2026年浙江杭州学军中学高一数学期末统测试题（含答案解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页杭州学军中学2025学年第二学期高一数学期末统测模拟一、单选题1．已知集合，，则（）A． B． C． D．2．若复数满足，则的虚部为（

）A． B． C．1 D．3．已知m，n为空间中不重合的直线，为不重合的平面，下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则4．下列命题中，错误的是（）A．函数的最大值为B．“”是“”的充分不必要条件C．“是方程的一个实数根”的充要条件是“”D．设，，，，，都不为0，不等式的解集为M，不等式的解集为，则“”是“”的充要条件5．若平面向量，，满足，则的最大值是（

）A．2 B．3 C．4 D．56．已知，，则（

）A． B． C． D．7．已知函数（e为自然对数的底数），则（

）A．B．，当时，C．D．，当时，8．若函数的定义域内存在，使得成立，则称该函数为“完整函数”．已知是上的“完整函数”，则的取值范围为（

）A． B． C．[3，5] D．二、多选题9．已知在一次随机试验中，定义两个随机事件A和B，若，，则（）A．B．若A、B相互独立，则A和B至少有一个发生的概率为C．D．10．在平面直角坐标系中，角以坐标原点为顶点，以轴的非负半轴为始边，其终边经过点，定义函数，则（

）A．是函数的一条对称轴 B．函数是周期为的函数C． D．若，则11．已知正四面体的棱长为3，其外接球的球心为．点满足，过点作平面平行于AC和，设分别与该正四面体的棱，，相交于点，，，则（

）A．四边形的周长为定值 B．当时，四边形为正方形C．当时，截球所得截面的周长为 D．四棱锥的体积的最大值为三、填空题12．已知是方程的两个实根,，则______．13．已知函数，若不等式对任意实数恒成立，则a的取值范围为_______．14．若、、、均为正实数，则的最小值为______.四、解答题15．已知函数．(1)求的单调递增区间；(2)若函数的零点为，求．16．高一年级疫情期间举行全体学生的数学竞赛，成绩最高分为100分，随机抽取100名学生进行了数据分析，将他们的分数分成以下几组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到频率分布直方图，如图所示．

(1)试估计这次竞赛成绩的众数和平均数；(2)已知100名学生落在第二组的平均成绩是32，方差为7，落在第三组的平均成绩为50，方差为4，求两组学生成绩的总平均数和总方差；(3)已知年级在第二组和第五组两个小组按等比例分层抽样的方法，随机抽取4名学生进行座谈，之后从这4人中随机抽取2人作为学生代表，求这两名学生代表都来自第五组的概率．17．如图，点分别是矩形的边上的点，．(1)若，求的取值范围；(2)若是的中点，依次为边AB的2025等分点．求的值．18．如图，正方形ABCD中，边长为4，E为AB中点，F是边BC上的动点.将沿DE翻折到，沿EF翻折到，(1)求证：平面平面SFD；(2)当F是边BC的中点时，二面角的大小；(3)若，将沿DE翻折到，沿EF翻折到，连接DF，设直线SE与平面DEF所成角为，求的最大值.19．已知函数.(1)直接写出的解集；(2)若，其中，求的取值范围；(3)已知为正整数，求的最小值（用表示）.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．C【分析】先求出集合A,B，再根据补集和交集运算即可.【详解】或，，，.故选：C.2．C【分析】由复数的乘法运算及虚部概念即可求解；【详解】由，解得，所以．所以的虚部为1．故选：C．3．B【分析】结合特例判断A；根据面面平行的性质判断B；根据面面垂直的性质判断C；根据面面的位置的关系判断D.【详解】对于A，如下图，不一定平行，故A错误；对于B，根据面面平行的性质，由，则，故B正确；对于C，由，则或相交，故C错误；对于D，由，则或相交，故D错误.故选：B.4．D【分析】A选项：配凑出项，再结合基本不等式求出函数最值，B选项：解不等式并结合充分不必要条件的定义即可判定，C选项：由方程根的定义即即可判定，D选项：通过反例即可证伪.【详解】对于A，由题意得，因为，所以，则，因为，所以，因此，所以，当且仅当，即，时等号成立，故A正确，对于B，解得或，原命题等于判断条件和条件或的关系，显然成立但不成立，因此“”是“”的充分不必要条件，B正确，对于C，必要性验证:代入得，即，必要性成立，充分性验证:令，则，由得，说明当时恒成立，充分性成立，故C正确，对于D，不妨令，不等式①，解集为，不等式②，解集，此时，故D错误.5．B【分析】求解即可.【详解】，当与同向时取等号，故选：B6．D【分析】利用二倍角余弦公式得，则，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案.【详解】，因为，则，则，则.故选：D.7．D【分析】观察到分别为一次函数和指数函数，则数形结合，依次判定即可.【详解】由题，假设当时，，作出示意图如图所示：

则时，，当时，，则A选项错误；因为，，，故C选项错误，且，则结合图像可知，当时，恒成立，故B选项错误；对于D选项，时，由图可知，则D选项正确.故选：D.8．B【分析】根据三角恒等变换可知，再由三角函数值域以及“完整函数”定义将问题转化为在上至少存在两个最大值点，结合正弦函数图象性质得出不等式即可得解得的取值范围.【详解】由题意可得：，即是上的“完整函数”，所以存在，使得成立；即存在，使得成立；又因为，因此，即在上至少存在两个最大值点，所以，解得；当，即时，一定满足题意；若，因为，，所以，又易知；所以只需保证即可，解得，综上可知．故选：B．9．ABD【分析】由概率的性质与公式并结合独立事件的乘法公式依次验证选项即可.【详解】对于A，，故A正确，对于B，，，故B正确，对于C，，即，故C错误，对于D，，由C知，则，即，故D正确.10．BCD【分析】根据题意分别求出，，则，代入法判断A；由可判断B；利用换元法令可对C判断；化简，可判断D.【详解】由题意得在角的终边上，且，所以，，则，，所以不是函数的一条对称轴，A错误；，因为为周期为的函数，故B正确；，令，所以，当时，取到最大值为，所以，故C正确；因为，则，则，D正确.故选：BCD【点睛】关键点点睛：根据题意求出，，则.11．ABD【分析】求得四边形的周长判断选项A；依据正方形判定标准判断选项B；求得平面截球所得截面的周长判断选项C；求得四棱锥的体积的最大值判断选项D.【详解】平面，平面平面，平面平面则，，则又平面，平面平面，平面平面则，，则则四边形为平行四边形.由，可得，则，又正四面体的棱长为3，则，选项A：四边形的周长为.判断正确；选项B：当时，，，则平行四边形为菱形又正四面体中，对棱，则，则菱形为正方形.判断正确；分别取BD、BC、AC的中点M、N、Q，连接DN、CM、MQ，设DN、CM交于K，连接AK，则AK为正四面体的高正四面体的棱长为3，其外接球的球心为,则在AK上，连接CO，，设球半径为R，则，即，解之得由，可得同理有，则为异面直线之间的距离，则点到AC的距离为，球心到AC的距离为选项C：当时，设与交于T，则，T到AC的距离为球心到平面的距离为则平面截球所得截面半径为则平面截球所得截面的周长为.判断错误；选项D：由，可得点A到平面的距离为，又平行四边形为矩形，则四棱锥的体积令，则由得，由，得则在单调递增，在单调递减，在时取最大值，即的最大值为故四棱锥的体积的最大值为.判断正确.故选：ABD12．2【分析】首先由韦达定理得：，之后将代入方程，两式相加并利用已知的根的和即可求解.【详解】是方程的两个实根，，①，②，①式②式得：，即，也即，所以，得.13．【分析】判断函数的奇偶性以及单调性，由此将对任意实数恒成立，化为对任意实数恒成立，即对任意实数恒成立，再结合基本不等式，即可求得答案.【详解】由于，即恒成立，故的定义域为R，又，故为R上的奇函数；而在R上单调递增，故在R上单调递增，又不等式对任意实数恒成立，即对任意实数恒成立，即对任意实数恒成立，即对任意实数恒成立，而，当且仅当即时取等号，故，故答案为：【点睛】关键点睛：解答本题的关键是判断函数的奇偶性以及单调性，从而脱去不等式中的函数符号，转化为关于自变量的不等式，继而分离参数，即可求解.14．【分析】从最后两项开始，逐次使用基本不等式，可求得所求代数式的最小值.【详解】原式，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为，故答案为：.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.15．(1)(2)【分析】（1）由降幂公式和辅助角公式化简，结合整体法可求的单调递增区间；（2）由题意知，再通过“配角”并运用诱导公式求解即可.【详解】（1），令，解得，所以的单调递增区间为.（2）由（1）得，因为函数的零点为，所以.16．(1)众数：70；平均数：65(2)；(3)1【分析】（1）根据众数和平均数的计算方法计算即可（2）分别计算两组的人数，再根据平均数与方差的公式求解即可；（3）分别计算两组的人数，再根据古典概型的方法计算即可【详解】（1）由图可得，众数为，第一组，第二组，第三组，第四组，第五组所占的频率分别为，，，，，故平均数为（2）由图可得，第二组的人数为人，第三组的人数为，故.设第二组中10人的分数分别为，第三组中20人的分数分别为，则由题意可得，，即，，故（3）由题，第二组和第五组的人数比为，故在第二组和第五组分别抽1人和3人.记第二组中的1人为A，第五组中的3人分别为，则这4人中随机抽取2人作为学生代表，所有可能的情况有,,,,,共6种情况，其中这两名学生代表都来自第五组的有,,3种情况.设“从这4人中随机抽取2人作为学生代表，这两名学生代表都来自第五组”的事件为C，则17．(1)；(2).【分析】（1）利用向量的线性运算及数量积运算计算即得.（2）取AB的中点，利用中点向量公式求和即可得解.【详解】（1）在矩形中，，，即，所以.（2）取AB的中点，连接，由依次为边AB的2025等分点，，得，所以.18．(1)证明见解析(2)90°(3)【分析】（1）由已知，，可得平面，由面面垂直的判定定理可得证；（2）由已知可得，，可证平面平面，可求二面角的大小；（3）设在面上的射影为，连接，则为直线与平面所成角．设（），利用等体积法，由求得，从而得到的表达式，结合换元法及函数的单调性求出最大值．【详解】（1）因为四边形是正方形，为AB的中点，所以，，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）当是边的中点时，由（1）可知，，又∵，，由勾股定理得，故，∴，又∵，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面，故二面角的大小为90°；（3）设在平面上的射影为，连接，则为直线与平面所成角，设（），则，，在中，，，，