北师大版小学二年级数学《100以内有余数除法的计算》寒假自学导学案

北师大版小学二年级数学《100以内有余数除法的计算》寒假自学导学案

  一、导学总览与核心素养锚定

  本导学案面向已完成“表内除法”学习，即将系统接触“有余数除法”这一小学数学核心概念的小学二年级学生。寒假自学阶段，学生脱离常规课堂的即时互动环境，对学习材料的设计逻辑性、引导性、趣味性与自主探究支持度提出了更高要求。本设计超越单纯技能训练，旨在构建一个融“概念理解、算理内化、思维发展、应用迁移”于一体的深度学习框架。设计锚定《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养导向，聚焦以下四点：数感与运算能力——在真实分物情境中建立对除法意义的新理解，掌握有余数除法的竖式计算技能，能合理选择口算、估算或笔算；几何直观与模型意识——借助直观学具操作（如小棒、圆片）和图示（如圈画、排列），将具体分物过程抽象为数学算式，并归纳余数性质；推理意识——在探究“余数为什么一定要比除数小”的过程中，发展合情推理与初步演绎推理能力；应用意识与实践能力——设计贴近生活的、开放的探究任务，引导学生在解决真实问题中体会有余数除法的价值，并尝试进行简单的数学表达与交流。本导学案遵循“情境导入→操作探究→算理归纳→算法巩固→综合应用→反思迁移”的认知路径，兼顾学生个体差异，提供分层学习路径与评价支持，助力学生在寒假期间实现从“无余数除法”到“有余数除法”的认知飞跃，为后续学习“一位数除多位数”及更复杂的除法运算奠定坚实的思维与能力基础。

  二、学习目标体系（分层、可测）

  （一）知识与技能维度

  1.概念理解：能结合具体分物情境（如平均分糖果、分组游戏），准确描述“平均分后有剩余”的现象，并能用自己的语言解释有余数除法的意义。

  2.读写表达：能正确读出和写出有余数的除法算式，认识并规范书写算式各部分的名称：被除数、除数、商、余数，理解竖式中每一步计算的含义。

  3.算理掌握：通过动手操作（如用小棒摆一摆、在图上圈一圈），清晰解释有余数除法计算过程的道理，理解“试商”的思维过程，特别是理解“余数必须比除数小”的算理本质。

  4.算法熟练：能熟练运用乘法口诀试商，正确计算被除数在100以内的有余数除法（除数为一位数），能选择合适的方法（口算、简单的竖式笔算）得出结果，并会进行验算（除数×商+余数=被除数）。

  5.问题解决：能运用有余数除法的知识解决简单的实际问题，特别是涉及“至少”、“最多”、“可以分成几组”、“还剩几个”等关键词的周期排列与优化分配问题，并能根据实际情况对计算结果进行“进一法”或“去尾法”的合理性处理。

  （二）过程与方法维度

  1.探究建模：经历“具体操作→表象操作→符号抽象”的完整建模过程，从分实物、画图形中归纳出有余数除法的数学模型，发展从具体到抽象的思维能力。

  2.归纳推理：在大量操作与计算实例的基础上，通过观察、比较、归纳，自主发现并理解“余数一定比除数小”的规律，并能用逻辑语言初步说明原因。

  3.策略优化：在解决实际问题的过程中，体验策略的多样性（如列表、画图、列式），并能根据问题特点选择简洁有效的策略。

  4.反思迁移：能对自己的解题过程和结果进行回顾与检验，能将有餘數除法的思想遷移到新的、类似的問題情境中，建立知識之間的聯繫。

  （三）情感态度与价值观维度

  1.探究兴趣：在富有挑战性的分物游戏和问题情境中，激发对数学的好奇心和求知欲，体验独立思考与克服困难的乐趣。

  2.严谨态度：养成认真、工整书写竖式，自觉进行验算的良好计算习惯，形成言必有据、结论完整的数学表达习惯。

  3.合作意识：虽为自学，但设计鼓励与家人、同伴（可通过安全渠道）分享探究过程和发现，体验数学交流的价值。

  4.价值体认：感受有余数除法与日常生活的紧密联系，体会数学是描述和解决现实世界中“不完美均分”问题的有力工具。

  三、知识要点系统梳理

  （一）核心概念解析

  1.有余数除法的本质：是“平均分”的延伸。当把一些物品进行每份同样多的平均分时，恰好分完的情况用已学的除法表示；如果分到最后有剩余，且剩余的数量不够再分一份，这种情况就需要用“有余数的除法”来表示。剩余的数叫做“余数”。

  2.算式各部分名称及关系：

  -标准式：被除数÷除数=商……余数。例如：13÷4=3……1。

  -关系式（验算依据）：除数×商+余数=被除数。这是检验计算正确与否的根本法则。上例中，4×3+1=13。

  3.竖式计算过程详解（以13÷4为例）：

  -定位：先写“厂”字形的除号，被除数13写在里面，除数4写在外面。

  -试商：想4和几相乘的积最接近13且不大于13。利用乘法口诀“三四十二”，4×3=12，小于13；4×4=16，大于13。所以商是3。

  -乘减：将商3写在除号上方，对准被除数的个位。用商3乘除数4得12，把12写在13的下面，画横线。用13减12，得余数1。

  -对比：比较余数1和除数4。因为1<4，符合规则，计算完成。如果余数大于或等于除数，说明商小了，需要调大商。

  4.黄金法则：余数比除数小：这是有余数除法最核心、最重要的性质。

  -为什么？因为如果余数等于或大于除数，就意味着剩下的部分还可以继续分，之前的“商”就不是最大的、最合适的。例如：13÷4，如果商2，余5（因为4×2+5=13），但余数5比除数4还大，说明还能再分一份，商2不对。

  -推理：在平均分的过程中，每次分走一份（数量等于除数），分到最后剩下的（余数）如果还够一份（即≥除数），那么分的过程就没有结束。因此，分到不能再分一份时，剩下的（余数）必然比一份的数量（除数）小。

  -结论：在有余数的除法里，余数必须小于除数。反之，除数必须大于余数。这个关系是永恒的。

  （二）易错点与难点预警

  1.试商不准：对乘法口诀不够熟练，导致试商时徘徊，或直接用了“除数×商=被除数”的惯性思维，忘记要考虑“小于被除数”且“最接近”。

  2.竖式书写不规范：

  -数位不对齐（特别是商的位置）。

  -忘记写横线或等号。

  -余数写得过大，甚至忘记写余数。

  3.忽视“余数<除数”的检验：计算完乘减得出余数后，没有进行最后的关键一步比较，导致错误结果未被发现。

  4.实际应用中的取舍困惑：

  -“至少”问题（进一法）：如“22个同学坐船，每条船坐4人，至少需要几条船？”22÷4=5（条）……2（人）。剩下的2人也需要1条船，所以需要5+1=6条船。

  -“最多”问题（去尾法）：如“22元买4元一个的面包，最多能买几个？”22÷4=5（个）……2（元）。剩下的2元不够再买一个，所以最多买5个。

  -学生容易混淆，直接使用商或商加1作为答案，而不联系生活实际思考。

  四、自学路径设计与实施过程

  模块一：分物游戏探新知——建构“有余数”概念

  *核心任务：通过动手操作，亲历“正好分完”和“分后有剩余”两种结果，体会引入余数的必要性。

  *活动一：摆小棒，初遇“剩余”

  *操作：请你准备13根小棒（或用牙签、吸管代替）。

  *任务1：把这13根小棒，每4根分成一份。动手分一分。

  *思考与记录：

  1.你能分出几份？（请用圆圈把你分出的每一份4根小棒圈起来。）

  2.分完后，你发现了什么？小棒有剩余吗？剩几根？

  3.能用以前学过的除法算式表示这个过程吗？为什么？

  *引导与预期：学生通过操作，能分出3份完整的（每份4根），最后剩下1根。他们发现无法用“13÷4=？”得到一个没有余数的整数商，从而产生认知冲突，意识到需要一种新的表达方式。

  *活动二：创符号，表达“剩余”

  *任务：数学家们用“……”来表示这种剩下的、不够再分一份的情况。请你试着写出刚才分13根小棒的算式。

  *规范：学习标准写法：13÷4=3……1。大声读出：“13除以4等于3余1”。

  *命名：认识新朋友：13叫（被除数），4叫（除数），3叫（商），1叫（余数）。在算式上标出它们的名字。

  *活动三：变一变，深化理解

  *操作：还是这13根小棒，换一种分法。

  *任务2：每3根分一份。任务3：每5根分一份。任务4：每6根分一份。

  *记录：每次操作后，请完成以下记录表（在纸上画出来）：

  “我有13根小棒，每（）根分一份，可以分（）份，还剩（）根。算式是：13÷（）=（）……（）。”

  *比较与发现：观察这几次分的结果和算式，你有什么发现？（引导学生初步感受除数变化，商和余数也变化；每次都有剩余，但剩余的数量不同；余数好像都比除数小……此时不要求归纳出规律，只作观察铺垫）。

  模块二：动手操作明算理——竖式计算从“具象”到“抽象”

  *核心任务：将分物的每一步动作，与竖式计算的每一步书写对应起来，理解竖式是记录分物过程的简捷数学语言。

  *活动一：分物过程“慢镜头”与竖式“翻译”

  *情境：还是分13根小棒，每4根一份。

  *第一步：准备（竖式：写下被除数13和除数4）。这表示“一共有13根，要按每4根一份来分”。

  *第二步：第一次分（竖式：试商与乘）。思考：最多能分几份？拿出3份，也就是3个4根，一共是12根（4×3=12）。在竖式里，就是把商3写在个位上，然后算出3×4=12，写在13下面。这个“12”代表我们已经分掉了12根。

  *第三步：检查剩余（竖式：减与比较）。从总共的13根里拿走分掉的12根，还剩几根？13-12=1（根）。在竖式里，就是做减法，得到余数1。关键一步：看着手里剩下的这1根，还能再分出一份（每份4根）吗？不能！因为1<4。在竖式里，也要比较余数1和除数4，确认1<4。整个分的过程结束。

  *动手连线：在纸上，将左边的分物动作描述与右边竖式的相应步骤用线连起来。

  *活动二：我是小老师——讲解竖式

  *任务：请你模仿老师，一边用学具分17个圆片（每5个一份），一边大声说出分的过程，并同步写出17÷5的竖式计算步骤。可以用手机录音或讲给家人听。

  *讲解要点：“一共有17个，每5个一份。我想，5和几相乘最接近17又不超过17呢？‘三五十五’，5×3=15，所以商3……分走了15个，还剩2个。2比5小，不能再分了。所以17÷5=3……2。”

  *活动三：错例诊断室

  *任务：下面是几位“小马虎”的竖式，请你当医生，诊断错误并改正。

  1.16÷3：商5，因为“三五十五”，15写在16下，16-15=1，余1。但原竖式商写成了6。

  2.25÷4：商6，4×6=24，25-24=1，余1。但原竖式余数写成了5，且没有比较。

  3.21÷5：竖式中商3，3×5=15，21-15=6，原式直接写等于3余6。

  *分析与改正：重点分析错误原因：是口诀不熟？是忘记乘减后的比较？还是不理解余数的意义？将正确竖式工整地写在旁边。

  模块三：归纳概括建模型——发现“余数<除数”的奥秘

  *核心任务：通过系统性地枚举、观察、推理，自主发现并牢固掌握有余数除法的核心法则。

  *活动一：除数是6的“秘密花园”

  *探究：如果除数是6，余数可能是哪些数？我们来玩一个“算式开花”游戏。

  *任务：以一些数除以6为例，尽可能多地列出有余数的算式，并记录下它们的余数。例如：7÷6=1……1，8÷6=1……2，9÷6=1……3，10÷6=1……4，11÷6=1……5，12÷6=2……0（提醒：这是正好分完，是特殊情况）。继续尝试13÷6,14÷6……

  *列表观察：把所有这些算式的余数单独列出来：1，2，3，4，5，0，1，2……

  *发现：余数总是在重复哪些数字？最大是几？比除数6小吗？

  *活动二：规律猜想与验证

  *猜想：根据除数是6的发现，请你猜一猜：在有余数的除法里，余数和除数有什么关系？

  *验证：换一个除数，比如除数是8。快速想一想（或写一写），当除数是8时，余数可能有哪些？最大是几？举几个例子验证你的猜想。（例如：25÷8=3……1，30÷8=3……6，33÷8=4……1，余数有1，6等，都小于8）。

  *结论：我发现，在有余数的除法里，（）一定比（）小。这就是“余数<除数”的规律。

  *活动三：深度追问“为什么？”

  *挑战：你知道这个规律为什么一定成立吗？请用“分东西”的过程来解释。

  *引导性推理：假设我们在分糖果，除数5表示“每份5颗”。如果分完后余数是6，意味着什么？——意味着剩下6颗。这6颗还能再分一份吗？（能，因为6>5，够每份5颗）。既然还能分，那刚才的“商”就不是最大的，分的过程没结束。所以，只有当剩下的糖果数比5小时（即0,1,2,3,4），才真的不能再分一份了，这时得到的“商”才是正确的，剩下的数才是真正的“余数”。

  *你的解释：请把你对这个规律的理解，用自己的话说出来，可以画图辅助说明。

  模块四：巩固算法与拓展探究——迈向熟练与灵活

  *核心任务：通过有层次、有情境的练习，巩固计算技能，并将知识应用于解决复杂的、开放的实际问题，发展高阶思维。

  *活动一：计算闯关营（分层练习）

  *第一关：基础夯实（要求：准确、规范）

  计算下列各题，并验算：27÷4，38÷5，49÷6，60÷7，22÷3。

  *第二关：速度提升（要求：熟练、快速）

  在（）里最大能填几？（这是试商的逆向思维训练）

  （）×5<28，（）×6<43，4×（）<30，7×（）<50。

  *第三关：火眼金睛（要求：辨析、判断）

  下面的计算对吗？把不对的改正过来。

  ①48÷5=8……8（）

  ②33÷7=4……5（）

  ③在算式÷6=7……中，余数最大是5。（）

  ④在算式÷=8……5中，除数最小是6。（）（此题较难，涉及除数与余数关系的反向运用）

  *活动二：生活中的数学

  *问题1（周期问题）：广场上按“红、黄、蓝、绿”的顺序悬挂彩旗。第27面彩旗是什么颜色？

  *策略引导：把4种颜色看成一组。27÷4=6（组）……3（面）。分完6组后，余3面，就是下一组的前3面：红、黄、蓝。所以第27面是蓝色。

  *举一反三：第40面呢？你还能编一个类似的周期问题吗？（如星期、生肖）。

  *问题2（优化决策）：二年级一班有38人参加周末研学。每辆面包车最多坐6人。如果都坐面包车，至少需要租几辆车？

  *分析与讨论：38÷6=6（辆）……2（人）。这2人也需要坐车，所以需要6+1=7（辆）。这就是“进一法”。

  *问题3（开放设计）：妈妈买了30颗糖果，让你分给家里的小朋友（可以假设有3-5个小朋友），要求每人分得的颗数相同，但可以有剩余。你可以设计几种不同的分法？每种分法各剩余几颗？哪种分法剩余最少？哪种分法最公平（如果可以的话）？

  *探究提示：这实际上是在找30除以哪些数（除数对应人数）会有余数。鼓励列表穷举或有序思考。

  *活动三：数学万花筒（跨学科/文化拓展）

  *链接传统文化：中国古代有一种计算方法叫“韩信点兵”，也叫“中国剩余定理”的雏形，里面就包含了有余数除法的巧妙运用。故事简介：韩信让士兵列队，每排3人，余2人；每排5人，余3人；每排7人，余2人。韩信很快算出了士兵的大概人数。这虽然复杂，但说明了余数在数学中的奥妙。你可以试着感受一下，这是一个寻找一个数，使它除以3余2，除以5余3，除以7余2。有兴趣可以和家长一起搜索这个故事。

  *编程思维启蒙：如果把分物的过程写成简单的步骤指令，就像给计算机下命令：1.输入总数和每份数；2.计算最多可以分出的完整份数（商）；3.计算分掉的总数（商×除数）；4.计算剩余数（总数-分掉的总数）；5.检查剩余数是否小于每份数，是则输出商和余数，否则回到第2步增加商的值。这就是算法的雏形。

  五、自我评量系统（附参考答案与解析要点）

  A卷：基础达标（时间：建议30分钟）

  1.填空。

  (1)在有余数的除法中，余数一定要比除数（）。

  (2)34÷8=4……2，读作（）。其中被除数是（），除数是（），商是（），余数是（）。

  (3)（）里最大能填几？

  （）×7<45，6×（）<33，60>9×（）。

  (4)一个数除以6，如果有余数，余数最大是（），最小是（）。

  2.用竖式计算。

  25÷7=，45÷6=，60÷8=，38÷4=。

  3.判断对错，对的画“√”，错的画“×”。

  (1)在32÷5=6……2中，5是除数，2是商。（）

  (2)25除以4，商是5，余数是5。（）

  (3)37颗糖，平均分给6个小朋友，每人分6颗，还剩1颗。（）

  (4)在算式÷=……6中，除数最小是7。（）

  4.解决问题。

  有52枝花，每个花瓶插8枝，最多可以插满几个花瓶？还剩几枝？

  B卷：能力提升（时间：建议25分钟）

  1.选择正确答案的序号填在（）里。

  (1)一道除数是6的有余数除法，余数可能是（）。

  A.7，8，9 B.0，1，2，3，4，5 C.1，2，3，4，5

  (2)用一堆小棒摆独立的五边形，如果有剩余，最多剩下（）根。

  A.4 B.5 C.6

  (3)王老师带50元去买书，每本《故事大王》7元。她最多能买（）本。

  A.6 B.7 C.8

  2.森林医生。（改正竖式中的错误）

  （此处设计两个有典型错误的竖式，如商的位置不对、余数比除数大但未调整商等）

  3.解决问题。

  (1)同学们乘坐“飞天”秋千游玩。每个秋千最多坐3人。全班29人，至少需要运行几次才能让所有人都玩一次？（一次同时运行所有秋千）

  (2)观察下面图形的排列规律：△○○□△○○□△○○□……第28个图形是什么？

  C卷：思维挑战（选做）

  1.在算式32÷=4……中，除数和余数可能是多少？你能找出所有可能的情况吗？

  2.有一袋糖果，总数在30~40颗之间。如果平均分给5个小朋友，还剩2颗；如果平均分给7个小朋友，也还剩2颗。这袋糖果可能有多少颗？

  3.（生活实践题）请你做一次家庭小调查：记录家里一周（7天）每天晚餐的人数（或消耗某样食物的数量，如苹果、牛奶）。计算这一周里，平均每天晚餐人数大约是几人？（结果可能有余数）你能用有余数除法来解释这个“大约”吗？

  自我评量参考答案与解析要点

  A卷

  1.(1)小；(2)34除以8等于4余2，34，8，4，2；(3)6，5，6；(4)5，1。

  2.竖式略。答案：25÷7=3……4，45÷6=7……3，60÷8=7……4，38÷4=9……2。（要点：书写规范，余数小于除数）

  3.(1)×（2是余数）；(2)×（25÷4=6……1）；(3)√（37÷6=6……1）；(4)√（除数最小=余数+1）。

  4.52÷8=6（个）……4（枝）。答：最多插满6个花瓶，还剩4枝。

  B卷

  1.(1)C；(2)A（摆五边形，除数是5，余数最大是4）；(3)B（50÷7=7……1，去尾法）。

  2.略。（根据具体错例给出改正）

  3.(1)29÷3=9（次）……2（人），9+1=10（次）。答：至少10次。（进一法）

  (2)每4个图形一组（△○○□）。28÷4=7（组），正好分完，所以第28个是□。

  C卷

  1.解析：由32÷除数=4……余数，可得除数×4+余数=32，且余数<除数。将余数从1开始尝试：余1，则除数×4=31，不行；余2，除数×4=30，除数=7.5，不行；余3，除数×4=29，不行；余4，除数×4=28，除数=7，成立（32÷7=4……4）；余5，除数×4=27，不行；余6，除数×4=26，除数=6.5，不行；余数不能等于或大于除数。所以只有一种可能：32÷7=4……4。

  2.解析：糖果数分给5人或7人都余2，说明糖果数减2后，既是5的倍数，又是7的倍数（即5和7的公倍数）。5和7的最小公倍数是35。在30~40之间，35+2=37。所以糖果有37颗。

  3.解析：此题为开放实践题。例如一周人数总和为32人，32÷7=4……4。平