河南省湘豫大联考2025-2026学年高二下学期6月阶段检测数学试卷（含解析）

河南湘豫大联考2025-2026学年高二下学期6月阶段检测数学试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B．C． D．2．已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数（

）A． B． C． D．3．已知函数，则（

）A． B．2 C． D．14．已知抛物线C：的焦点为，过点的直线与C交于A，两点，且线段AB的中点M到轴的距离为3，直线与轴交于点．若，则C的标准方程为（

）A． B．C． D．5．定义在上的偶函数满足，且当时，单调递减，则下列关系式正确的是（

）A． B．C． D．6．已知二项式，则下列说法正确的是（

）A．展开式中第3项与第4项的二项式系数之比为B．展开式中所有项的二项式系数之和为128C．展开式中所有项的系数之和为64D．展开式中常数项为7．为研究城市文旅新媒体推广对旅游消费的带动效应，某文旅部门统计了2025年7-12月某城市文旅短视频累计播放量x（单位：亿次）与当月旅游总收入（单位：亿元）的统计数据，如下表：（

）月份789101112x/亿次234567/亿元815285090160通过散点图分析发现，与x的关系可用指数型回归模型拟合，回归方程为（，），令，得到关于x的回归方程为，相关系数为．则下列说法正确的是附：，，，，，，．A．关于x的回归方程为，当x每增加1亿次时，平均增加亿元B．与x的相关系数，若用一元线性回归模型直接拟合与x，得到的相关系数为，则C．若2026年1月该城市文旅短视频累计播放量为8亿次，用该回归模型预测的当月旅游总收入约为299亿元D．当旅游总收入为123亿元时，用该回归模型反推的播放量约为5.8亿次8．为推广非遗文化，某文创店推出“非遗主题盲盒”，每个盲盒内装有1张对应非遗项目的卡片，共有剪纸、陶艺、戏曲、书法4款不同卡片，每款卡片在盲盒中出现的概率均等，且不同盲盒开出的卡片相互独立．某同学一次性购买了3个盲盒，设该同学抽到的不同卡片款式的数量为随机变量，则下列说法正确的是（

）A．随机变量 B．C． D．二、多选题9．已知数列满足，且，数列满足，则下列说法正确的是（

）A．数列为等差数列B．数列为等比数列C．数列的通项公式为D．数列的前n项和10．已知四棱锥的底面ABCD是边长为2的正方形，顶点在底面的投影为正方形的中心，高，则下列说法正确的是（

）A．异面直线与BC所成角的余弦值为B．该四棱锥的内切球的表面积为C．直线与平面所成角的正弦值为D．点A到平面的距离为11．已知函数，其中，e为自然对数的底数，下列结论中正确的有（

）A．当时，的最小值为0B．若方程有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是C．若对任意恒成立，则实数a的取值范围是D．当时，有且仅有3个零点三、填空题12．已知各项均为正数的等比数列满足，则______．13．已知双曲线C：的右焦点为，坐标原点为，以线段为直径的圆与C的一条渐近线交于异于点的另一点A．若OA= 3AF，则C的离心率为_________．14．在三棱锥中，侧棱，，两两互相垂直，且．若为空间内一点，且，，则的最大值为_________________．附：柯西不等式：，其中a，b，，x，，，当且仅当（约定：若分母为0，则对应的分子也为0）时等号成立．四、解答题15．为深入落实科教兴国战略，提升中学生航天科学素养，某地市教育局联合航天科技馆开展“航天科普进校园”系列研学实践活动，研学参与者均参加科创竞赛．为了解研学活动参与时长与学生科创竞赛获奖的关联性，从参与本系列研学活动的学生中随机抽取100名，统计他们的研学累计参与时长（规定：累计参与时长课时为长时研学，<6课时为短时研学）与科创竞赛获奖情况，得到如下列联表：研学时长科创竞赛合计获奖未获奖长时研学251540短时研学105060合计3565100(1)从本次抽取的科创竞赛获奖的学生中，按研学时间长短分层，采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机选取3名作为代表参加航天科普宣讲会，求选取的3名代表中恰有2名为长时研学的概率；(2)依据的独立性检验，能否认为学生科创竞赛是否获奖与航天科普研学时长有关？附：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82816．在中，内角A，，C的对边分别为a，b，，满足．(1)求角的大小；(2)若，求面积的最大值．17．如图1，在平面四边形中，是以为斜边的等腰直角三角形，∠ABC=90°，是边长为2的等边三角形．现将沿翻折至的位置，使得，如图2．(1)设为的中点，证明：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值．18．已知椭圆C：的离心率为，且与直线有且只有一个公共点．(1)求C的标准方程；(2)设一动直线不经过坐标原点，与C交于M，两点，且．（ⅰ）证明：点到直线的距离为定值；（ⅱ）求面积的最大值．19．已知函数，其中，为自然对数的底数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，证明：；(3)若对任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围．题号12345678910答案CABCADCDBDACD题号11答案ABD1．C先求解一元二次不等式得到集合，再根据交集的定义计算两个集合的交集即可.【详解】不等式因式分解得，解得，即，又集合，所以.2．A先将已知等式变形求出复数，再根据共轭复数的定义计算得到结果.【详解】由，可得，的共轭复数.3．B【详解】，；.4．C【详解】抛物线C：的焦点为，设，由题意可知M到轴的距离为3，即，设，则，由，得，得，则，故C的标准方程为.5．A结合偶函数性质及关系可得，，，再结合函数单调性比较，，，由此可得结论.【详解】因为函数为偶函数，所以，又，所以，，，因为，且当时，单调递减，所以，所以，即.6．D【详解】对于A，展开式中第3项的二项式系数为，第4项的二项式系数为，则，故A错误；对于B，展开式中所有项的二项式系数之和为，故B错误；对于C，令，则展开式中所有项的系数之和为，故C错误；对于D，，其中；令，得，则常数项为，故D正确.7．C根据回归直线经过样本点中心可知经过，得到t，从而确定回归方程，由回归方程的性质判断每个选项.【详解】根据回归直线的性质，必定经过，即，于是，得，则，，解得.A选项，由回归方程可知，当x每增加1亿次时，变为原来的倍，A选项错误；B选项，由题知，是指数相关的，因此时，的相关性更强，即，B选项错误；C选项，时，，C选项正确；D选项，令，则，解得，D选项错误.8．D先确定随机变量的取值范围，计算各取值对应的概率，再结合期望、方差的公式及性质逐一验证选项.【详解】3个盲盒的总基本事件数为，随机变量的可能取值为，计算各取值的概率：，，由对立事件概率得选项A：二项分布对应n次独立重复试验的成功次数，为不同卡片款式数，不服从二项分布，A错误；选项B：，B错误；选项C：期望，由期望性质得，C错误；选项D：计算得，由方差公式，D正确.故选：D.9．BD首先通过递推公式构造等比数列求出的通项，进而得到的通项，再逐一判断各选项，最后通过裂项相消法求前n项和验证D选项.【详解】选项A：计算得，公差不相等，故不是等差数列，A错误；选项B：由变形得，即，且，因此是首项为2、公比为2的等比数列，B正确；选项C：由等比数列通项公式得，不是，C错误；选项D：先化简通项：，故，前n项和裂项相消得，D正确.10．ACD将异面直线所成角，转化为相交直线所成角，即可判断A，利用四棱锥的体积公式，即可求四棱锥内切球的半径，即可判断B，利用等体积公式求点到平面的距离，判断C，根据直线平面，结合选项C，即可判断D.【详解】对于选项A.由条件可知，，所以异面直线与BC所成角为与AD所成的角，为，因为，，所以，由条件可知，，所以三角形中，，所以异面直线与BC所成角的余弦值为，故A正确对于选项B.由条件可知，，则，所以三角形的面积为，设正四棱锥内切球的半径为，则，所以，所以内切球的表面积为，故B错误；对于选项C.利用等体积转化，设点到平面的距离为，，即，得，设和平面所成角为，，故C正确；对于选项D.因为，易知平面，所以点A到平面的距离等于点到平面的距离，即，故D错误.11．ABDA根据得到函数的导函数，求，得到，再根据函数的单调性得到最小值，B令，讨论a的取值范围，根据函数的单调性以及零点求解即可，C讨论a的取值范围寻找特殊点的函数值，利用函数的单调性求解，D首先分析函数的单调性，得到的极值点，再分析的符号，进而得到的零点.【详解】因为，所以.对于A，当时，，，令，解得.当时，，所以，所以f(x)在上单调递减；当时，，所以，所以f(x)在上单调递增，所以f(x)在处取得最小值，最小值为，A正确；对于B，因为，所以.令，则问题等价于函数有两个不同的零点.因为，若，，所以单调递增，则函数最多有一个零点，不符合题意；若，令，得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以在处取得极小值，且极小值为，要使函数有两个不同的零点，则.因为，则，即，解得.又当时，，，所以；当时，函数的增长远快于一次函数，所以.综上，当时，函数有两个不同的零点，B正确；对于C，要使对任意恒成立，分情况讨论：①当时，由A知，恒成立，符合要求；②当时，在(0,+∞)上单调递增，，，故存在，使得.f(x)在上单调递减，在上单调递增，因此，不符合要求；③当时，取，；取，，均不满足恒成立；④当时，，不符合要求.综上，当且仅当时满足条件，C错误.对于D，当时，，.令，则.令，得，当时，，当时，，因此在上单调递减，在上单调递增，所以.结合时，可知有两个不同的实数根，分别对应f(x)的极大值点，极小值点.又，所以，f(x)在上单调递减，且，所以f(x)在上有1个零点，且；f(x)在上单调递增，又当时，，，所以f(x)在上有1个零点；f(x)在上单调递增，又当时，，，所以f(x)在上有1个零点.综上，f(x)有且仅有3个零点，D正确.12．27由对数的运算性质和等比中项的性质求解.【详解】由题知，，由等比中项，则，则（负值舍去）.13．设点A为第一象限的点，求得，再利用公式可计算出双曲线C的离心率.【详解】设点A为第一象限的点，则以为直径的圆交双曲线C的渐近线于点A，则，且，，因此，双曲线C的离心率为.14．由侧棱，，两两互相垂直，建立空间直角坐标系，设由，得到，再利用柯西不等式结合．得到，然后利用数量积的坐标运算得到求解.【详解】在三棱锥中，侧棱，，两两互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系：设则，所以，则，，则，解得，因为，所以．所以，当且仅当时，等号成立，所以，所以，，而在上单调递增，所以.15．(1)(2)能认为学生科创竞赛是否获奖与航天科普研学时长有关（1）由分层抽样确定各层人数，然后根据古典概型求概率；（2）提出零假设，计算统计量，比较临界值得出结论.【详解】（1）分层抽样中，长时研学人数为人，短时研学人数为人，选取的3名代表中恰有2名为长时研学的概率为.（2）零假设：学生科创竞赛是否获奖与航天科普研学时长无关，，所以拒绝零假设，依据的独立性检验，能认为学生科创竞赛是否获奖与航天科普研学时长有关.16．(1)(2)（1）根据正弦定理及降幂公式化简已知方程，再利用辅助角公式求出角；（2）由余弦定理得到方程，根据重要不等式得出面积的最值.【详解】（1），即，因为，所以，即，则，即，因为，，所以，.（2）由余弦定理得，即，因为，所以，，当且仅当时等号成立.17．(1)因为为的中点，是边长为2的等边三角形，所以，且.如图，连接BO，在等腰中，，又，满足，所以，即.又，且平面，平面，所以平面.(2)（1）根据等边三角形的性质以及勾股定理证明，再利用线面垂直的判定定理证明即可.（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面的夹角的余弦值.【详解】（1）略（2）由(1)知平面，以为坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则因为平面位于平面内，易知平面的一个法向量为又.设平面的法向量为，则，得，令，得，即平面的一个法向量为.设平面与平面的夹角为.因为，，所以.故平面与平面夹角的余弦值为.18．(1)(2)（ⅰ）设直线的斜率存在，其方程为，.联立，消去得，则，化简得，，因为，所以，即，而，代入得，所以，整理得，所以，满足.所以点到直线的距离，由，得.当直线的斜率不存在时，设：，代入椭圆方程得，则，由，得，即，解得，所以，仍然成立.综上，点到直线的距离为定值.（ⅱ）【详解】（1）由，得，即，因此椭圆方程可写为，即，将直线代入椭圆方程得，即，因为直线与椭圆有且只有一个公共点，所以，即，解得，则，所以椭圆C的标准方程为.（2）（ⅰ）略（ⅱ）当直线的斜率存在时，由（ⅰ）知.的面积，由，令，则，，所以，因为，所以，所以当，即时，满足，取最