的实施，某市举行了“应用与创新”知识竞赛，共有1万名学生

参加了这次竞赛（满分100分，得分全为整数）。为了解本次竞赛成绩情况，从

中随机抽取了部分学生的竞赛成绩，进行统计，整理见下表：

组别分组频数频率

149.5〜59.5600.12

259.5〜69.51200.24

369.5〜79.51800.36

479.5〜89.5130C

589.5〜99.5b0.02

合计a1.00

表中a-yb=,c=；若成绩在90分以上（含90分）的学

生获一等奖，估计全市获一等奖的人数为.

9.红星养猪场400头猪的质量（质量均为整数千克）频率分布如下，其中数据不

在分点上

组别频数频率

46〜5040

51〜5580

56〜60160

61〜6580

66〜7030

71〜7510

从中任选一头猪，质量在65kg以上的概率

课时达标

1.（2020•江苏徐州）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜

色外都相同.小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则

袋子中红球的个数最有可能是（）

A.5B.10C.12D.15

2.某人把50粒黄豆染色后与一袋黄豆充分混匀，接着抓出100粒黄豆，数出其

中有10粒黄豆被染色，则这袋黄豆原来有（）.

A.10粒B.160粒C.450粒D.500粒

3.小亮把全班5（）名同学的期中数学测试成绩，绘成如图所示的条形图，其中从

左起第一、二、三、四个小长方形高的比是1：3：5：1.从中同时抽一份最

低分数段和一份最高分数段的成绩的概率分别是（）.

1I111111

A・而、而B.历、2C.2、而D-2'2

4.某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了

如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（）

f频率

0.25--------------------------------

0.20--------------^二—

0.15——

0.10--------------------------------

0.05--------------------------------

1'111>

100200300400500次数

4题图

A.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”

B.一副去掉大、小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽1张牌的花色是红桃

C.暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取1球是黄

球

D.掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是4

5.下表记录了某种幼树在一定条件下移植成活情况

移植总数〃400150035007000900014000

成活数巾325133632036335807312628

成活的频率（精确到0.01）0.8130.8910.9150.9050.8970.902

由此估计这种幼树在此条件下移植成活的概率约是（精确到（）」）.

6.某瓷砖厂在相同条件下抽取部分瓷体做耐磨试验，结果如下表所示：

抽取瓷砖数n10030()40060010002000300()

合格品数〃79628238257094919062850

合格品频率”0.9600.9400.9550.9500.9490.9530.950

n

则这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是.（精确到（）.01）

7.有两组卡片，第一组的三张卡片中分别写有开、口、笑，•第二组的四张卡片

上分别有开、怀、大、笑，试利用两种方法，求从每组卡片中各抽出一张，抽到

相同字的概率.

8.儿童节期间，某公园游乐场举行一场活动.有一种游戏规则是在一个装有8

个红球和若干个白球(每个球除颜色不同外，其他都相同)的袋中，随机摸1个球,

摸到1个红球就得到1个玩具.已知参加这种游戏的儿童有40000人，公园游乐

场发放玩具8000个.

(1)求参加此次活动得到玩具的频率；

(2)请你估计袋中白球的数量接近多少.

9.王老汉为了与客户签订购销合同，对自己鱼塘中的鱼的总质量进行估计，第

一次捞出100条，称得质量为184kg,并将每袋鱼作记号后放入水中，•当它

们完全混合于鱼群后，又捞出20()条，称得质量为416kg,且带有记号的鱼有

20条.王老汉的鱼塘中估计有鱼多少条，总质量为多少千克.

10.为了了解初中生毕业后就读普通高中或就读中等职业技术学校的意向，某校

对八、九年级部分学生进行了一次调查，调查结戾有三种情况：A.只愿意就读普

通高中；B.只愿意就读中等职业技术学校；C.就读普通高中或中等职业技术学校

都愿意.学校教务处将调查数据进行了整理，并绘制了如图所示的尚不完整的统

计图，请根据相关信息，解答下列问题：

(1)本次活动共调查了多少名学生？

(2)补全图①，并求出图②中B区域的圆心角的度数；

(3)若该校八、九年级的学生共有2800名，请估计该校八、九年级学生中只

愿意就读中等职业技术学校的人数.

人数

4801--

400

320

240

160

80

ABC调查情况

①②

10题图

11.一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某

课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、

搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：

摸球的次数200300400100016002000

摸到白球的频数7293130334532667

摸到白球的频率0.36000.31000.32500.33400.33250.3335

(1)该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数

是.

(精确到0.01),由此估出红球有个.

(2)现从该袋中摸出2个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果,

并求恰好摸到1个白球，1个红球的概率.

拓展探究

1.某商场大搞“真情回报顾客”的幸运抽奖活动，共设五个奖金等级，•最高奖金

每份1万元，平均奖金18()元，下面是奖金的分配表：

中奖等级一等奖二等奖三等奖四等奖五等奖

奖金额(元)10000500010(X)5010

中奖人数3889300600

一名顾客抽到了一•张奖金，奖金数为10元，她调查了周围不少正在兑奖

的其他顾客，很少有超过5()元的，她气愤地去找商场的领导理论，领导解释说

这不存在什么欺骗，平均奖金确实是180元.你认为商场领导所说的平均奖金是

否欺骗了顾客？此种说法是否能够很好地反映中奖的一般金额？•用你所学口勺统

计与概率的有关知识作简要分析说明，以后若遇二类似抽奖活动的问题，你会更

关心什么？

2.小颖和小红两名同学在学习“概率”时，做掷骰子(质地均匀的正方体)试验.

(1)她们在一次试验中共掷骰子60次，试验的结果如下：

朝上的点数123456

出现的次数7968201()

①填空：此次试验中“5点朝上”的频率为；

②小红说：“根据试验，出现5点的概率最大.”她的说法正确吗？为什么？

(2)小颖和小红在试验中如果各掷一枚骰子，那么两枚骰子朝上的点数之和

为多少时的概率最大？试用列表法或画树状图法却以说明，并求出其概率.

3.在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球试

验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出1个球记下颜色，再把它放回盒子中，

不断重复上述过程，如图是“摸到白球”的频率折线统计图.

⑴请估计：当〃很大时，摸到白球的频率将会接近_______(精确到0.01),

假如你摸一次球，摸到白球的概率为.

(2)试估计盒子里白、黑两种颜色的球分别有多少个.

(3)在(2)的条件下，如果要使摸到白球的概率为与那么需要往盒子里再放入

多少个白球？

25.3用频率估计概率答案

自主预习

1.解：(1)0.75,0.8,0.75,0.78,0.75,0.7；(2)0.75.

说明：本题中将同一运动员在不同比赛中的投篮视为同等条件下的重复试验，

所求出的概率只是近似值.

2.稳定事件发生频率

3.0.98

互动训练

1.D.解析：・・,大量重复试验中事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以

用这个常数估计这个事件发生的概率，

・・・选项A,B,C错误，选项D正确.故选D.

2.D.解析：试验次数越大，频率越稳定，越接近事件发生的概率，故该队员一

次投篮命中的概率大约是0.72.故选D.

3.0.8,0.92,0.96,0.95,0.956,0.954,0.05或5%

4.().5182,().5183,0.5049,0.5567,0.52

5.0.798,0.8024,0.7987,0.80285,0.8

9

6.D.解析：根据题意得彳=30%,解得〃=30,所以这个不透明的盒子里大约有

30个除颜色不同外其他完全相同的小球.

7.C.解析：•・,小亮共摸了1()0()次，其中200次摸到白球,则有800次摸到红

球，

・・・白球与红球的数量之比为1：4.

・・•白球有10个，・•・红球有4x10=40(个).

8.500,10,0.26；200人

9.0.1,0.2,0.4,0.2,0.075,0.025；0.1

课时达标

1.A.解析：设袋子中红球有x个，根据题意，得：—=0.25,解得x=5,

20

・••袋子中红球的个数最有可能是5个，故选：A.

2.C.3.A.

4.D.解析：A项中，小明随机出的是“剪刀”的概率是奈0.33.

B项中，从中任抽1张牌的花色是红桃的概率是呈13=；1=0.25.

2

C项中，从中任取1球是黄球的概率是干0.67.

D项中，向上一面的点数是4的概率是t0.17.

而折线统计图中试验的频率稳定在0.17左右，与。项中的概率接近.

故选D

5.0.9.6.0.95.

7.方法一：(见下表)

开怀大笑

开（开，开）（怀,开）（大，开）（笑，开）

口（开，口）（怀，口）（大，口）（笑，口）

笑（开，笑）（怀，笑）（大，笑）（笑，笑）

_2_1

P两次和同=-=-

126

7I

方法二：用树状图，图略，P两次相同=7T=-

12o

8.解：（1）参加此次活动得到玩具的频率为黑言=（）.2.

QQ

（2）设袋中共有根个球，则p（摸到1个球是红球）=m，解得〃?=

40,

经检验，"2=40是原方程的解，且符合题意.

・・・袋中白球的数量接近40—8=32（个）.

9.解：因为捞出的200条鱼中带有记号的鱼为20条,

2（）

所以，做记号的鱼被捞出的频率为益二01,

而池塘中共有100条做记号的鱼，所以池塘中总共约有100:0.1=1000条鱼,

每条鱼的平均重量为416:200=2.08（kg）,所以池塘中总共有鱼

1（）00x2.08=208（）（kg）.

10.解：（1）C部分所占的百分比为瑞xl00%=10