10.1 二元一次方程 教学设计

10.1二元一次方程

一、教材分析本节课《二元一次方程》是苏科版初中数学七年级下册第十章第一节，主要包括二元一次方程的概念，二元一次方程解的概念和会求简单二元一次方程的一些特殊解．教材从实际问题引入，帮助学生理解二元一次方程的定义.本课注重知识的生成过程，通过创设丰富的情境，如篮球比赛积分、购分，环保知识竞赛答题得分问题等，学生在实际情境中感受二元一次方程的必要性和实用性实用性．这种设计不仅激发了学生的学习兴趣，还帮助他们更好地理解数学知识的来源和应用．同时，鼓励学生自主探索和合作交流，培养学生的创新思维和合作能力．通过学习二元一次方程，学生能够进一步提升数学思维能力，为后续学习更复杂的方程、不等式和函数奠定坚实基础．

二、学情分析在《二元一次方程》的教学中，学生已具备一定的数学基础，如一元一次方程的解法和简单的代数运算能力，但对二元一次方程的概念还较为陌生．学生在学习过程中，可能会对二元一次方程的解的不唯一性感到困惑，且在实际问题中列二元一次方程时，可能会因缺乏经验而出现困难．此外，学生的学习能力存在差异，部分学生可能需要更多的引导和练习来掌握知识．因此，教学中应注重类比一元一次方程进行引导，通过具体情境帮助学生理解概念，同时加强对实际问题的分析和建模训练，以提高学生的学习兴趣和应用能力．

三、学习目标1.了解二元一次方程及二元一次方程的解的概念，会判断一对未知数的值是否是二元一次方程的解.2.会求简单二元一次方程的一些特殊解,提高运算能力和解决实际问题的能力.3.通过对实际问题中数量关系的分析，体会方程是刻画现实世界的有效数学模型．

四、教学重难点重点：了解二元一次方程及二元一次方程的解的概念，会判断一对未知数的值是否是二元一次方程的解难点：解会求简单二元一次方程的一些特殊解．

五、教学过程本章引入师：我们已经学习过一元一次方程的概念、解法与应用，本章将学习二元一次方程组的概念、解法与应用．解二元一次方程组的基本思路是通过消元将其转化为一元一次方程．应用二元一次方程组解决实际问题的关键是借助表格或示意图寻找等量关系．二元一次方程组是解决问题的常用工具，许多含有两个未知量的实际问题可以通过建立二元一次方程组求解．问题：乙两列车相距200km，同时出发、相向而行，甲车的速度是220km/h，乙车的速度是180km/h，相遇时甲车行驶了多少千米?乙车行驶了多少千米?如果设相遇时甲车行驶了x千米，乙车行驶了y千米．答：在学习一元一次方程时，我们曾列一元一次方程解决了“鸡兔同笼”问题．解：设鸡有x只，则兔有(35－x)只．根据题意，得2x+4(35－x)=94.解得x=23,35－x=12.答：鸡有23只，兔有12只．师追问：你还有其他方法解决“鸡兔同笼”问题吗？（学生自由回答，只要合理即可）师继续追问：1.填写下表，你可以发现哪些等量关系?你能列出几个关于x，y的方程?你能根据所列方程求出x，y的值吗?答：鸡的只数+兔的只数=35；鸡的足数+兔的足数=94.2.x+y=352x+4y=94师生活动：学生独立思考，指定学生回答.设计意图：让学生对本章有一个初步的感知，有利于激发学生的学习兴趣，学生在头脑中建立全章的思维导图．情境导入某市中学生篮球联赛积分规则规定：赢一场得2分，输一场得1分．某球队本次联赛的目标是积20分，怎样描述该球队恰好完成目标时的输赢场数与积分之间的关系?答：赢的场数×2+输的场数×1=20(分)师即系追问：如果设该球队赢x场，输y场，你能用方程把等量关系表示出来吗？怎样描述该球队恰好完成目标时的输赢场数与积分之间的关系?答：2x+y=20．师生活动：教师投影问题，带领学生共同分析，学生独立思考后，学生代表回答．设计意图：通过情境创设，让学生感悟数学来源于生活并应用于生活的辩证思想，锻炼学生的独立思考能力，为得到二元一次方程的概念作铺垫．探究新知活动一：二元一次方程的概念问题：观察左、右两边的方程，它们分别有什么特征?2x+4(35－x)=94．x+y=35；2x+y=20．2x+4y=94．答：左边方程的特征：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的次数都是1；(3)等号两边都是整式．右边方程的特征：(1)含有两个未知数；(2)含有未知数的次数都是1；(3)等号两边都是整式．思考：类比一元次方程，右边方程叫什么方程呢？答：二元一次方程．师继续追问：类比一元一次方程的概念，谁能说说二元一次方程的概念呢？答：等号两边都是整式，含有两个未知数，并且未知数的次数都是1的方程，叫作二元一次方程．师继续追问：xy=1是二元一次方程吗？（）答：不是，它是二元二次方程了.师：定义不准确.师小结：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程．注意：1.二元一次方程中有且只有两个未知数；2.“含有未知数的项的次数都是1”不可理解为两个未知数的次数都是1；3.二元一次方程的左边和右边都是整式.问题：下列各式中，哪些是二元一次方程？哪些不是二元一次方程？(1)3a＋4b＝5；(2)2x＋x2＝0；(3)4x＋y＝7＋4x；(4)－4m－2n＝1；(5)3x＋1y＝1；(6)ab＝3b-1答：(1)、(4)是二元一次方程，(2)、(3)、(5)、(6)不是二元一次方程．师总结判断一个方程是不是二元一次方程要“三看：一看原方程是不是整式方程；二看化简后的方程是否含有两个未知数；三看含有未知数的项的次数是否都是1．师生活动：师生一问一答，互动交流．设计意图：通过类比一元一次方程的概念得到二元一次方程的概念，这里尤其要注意：二元一次方程强调“含有未知数的项的次数都是1”.活动二：二元一次方程的解某市中学生篮球联赛积分规则规定：赢一场得2分，输一场得1分．某球队本次联赛的目标是积20分，怎样描述该球队恰好完成目标时的输赢场数与积分之间的关系?解：设该球队赢x场，输y场，则有2x+y=20．问题：你能列出该球队输赢场数的所有可能情况吗?师引导学生:可以通过列表，列出该球队输赢的情况.答：师小结：二元一次方程的解：满足二元一次方程的一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．如x=5，y=10就是方程2x+y=20的一个解，记作：x=5y=10师提示：1,二元一次方程的解都是成对的两个数，一般要用大括号联立表示.一个二元一次方程通常有很多个解.师生活动：教师投影，学生独立思考后口答，师生互动交流，共同归纳二元一次方程的解的概念．设计意图：通过填表具体感受x，y的对应值与方程2x+y=20的关系，为归纳二元一次方程的解的概念提供实例，让学生在操作活动中感悟二元一次方程的解的本质属性．应用新知例1把方程3x+2y=12写成用含x的代数式表示y的形式，并写出方程的四个解．答：由方程3x+2y=12，得y=6－32x当x=0，1，2，3时，将这四个值代入y=6－32x，得y的值分别为6，92，3，32x=1y=92，x=2师生活动：学生先独立思考，指定学生回答.设计意图：进一步加深学生对“一个二元一次方程有无数个解”的理解.先要求学生用一个未知数(x)去表示另一个未知数(y)，给x赋值后方便回代”快速求出y的值，此题可为用代入消元法解二元一次方程组做铺垫.例2在某次中学生环保知识竞赛中，规定抢答题答对一道得5分，必答题答对一道得3分，答错不扣分．小明抢答题答对x道，必答题答对y道，得了20分．请列出关于x，y的二元一次方程，并写出这个方程符合实际意义的解．解：根据题意，得5x+3y=20．列表讨论方程解的可能情况：答：因为x，y都是自然数，所以符合实际意义的解是x=1y=5，x=4师追问：除列表法外，你还有其他方法吗？解：根据题意，得5x+3y=20．所以y=20-x3因为x，y都是自然数，所以20－5x是3的倍数，所以x=1或4，答：符合实际意义的解是x=1y=5，x=4师总结：1.求二元一次方程的解时，先把方程写成用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，这样求解更容易.2.考虑到本题的实际意义，在写出解时，应注意解都应该为自然数，所以本题的二元一次方程的解的个数是有限的．师生活动：教师板演示范完整的解题过程，学生模仿．设计意图：此题是实际问题，列出的二元一次方程的解须符合实际意义，方程的解有取值范围限制——必须为自然数，因此解的个数是有限的，结合方程解的实际意义可以通过枚举写出所有符合实际意义的解，具体如何枚举，可以引导学生先独立尝试，再汇报交流．课堂练习1.下面三对数值，哪几对是二元一次方程2x+y=3的解?哪几对是二元一次方程3x=2－4y的解?x=-2y=2，x=2y=-1，2.把下列方程写成用含y的代数式表示x的形式，并求方程的正整数解：(1)x+3y=7；(2)32－4x=3y．3.小亮在一场篮球比赛中共得21分，其中罚球得3分，怎样用二元一次方程描述他投中的两分球、三分球个数与得分之间的等量关系?他分别投中了几个两分球和三分球?答：1.由方程2x+y=3，得y=3-2x.分别x=-2，2，12分别代入y=3-2x，得y分别为7，-1，2．x=2y=-1和x=12y=2二元一次方程2x+y=3的解，同理可得x=-2y=2，x=2y=-1，是二元一次方程32.（1）由方程x+3y=7，得y=7-x3因为x，y都是正整数，所以x=1y=2，x=4y=1（2）由方程32－4x=3y，得y=32-4x3因为x，y都是正整数，所以x=2y=8，x=5y=4解：设投中两分球x个、三分球y个．根据题意，得2x+3y+3=21．因为x，y都是自然数，所以符合实际意义的解是x=0y=6，x=3y=4，x=6y=2答：他分别投中0个两分球，6个三分球；或3个两分球，4个三分球；或6个两分球，2个三分球；或9个两分球，0个三分球．限时训练1.下列各组数值中，是二元一次方程x－3y＝4的解的是（）．A.x=1y=-1B.x=2y=1C.x=-12.(m－2026)x|m|－2025＋(n＋4)y|n|－3＝2025是关于x、y的二元一次方程，则()A．m＝±2026，n＝±4B．m＝2026，n＝4C．m＝－2026，n＝－4 D．m＝－2026，n＝4.3.学校计划购买A，B两种品牌的足球，已知一个A品牌足球60元，一个B品牌足球75元．学校准备将1500元钱全部用于购买这两种足球(两种足球都买)，则该学校的购买方案共有多少种？答：1.A.2.解：因为(m－2026)x|m|－2025＋(n＋4)y|n|－3＝2025是关于x、y的二元一次方程，所以m－2026≠0，n＋4≠0，|m|－2025=1，|n|－3=1，解得：m=－2026，n=4，故选D.3.解：设购买A品牌足球x个，购买B品牌足球y个．根据题意，得60x＋75y＝1500，所以y＝20－45x因为x，y均为正整数，并且x是5的倍数，所以x=5y=16，x=10y=12，x=15y=8答：该学校共有4种购买方案．师生活动：学生独立完成，教师批阅.设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用.归纳总结设计意图：通过归纳让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.

六、板书设计

七、教学反思在教学过程中，教师应充分利用教材中的实际问题情境，引导学生从具体问题中抽象出数学模型，帮助学生理解二元一次方程的定义和二元一次方程的解的定义.可以通过小组