1.5　1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定-2026-2027学年高中必修一数学人教A版

1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定素养目标思维导图能正确地对含有一个量词的命题进行否定(逻辑推理).课前自主学习问题1.下面的命题是全称量词命题还是存在量词命题?你能写出它的否定吗?对任意一个实数x,都有3x+5≥0.提示:它是全称量词命题.命题否定为存在实数x,使得3x+5<0.问题2.下列各命题是全称量词命题还是存在量词命题?你能写出它们的否定吗?(1)有些实数的绝对值是正数.(2)某些平行四边形是菱形.(3)∃x∈R,x2+1<0.提示:它们都是存在量词命题.命题(1)的否定是“所有实数的绝对值都不是正数”,命题(2)的否定是“每一个平行四边形都不是菱形”,命题(3)的否定是“∀x∈R,x2+1≥0”.【核心概念】1.全称量词命题的否定(1)文字语言:全称量词命题的否定变成了______________,∀变为∃,在“全”“都”“等于”等前面加上“_____”.(2)符号语言:∀x∈M,p(x)的否定为:_____________.结论:___________________________________.存在量词命题

不

∃x∈M,¬p(x)

全称量词命题的否定是存在量词命题

2.存在量词命题的否定(1)文字语言:存在量词命题的否定变成了______________,∃变为∀,在“是”“等于”“含”等前面加上“_____”.(2)符号语言:∃x∈M,p(x)的否定为______________.结论:__________________________________.全称量词命题

不

∀x∈M,¬p(x)存在量词命题的否定是全称量词命题课堂合作探究探究点一

全称量词命题的否定【典例1】(1)已知命题p:∀x∈{x|2≤x≤3},使x2+2x+a≥0,则命题p的否定为

;若命题p为真命题,则实数a的取值范围为

.

(2)写出下列命题的否定并判断真假:①所有自然数的平方都是正数;②任何实数x都是方程5x-12=0的根;③∀x∈R,x2+3<0.【思维导引】(1)根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可得结果;命题p为真命题,等价于x2+2x+a的最小值大于或等于0,结合二次函数性质分析求解.(2)先找到量词与结论,对所给的命题进行否定,再判断真假.【解析】(1)因为命题p:∀x∈{x|2≤x≤3},使x2+2x+a≥0,且全称量词命题的否定是存在量词命题,所以命题p的否定为∃x∈{x|2≤x≤3},使x2+2x+a<0;若命题p为真命题,等价于x2+2x+a的最小值大于或等于0,因为函数y=x2+2x+a的图象开口向上,对称轴为直线x=-1,又x∈{x|2≤x≤3},可知当x=2时,函数y=x2+2x+a取得最小值8+a,可得8+a≥0,即a≥-8,所以实数a的取值范围为{a|a≥-8}.答案:∃x∈{x|2≤x≤3},使x2+2x+a<0{a|a≥-8}(2)①命题的否定:至少存在一个自然数的平方不是正数.真命题.②命题的否定:∃x∈R,5x-12≠0.真命题.③命题的否定:∃x∈R,x2+3≥0.真命题.【类题通法】全称量词命题否定的两个关键(1)看格式:写出全称量词命题的否定的关键是找出全称量词命题的全称量词和结论,把全称量词改为存在量词,结论变为否定的形式就得到命题的否定.(2)看含义:有些全称量词命题省略了量词,在这种情况下,千万不要直接将否定写成“是”或“不是”.【定向训练】1.写出下列命题的否定,并判断真假.(1)正方形都是菱形;(2)∀x∈R,有x+1=2x.【思维导引】(1)可根据正方形与菱形的关系判断真假;(2)举例说明x+1≠2x成立.【解析】(1)命题的否定:正方形不都是菱形,是假命题.(2)命题的否定:∃x∈R,使x+1≠2x.因为当x=2时,x+1=2+1=3≠2×2,所以“∃x∈R,使x+1≠2x”是真命题.【题后反思】要判断全称量词命题的错误,只需举特例就能说明.

【知识延拓】对省略量词的命题的否定对于一个含有量词的命题,容易知道它是全称量词命题或存在量词命题,可以直接写出其否定.而对省略量词的命题在写命题的否定时,应首先根据命题中所叙述的对象的特征,挖掘其隐含的量词,确定是全称量词命题还是存在量词命题,先写成全称量词命题或存在量词命题的形式,再对其进行否定.【定向训练】1.命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是(

)A.任意一个有理数,它的平方是有理数

B.任意一个无理数,它的平方不是有理数C.存在一个有理数,它的平方是有理数

D.存在一个无理数,它的平方不是有理数【解析】选B.根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可解答.“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是“任意一个无理数,它的平方不是有理数”.

3.命题“存在x>a,使得2x+a<3”是假命题,求实数a的取值构成的集合.【解析】命题“存在x>a,使得2x+a<3”是假命题,所以此命题的否定“任意x>a,使得2x+a≥3”是真命题,因为对任意x>a有2x+a≥3,所以3a≥3,解得a≥1.所以实数a的取值范围是{a|a≥1}.课堂学业达标1.已知命题p“∀a≥0,a4+a2≥0”,则命题¬p为(

)A.∀a≥0,a4+a2<0 B.∀a≥0,a4+a2≤0C.∃a≥0,a4+a2<0 D.∃a≥0,a4+a2≤0【解析】选C.由已知,命题p为全称量词命题,其否定需由存在量词命题来完成,并将其结论否定,即¬p:∃a≥0,a4+a2<0.2.命题“∀x∈R,x2≠x”的否定是(

)A.∀x∉R,x2≠x B.∀x∈R,x2=xC.∃x∉R,x2≠x D.∃x∈R,x2=x【解析】

选D.原命题的否定为∃x∈R,x2=x.√√3.“三个数a,b,c不都为0”的否定为(

)A.三个数a,b,c都不是0 B.三个数a,b,c至多有一个为0C.三个数a,b,c至少一个为0 D.三个数a,b,c都为0【解析】选D.因为“不都为”的否定是“都为”,所以“三个数a,b,c不都为0”的否定为“三个数a,b,c都为0”.4.命题“∃x∈R,使得f(x)=x