第06讲 平方根（解析版）

第06讲平方根一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.要点：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.2.平方根的定义如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.(≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.三、平方根的性质四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.例1．下列各数13，，0，，，，，，中有平方根的个数为（

）．A．2个 B．4个 C．5个 D．7个【答案】C【解析】【分析】由于负数没有平方根，所以只要所给数中的负数淘汰即可解决问题．解：∵13＞0，π＞0，0=0，-4＜0，（-3）2=9＞0，-32=-9＜0，-|-3|=-3＜0，-（-3）=3＞0，3.14-π＜0，∴有平方根的个数是13，π，0，（-3）2，-（-3），共5个．故选：C．【点睛】本题主要考查的是平方根的性质，掌握平方根的性质是解题的关键．例2．下列说法正确的是（

）．A．4是的算术平方根 B．0的算术平方根是0C．是算术平方根 D．的算术平方根是【答案】B【解析】【分析】根据平方根和算术平方根的定义，逐一判断选项，即可．A.4是16的算术平方根，故原选项错误；B.0的算术平方根是0，故原选项正确；C.2是算术平方根，故原选项错误；D.没有算术平方根，故原选项错误，故选B．【点睛】本题主要考查算术平方根以及平方根的定义和性质，掌握负数没有平方根，零的平方根是零，正数有两个平方根，是解题的关键．例3．的算术平方根是（

）．A．2 B．4 C． D．【答案】A【解析】【分析】由于，即求4的算术平方根，这很容易结果．∵∴即的算术平方根是2故选：A【点睛】本题考查求一个正数的算术平方根，掌握算术平方根的定义是关键，这里还要仔细审题，以免出现选B的错误．例4．下列说法错误的是（

）．A．4是16的算术平方根 B．是的一个平方根C．0的平方根与算术平方根都是0 D．的平方根是【答案】D【解析】【分析】根据算术平方根、平方根的定义判断即可．解：A、16的算式平方根，，故该选项的说法正确；B、的平方根是，则是的一个平方根，故该选项的说法正确；C、0的平方根与算术平方根都是0，故该选项的说法正确；D、的平方根是，故该选项的说法错误；故选：D．【点睛】此题考查算术平方根、平方根的问题，关键是根据算术平方根、平方根的定义分析．例5．下列说法中，不正确的是（

）．A．没有平方根 B．1的平方根是1 C．是2的平方根 D．的平方是2【答案】B【解析】【分析】按照平方根、平方的定义对各项进行判断．A项：-1的平方根是虚数，但不能说没有平方根，故A正确，不符题意；B项：1的平方根是±1，而不是1，故B错误，符合题意；C项：是2的平方根中的一种情况，故C正确，不符题意；D项：的平方是2，故D正确，不符题意．故选B【点睛】本题考查平方根、平方的计算运用，掌握他们是本题解题关键．例6．当时，的平方根是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】当时，的平方根记为：根据概念可得答案.解：时，＞所以的平方根是故选：【点睛】本题考查的是非负数的平方根的表示，掌握非负数的平方根的表示是解题的关键.例7．下列计算正确的有（

）个．①；②；③；④；⑤A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】根据一个非负数a的平方等于b，那么a就叫做b的算术平方根进行求解即可．解：∵①，故①错误；②，故②正确；③，故③正确；④，故④错误；⑤没有意义，故⑤错误；故选B．【点睛】本题主要考查了算术平方根，有理数的乘方，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则．例8．求下列等式中的x；（1）若，则______；（2）若，则______；（3）若，则______；（4）若，则______．【答案】

【解析】【分析】（1）根据平方根的定义，由，可得的值；（2）根据平方根的定义，由，可得的值；（3）根据平方根的定义，由=25，可得的值；（4）根据平方根的定义，由，可得的值．（1）∵∴故答案为：（2）∵∴故答案为：（3）∵∴故答案为：（4）∵∴故答案为：【点睛】考核知识点：平方根．理解平方根的定义是关键．例9．一个自然数的算术平方根是a，则与这个自然数相邻的下一个自然数的平方根是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】先用a表示该自然数，然后再求出这个自然数相邻的下一个自然数的平方根解：由题意可知：该自然数为a2，∴该自然数相邻的下一个数为a2+1，∴a2+1的平方根为：，故选：D．【点睛】本题考查算术平方根，解题的关键是求出该自然数的表达式，本题属于基础题型．例10．以下正方形的边长是无理数的是（）A．面积为9的正方形 B．面积为49的正方形C．面积为1.69的正方形 D．面积为8的正方形【答案】D【解析】理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．解：A、面积为9的正方形的边长为3，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；B、面积为49的正方形的边长为7，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；C、面积为1.69的正方形的边长为1.3，是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；D、面积为8的正方形的边长为，是无理数，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了无理数．解题的关键是掌握无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．例11．已知，，且，则的值为（）A．3或﹣3 B．9或3 C．15或3 D．9或﹣9【答案】A【解析】先求出x与y的值，由，x、y异号，分两种情况计算即可．∵，∴x=±6，∵，∴y=±3，∵且，∴x、y异号，当x=6时，y=-3，此时x+y=6-3=3，当x=-6时，y=3，此时x+y=-6+3=-3，∴x+y的值为3或-3，故选择：A．【点睛】本题考查代数式的值问题，关键掌握绝对值的性质，和平方根的计算，根据确定x与y值是解题关键．例12．已知≈4.858，≈1.536，则﹣≈（）A．﹣485.8 B．﹣48.58 C．﹣153.6 D．﹣1536【答案】A【解析】根据平方根小数点的移动规律解答．解：236000是由23.6小数点向右移动4位得到，则﹣＝﹣485.8；故选：A．【点睛】此题考查了平方根小数点的移动规律：当被开方数的小数点向右每移动两位，则平方根的小数点向右移动一位；当被开方数的小数点向左每移动两位，则平方根的小数点向左移动一位．例13．若a=﹣+6，则ab的算术平方根是（）A．2 B． C．± D．4【答案】B【解析】试题解析：∵∴∴1−3b=0，∴∴a=6，∴ab的算术平方根是故选B.一、单选题1．下列说法错误的是（

）A．0.4的算术平方根是0.02 B．是16的一个平方根C．5是的算术平方根 D．的算术平方根是【答案】A【解析】【分析】原式各项利用平方根、算术平方根定义判断即可．解：A、∵，∴0.4的算术平方根不是0.02，故选项A符合题意；B、-4是16的一个平方根，正确，不符合题意；C、5是的算术平方根，正确，不符合题意；D、的算术平方根是，正确，不符合题意．故选：A．【点睛】此题考查了算术平方根，平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．下列化简结果正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根据负的平方根、算术平方根和平方根的定义逐一判断即可．解：A．，故本选项符合题意；B．，故本选项不符合题意；C．，故本选项不符合题意；D．，故本选项不符合题意．故选A．【点睛】此题考查的是平方根的相关概念，掌握负的平方根、算术平方根和平方根的定义是解题关键．3．已知，则下列说法正确的是（

）A．81是9的平方根 B．81的平方根是9C．81的平方根是 D．是81的平方根【答案】D【解析】【分析】根据平方和平方根的定义，即可判定．解：A、81是9的平方，原说法错误，该选项不符合题意；B、81的平方根是9，原说法错误，该选项不符合题意；C、81的平方根是9，原说法错误，该选项不符合题意；D、是81的平方根，说法正确，该选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了平方、平方根的定义，掌握平方、平方根的定义以及性质是解题的关键．4．某数x的两个不同的平方根是与，则x的值是（

）A．11 B．121 C．4 D．【答案】B【解析】【分析】利用正数的平方根有两个，它们是互为相反数，列出方程，解方程求出,再求某数即可．某数x的两个不同的平方根是与，列方程得：+=0，合并得：，解得：，当时，，则．故选择：B．【点睛】本题考查正数的平方根问题，掌握数的平方根的性质，会用正数两个平方根构造方程是解题关键．5．下列说法正确的是()A．只有正数才有平方根B．负数没有平方根C．1的平方根是它本身D．－9的平方根是±3【答案】B【解析】【分析】根据平方根的定义即可求解．A.非负数有平方根，故此选项错误；B.负数没有平方根，正确；C.1的平方根是±1，故此选项错误；D.－9没有平方根，故此选项错误；故选B．【点睛】此题主要考查平方根，解题的关键是熟知平方根的定义．6．若x，y为实数，且，则的值为（

）A．-3 B．3 C．1 D．-1【答案】D【解析】【分析】根据绝对值和算数平方根的非负性求出x，y的值，然后代入计算即可．解：∵且∴∴x=-3，y=3∴故选：D．【点睛】本题考查绝对值及算数平方根的非负性，正确掌握相关概念准确计算是解题关键．7．的算术平方根是（

）A． B．4 C． D．2【答案】D【解析】【分析】首先求出的值是多少；然后根据算术平方根的含义和求法，求出的算术平方根是多少即可．解：∵=4，∴的算术平方根是：=2，故选：D．【点睛】此题主要考查了算术平方根的性质和应用，解答此题的关键是要明确：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．8．当的值为最小值时，a的取值为（

）A． B．0 C． D．1【答案】C【解析】【分析】根据算术平方根的非负性求解即可．解：∵≥0，∴当4a+1=0时，取得最小值，此时a=，故选：C．【点睛】本题考查算术平方根的非负性、解一元一次方程，会利用算术平方根的非负性求最值是解答的关键．9．若≈2.3903，≈7.5587，则571.34的平方根约为（）A．239.03 B．±75.587 C．23.903 D．±23.903【答案】D【解析】【分析】根据被开方数小数点向右移动两位，其算术平方根向右移动一位及平方根的定义求解即可．解：∵≈2.3903，∴±≈±23.903，故选：D．【点睛】本题主要考查算术平方根与平方根，解题的关键是掌握被开方数小数点向右移动两位，其算术平方根向右移动一位和平方根的定义．10．已知，，且，则的值为（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【解析】【分析】先根据，，且求出a和b的值，然后代入a-b计算即可．解：∵，，∴a=±5，b=±3，∵，∴a=5，b=3，或a=-5，b=-3，∴a-b=5-3=2，或a-b=-5-(-3)=-2，故选D．【点睛】本题考查了绝对值的定义，算术平方根的定义，以及有理数的减法，正确求出a和b的值是解答本题的关键．二、填空题11．的平方根是_________．【答案】±【解析】【分析】根据平方根的概念进行解答即可．解：2=，的平方根为±．故答案为±．【点睛】本题考查了平方根的定义，能知道a（a≥0）的平方根是±是解此题的关键，注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．12．求下列等式中的x；（1）若，则______；（2）若，则______；（3）若，则______；（4）若，则______．【答案】

【解析】【分析】（1）根据平方根的定义，由，可得的值；（2）根据平方根的定义，由，可得的值；（3）根据平方根的定义，由=25，可得的值；（4）根据平方根的定义，由，可得的值．（1）∵∴故答案为：（2）∵∴故答案为：（3）∵∴故答案为：（4）∵∴故答案为：【点睛】考核知识点：平方根．理解平方根的定义是关键．13．______；______；______；______；______；______；______．【答案】

8

8

0【解析】【分析】利用算术平方根的定义求解即可．解：8；8；-8；；-0.13；；-2+2=0．故答案为：8；8；-8；；-0.13；；0．【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题关键．注意：=|a|．14．的平方根是____.【答案】±【解析】【分析】首先计算的值为，再计算的平方根即可得解.∵=，=±，∴的平方根是±.故答案为±.【点睛】本题考查了正数的算术平方根以及平方根的相关知识，在计算时不应忽略=.15．如果一个正数的两个不同平方根分别是和，则______．【答案】36【解析】【分析】根据平方根的定义，两不同平方根互为相反数，列式求解即可解：由题意可得，即，解得，，故答案为：36【点睛】本题主要考查了平方根的定义，利用正数的平方根有两个且互为相反数列出正确的关系式是解决本题的关键．16．一个正方形的面积是49㎝2，则它的边长是：________㎝．【答案】7【解析】【分析】设正方形的边长为，根据正方形的面积公式求出的值即可．解：设正方形的边长为，∵正方形的面积是，∴，解得（负值不合题意，舍去），故答案为：7．【点睛】本题考查算术平方根的知识，难度不大，熟知正方形的面积公式是解答此题的关键．17．已知，则_______，_______．【答案】

367.4

0.1162【解析】【分析】根据，，从而可得答案.解：，故答案为：【点睛】本题考查的是算术平方根的含义，熟练求解一个数的算术平方根是解题的关键.18．用计算器探索：________；________；________；……由此猜想________.【答案】22；333；4444；7777777.【解析】【分析】首先用计算器计算前几个算术平方根的值，然后根据它们的值探究规律．解：∵22；333；4444；∴由此猜想：7777777.故答案为22；333；4444；7777777.【点睛】此题主要考查了利用计算器计算数的开方，解题首.先探究出前几个算术平方根值的规律，是完成猜想的关键，然后利用规律即可解决问题.三、解答题19．求满足条件的x值：（1）

（2）【答案】（1），；（2），．【解析】【分析】（1）方程两边同除以3，再运用直接开平方法求解即可；（2）方程移项后，再运用直接开平方法求解即可．解：（1）解得，，；（2）∴∴，．【点睛】本题考查了平方根的应用，解决本题的关键是熟记平方根的定义．20．求下列各数的算术平方根：（1）625；（2）11；（3）；（4）；（5）；（6）0．【答案】（1）25；（2）；（3）4；（4）3；（5）9；（6）0．【解析】【分析】（1）根据一个非负数a的平方等于b，那么a就叫做b的算术平方根进行求解即可；（2）根据一个非负数a的平方等于b，那么a就叫做b的算术平方根进行求解即可；（3）先求出，然后根据16的算术平方根为4，进行求解即可；（4）先算出，然后根据，9的算术平方根是3，进行求解即可；（5）先求出，然后根据81的算术平方根是9，进行求解即可；（6）0的算术平方根是0．解：（1）∵，∴625的算术平方根为25；（2）∵，∴11的算术平方根为；（3）∵，16的算术平方根为4，∴的算术平方根为4；（4），9的算术平方根是3，∴的算术平方根是3；（5），81的算术平方根是9，∴的算术平方根是9；（6）0的算术平方根是0．【点睛】本题主要考查了有理数的乘方和算术平方根，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．21．若，求的值.【答案】.【解析】【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b、c的值，代入求a-b+c的值．解：因为，，，且，所以，，，即，，.所以.【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．22．（1）一个正数x的平方根分别是2a3与5a，求a的值；（2）一个正数的平方根是与，求的值．【答案】（1）－2；（2）【解析】【分析】（1）根据平方根的概念列式子计算即可；（2）根据平方根的概念列式子计算即可．（1）一个正数x的平方根分别是2a3与5a；（2）一个正数的平方根是与，．【点睛】本题考查了平方根，熟练掌握概念是解题的关键．23．已知．（1）已知的算术平方根为3，求a的值；（2）如果都是同一个数的平方根，求这个数．【答案】（1）a=-8；（2）1或9．【解析】【分析】（1）根据平方运算，可得（1-a）的值，求解可得答案；（2）根据题意可知相等或互为相反数，列式求解可得a的值，根据平方运算，可得答案．解：（1）∵x的算术平方根是3，∴1-a=9，∴a=-8；（2）x，y都是同一个数的平方根，∴1-a=2a-5或1-a+（2a-5）=0，解得a=2，或a=4，当a=2时，（1-a）=（1-2）2=1，当a=4时，（1-a）=（1-4）2=9，答：这个数是1或9．【点睛】本题考查了平方根和算术平方根，注意第（2）问符合条件的答案有两个，小心漏解．24．已知的算术平方根是3，的平方根是±4，是的10倍，求的平方根．【答案】．【解析】【分析】先依据算术平方根和平方根的定义列出关于a，b的方程组，求得a，b的值，然后求得c的值，接下来求得的值，最后求它的算术平方即可．解：由题意得，∴a=5，b=2，∵，0.3×10=3，∴c=3，∴，∴的平方根是．【点睛】可不是主要考查了算术平方根和平方根的定义，熟练掌握相关定义和方法是解答此题的关键．25．某包装公司为厂家制作一批体积为的产品包装盒，厂家要求盒高为，底面为正方形，则底面边长为多少？【答案】包装盒底面边长为．【解析】【分析】设包装盒底面边长为，根据体积公式求出正方形底面，求算术平方根即可．解：设包装盒底面边长为，依题意，得，解得或，依题意知，∴不合题意，舍去．∴，答：包装盒底面边长为．【点睛】本题考查了平方根的实际应用，根据题意求出底面积是解本题的关键．26．某中学计划在学校广场的中心位置建造一个面积为平方米的圆形花坛，为使圆形花坛建造的更加精致美观，设计师把圆周率的值取为．（1）此圆形花坛的半径长为；（2）圆周率日（3月14日）是国际上一个重要的数学节日．圆周率在我国又称“祖率”，在这里的“祖”是指我国古代哪一位数学家？【答案】（1）5米；（2）祖冲之．【解析】【分析】（1）根据圆的面积公式即可得；（2）根据历史知识即可得．（1）由圆的面积公式得：此圆形花坛的半径长为（米），故答案为：5米；（2）南北朝时，祖冲之算出的圆周率的近似值为和之间，他首创上下限的提法，将圆周率规定在这个界限间，因此，圆周率在我国又称“祖率”，则在这里的“祖”是指我国古代数学家祖冲之．【点睛】本题考查了圆的面积公式、算术平方根等知识点，熟记圆的面积公式是解题关键．27．如图，一根细线上端固定，下端系一个小重物，让这个小重物来回自由摆动，来回摆动一次所用的时间（单位：）与细线的长度（单位：）之间满足关系，当细线的长度为时，小重物来回摆动一次所用的时间是多少（结果保留小数点后一位）？（参考数据：，）【答案】小重物来回摆动一次所用的时向约为【解析】【分析】直接把l=0.5m代入关系式即可求出t的值．由题可知，，细线长度为，即，则小重物来回摆动一次所用的时间为；答：小重物来回摆动一次所用的时向约为．【点睛】此题考查算术平方根，解题关键在于掌握运算法则．28．求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得，还可以通过一组数