简单的三角恒等变换-

简单的三角恒等变换第1页，共33页。第2页，共33页。基础梳理第3页，共33页。第4页，共33页。思考应用1．试应用半角公式讨论，下列各式中恒成立的是()，如不恒成立，请指出应补充的条件．第5页，共33页。二、和差化积与积化和差公式的推导由sin＝sinαcosβ＋cosαsinβ，sin＝sinαcosβ－cosαsinβ得sinαcosβ＝__________________，①cosαsinβ＝____________________，②第6页，共33页。由cos＝cosαcosβ－sinαsinβ，cos＝cosαcosβ＋sinαsinβ得cosαcosβ＝_________________，③sinαsinβ＝___________________，④上面的公式①②③④统称为积化和差公式．第7页，共33页。上面四个式子中，设α＋β＝θ，α－β＝，则有把α，β代入上面的式子得到：sinθ＋sin＝________________，⑤sinθ－sin＝________________，⑥cosθ＋cos＝_______________，⑦cosθ－cos＝_______________，⑧上面的公式⑤⑥⑦⑧统称为和差化积公式．第8页，共33页。思考应用2．形如y＝asinx＋bcosx的函数的如何进行变换？第9页，共33页。自测自评2．函数f(x)＝2cos2x＋sin2x的最小值是________．第10页，共33页。第11页，共33页。第12页，共33页。第13页，共33页。倍角公式的变形与应用第14页，共33页。第15页，共33页。点评：两种解法有异曲同工之妙，用半角公式来解题，尤其要注意角的取值范围对符号的影响．第二种解法实际也对符号进行了确定，只不过转移至sinα了．第16页，共33页。跟踪训练第17页，共33页。第18页，共33页。两角和与差公式的变形与应用已知锐角α，β满足条件cos2α－cos2β＝cos2(α－β)－，求α－β的值．分析：已知等式的左边是2α和2β的余弦函数差，右边是α－β的二倍角函数，要求α－β的值，考虑先求出α－β的某个三角函数值，把已知等式左边用和差化积公式，右边用二倍角公式化开，就会出现α－β的三角函数，然后再化简求值．第19页，共33页。第20页，共33页。点评：由已知条件求值类的题目我们一般先找出所求与已知的联系，再用适当的方法求解，此题中所求为α－β的值，故我们在已知等式左右两边想办法凑出与α－β有关的三角函数来．等式的左边要凑出与α－β有关的三角函数，很自然的应该想到和差化积公式，所以熟练运用公式是快速解题的关键．第21页，共33页。跟踪训练第22页，共33页。第23页，共33页。辅助角公式的应用第24页，共33页。第25页，共33页。跟踪训练3．已知函数f(x)＝(sinx－cosx)sinx，x∈R，则f(x)的最小正周期是__________．分析：求三角函数的周期，一般是先把函数式化为y＝Asin＋k的形式，再求周期．第26页，共33页。三角恒等变换的综合应用分析：先根据倍角公式“降幂”，化为一个角的三角函数形式．第27页，共