第10讲 二次根式的概念及其化简（解析版）

第10讲二次根式的概念及其化简一、二次根式及代数式的概念1.二次根式：一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．要点：二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.2.代数式：形如5，a，a+b，ab，，x3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.二、二次根式的性质1.≥0，（≥0）；2.（≥0）；3..要点：1.二次根式(a≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，即.2.与要注意区别与联系：1).的取值范围不同，中≥0，中为任意值。2).≥0时，==；<0时，无意义，=.三、最简二次根式（1）被开方数不含有分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.要点：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：（1)被开方数是分数或分式；（2）含有能开方的因数或因式.例1．下列各式中，，一定是二次根式的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【解析】【分析】根据二次根式定义：一般地，我们把形如(ａ≥0)的式子叫做二次根式，逐一进行分析判断即可．，-符合二次根式的定义；不符合二次根式的定义；被开方数-7<0，不符合二次根式的定义；无论x取何值，x≥0，所以是二次根式．综上所述，一定是二次根式的有3个．故选：B．【点睛】此题主要考查了二次根式定义，关键是掌握二次根式的被开方数为非负数，二次根式的指数为2．例2．的值等于（

）A．21 B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据二次根式的性质：，求解即可．解：，故选：A．【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟知二次根式的基本性质是解题的关键．例3．下列二次根式中，能与合并的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】分别化简二次根式，根据同类二次根式的定义判断．解：A.=，故该项不符合题意；B.=，故该项不符合题意；C.=，故该项符合题意；D.=2，故该项不符合题意；故选：C．【点睛】此题考查了判断同类二次根式，正确掌握二次根式的性质进行化简是解题的关键．例4．下列各式一定有意义的共有（

）个．①；②；③；④；⑤；⑥．A．0 B．2 C．4 D．6【答案】C【解析】【分析】根据二次根式有意义，被开方数非负数对各选项分析判断利用排除法求解．解：①3＞0，故一定有意义；②-3＜0，故无意义；③＞0，故一定有意义；④＞0，故一定有意义；⑤不一定大于等于0，故不一定有意义；⑥＞0，故一定有意义．故选：C．【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．例5．有下列各式①；②；③；④；⑤；⑥．其中最简二次根式有（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，把满足这两个条件的二次根式叫做最简二次根式；按照最简二次根式的概念进行判断即可．①、⑤符合最简二次根式的定义，故符合题意；②、③；④、⑥中的被开方数含分母或被开方数含能开得尽方的因数或因式，不是最简二次根式．故选：B．【点睛】本题考查了最简二次根式的识别，理解最简二次根式的概念是本题的关键．例6．若最简二次根式与最简二次根式的被开方数相同，则m的值为（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【解析】【分析】根据最简二次根式的被开方数相同，列方程求解即可．解：根据题意得：3m﹣6＝4m﹣9，∴﹣m＝﹣3，∴m＝3，故选：D．【点睛】此题考查了二次根式的性质，解题的关键是根据题意正确列出方程．例7．若，则实数a的取值范围是(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】原式利用二次根式性质，以及绝对值的代数意义判断即可确定出a的范围．解：∵二次根式具有非负性，即，∴，解得．故选：B.【点睛】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．例8．若|x2﹣4x+4|与互为相反数，则x+y的值为（）A．3 B．4 C．6 D．9【答案】A【解析】根据题意得:|x2–4x+4|+=0，所以|x2–4x+4|=0，=0，即（x–2）2=0，2x–y–3=0，所以x=2，y=1，所以x+y=3．故选A．例9．当x_____时，有意义；当x_______时，有意义．【答案】

【解析】【分析】二次根式有意义：被开方数为非负数；分式有意义：分母不为零；根据分式与二次根式有意义列不等式，再解不等式从而可得答案.解：由有意义，可得：＞＜由有意义，可得：＞＞故答案为：＜＞【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握被开方数为非负数与分母不为零是解题的关键.例10．的值等于________．【答案】【解析】【分析】根据二次根式的性质解答即可．解：∵，∴，∴．故填．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，灵活运用二次根式的性质成为解答本题的关键．例11．若a＜1，化简＝___．【答案】﹣a【解析】【分析】根据a的范围，a﹣1＜0，化简二次根式即可．解：∵a＜1，∴a﹣1＜0，＝|a﹣1|﹣1＝﹣（a﹣1）﹣1＝﹣a＋1﹣1＝﹣a．故答案为：﹣a．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，对于的化简，应先将其转化为绝对值形式，再去绝对值符号，即．例12．若，则________．【答案】7【解析】【分析】根据二次根式的非负性得到x-3≥0且3-x≥0，可得x值，从而可得y值，代入计算即可．解：∵，∴x-3≥0且3-x≥0，∴x=3，∴y=4，∴x+y=7，故答案为：7．【点睛】本题考查了二次根式的非负性，掌握二次根式被开方数大于或等于0是解题的关键．一、单选题1．下列式子一定是二次根式的是(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，据此解题．解：，当时，二次根式无意义，故A不正确；，当时，二次根式无意义，故B不正确；，当时，二次根式无意义，故C不正确；，恒成立，则一定是二次根式，故D正确，故选：D．【点睛】本题考查二次根式的定义，涉及二次根式有意义的条件，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．2．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是(

)A． B． C．且 D．且【答案】A【解析】【分析】根据分式的分母不为零、二次根式的被开方数是非负数列出关于的不等式组，然后求得的取值范围．解：根据题意，得解之得：，故选：A．【点睛】本题综合考查了分式有意义的条件、二次根式有意义的条件，解答该题时，需要注意分式的分母不为零这一条件．3．下列计算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据算术平方根、平方根的定义分别判断．解：A、，故错误；B、，故错误；C、，故正确；D、，故错误；故选：C．【点睛】本题考查了算术平方根、平方根，解题的关键是掌握各自的定义．4．下列二次根式中，能与合并的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据同类二次根式的定义化简即可；，故A错误；，故B正确；不能再化简，故C错误；，故D错误；故选：B．【点睛】本题主要考查了同类二次根式的判断，准确分析计算是解题的关键．5．实数在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（）A．7 B．-7 C． D．无法确定【答案】A【解析】【分析】由数轴可得5＜a＜10，然后确定a-4和a-11的正负，最后根据二次根式的性质化简计算即可．解：由数轴可得5＜a＜10∴a-4＞0，a-11＜0∴=a-4-（a-11）=7．故选A．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，掌握并灵活应用是解答本题的关键．6．在二次根式、、、、中，是最简二次根式的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】【分析】根据最简二次根式的定义：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断即可．解：=4，不是最简二次根式；中被开方数为小数，不是最简二次根式；是最简二次根式；是最简二次根式；==，不是最简二次根式．综上：有两个最简二次根式故选B．【点睛】此题考查的是最简二次根式的判断，掌握最简二次根式的定义是解决此题的关键．7．如果，那么（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据二次根式的非负性，构造不等式求解即可.∵是二次根式，∴≥0，∴≥0，解得，故选D.【点睛】本题考查了二次根式的非负性，熟练将二次根式的非负性转化成对应的不等式是解题的关键.8．已知且，化简二次根式的正确结果是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】首先根据二次根式有意义的条件确定ab的符号，然后根据a＜b来确定a、b各自的符号，再去根式化简．解：由题意：-a3b≥0，即ab≤0，∵a＜b，∴a＜0，b≥0，所以原式==，故选：D．【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，解决此题的关键是根据已知条件确定出a、b的符号，以确保二次根式的双重非负性．9．化简二次根式的结果是（

）A． B．－ C． D．－【答案】B【解析】【分析】首先根据二次根式有意义的条件求得a、b的取值范围，然后再利用二次根式的性质进行化简即可故选B【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的取值范围．本题需要重点注意字母和式子的符号．10．设为正整数，，，，，…，….，已知，则(

).A．1806 B．2005 C．3612 D．4011【答案】A【解析】【分析】利用多项式的乘法把各数开方进行计算，然后求出A1，A2，A3的值，从而找出规律并写出规律表达式，再把k=100代入进行计算即可求解.∵(n+3)(n-1)+4=n2+2n-3+4=n2+2n+1=(n+1)2，∴A1=∵(n+5)A1+4=(n+5)(n+1)+4=n2+6n+5+4=n2+6n+9=(n+3)2，∴A2=∵(n+7)A2+4=(n+7)(n+3)+4=n2+10n+21+4=n2+10n+25=(n+5)2，∴A3=⋯⋯依此类推，Ak=n+(2k-1)∴A100=n+(2×100-1)=2005解得，n=1806.故选A.【点睛】本题是对数字变化规律的考查，对被开方数整理，求出A1，A2，A3，从而找出规律写出规律的表达式是解题的关键.二、填空题11．已知为自然数，代数式有意义时，可取__________（只需填满足条件的一个自然数）．【答案】1（答案不唯一）【解析】【分析】根据分式的分母不能为0、二次根式的定义即可得．解：由题意得：，解得，为自然数，可取1，故答案为：1（答案不唯一）．【点睛】本题考查了分式的分母不能为0、二次根式，熟练掌握分式和二次根式有意义的条件是解题关键．12．化简：=__________．【答案】【解析】【分析】根据进行计算即可．解：原式．故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和化简，关键是掌握二次根式的性质．13．已知y＝1＋＋，则2x＋3y的算术平方根为_____．【答案】2【解析】【分析】根据二次根式的非负性求出，代入计算得到，再根据算术平方根的定义解答．解：∵，∴，∴，∴，∴2x＋3y的算术平方根为2，故答案为：2．【点睛】此题考查二次根式的非负性，算术平方根的定义，正确掌握二次根式的性质是解题的关键．14．化简：______【答案】-1【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件，求出的范围，再根据二次根式的性质和绝对值的性质化简，即可得到答案．由可知，，，故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式化简求值，正确掌握二次根式有意义的条件，二次根式的性质，绝对值的性质是解题关键．15．当时，化简：_______；_______；_______．【答案】

【解析】【分析】根据二次根式的性质进行化简．根据二次根式的意义，可知中的，则，又∵，∴原式=；根据二次根式的意义和，可知中的，则，又∵，∴原式=；根据二次根式的意义和，可知中的，则，又∵，∴原式=．故答案是：；；．【点睛】本题考查二次根式的化简，需要注意化简的时候要考虑字母的取值范围，注意符号的变化．16．已知最简二次根式与可以合并，则的值为_________.【答案】2【解析】【分析】两个最简二次根式能够合并，则说明二者是同类二次根式，所以其被开方数、根指数相同，依此建立方程组求解，再进一步代入求值即可由题意得：，；解得，；所以所以答案为2【点睛】本题考查了同类二次根式的性质，熟练掌握其概念是解题关键17．把根号外的因式移入根号内，得________【答案】【解析】【分析】根据被开方数大于等于零，可得出，再根据二次根式的性质进行计算即可．解：∵，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查的知识点是二次根式的性质与化简，掌握二次根式的基本性质是解此题的关键．18．定义：对于非负实数x“四舍五入”到个位的值为＜x＞，即：当n为非负整数时，若，则＜x＞＝n，如：＜0＞＝＜0.2＞＝0，＜0.68＞＝＜1.48＞＝1，…，那么++…+＝_____．【答案】【解析】【分析】直接按定义化简式子，再利用裂项法可解．解：由题意可得：…+＝＝＝＝．故答案为：．【点睛】本题考查了新定义类习题和裂项法等知识点，新定义类习题需要按照定义来分析对照题目中的数据，套用所给的公式化简计算即可．三、解答题19．当字母取什么值时，下列各式有意义？（1）（2）（3）（4）（5）（6）【答案】（1）；（2）x取任意实数；（3）且；（4）；（5）x取任意实数；（6）【解析】【分析】（1）根据二次根式的被开方数非负可得关于x的不等式，解不等式即得结果；（2）根据非负数的性质可得结果；（3）根据二次根式的被开方数非负和分式的分母不为0可得关于x的不等式组，解不等式组即得结果；（4）根据二次根式的被开方数非负可得关于x的不等式组，解不等式组即得结果；（5）根据完全平方式的性质即得结果；（6）根据二次根式的被开方数非负可得关于x的不等式组，解不等式组即得结果．解：（1）由，解得，∴当时，有意义；（2），，∴当x取任意实数时，有意义；（3）由题意可得，解得，即且，∴当且时，有意义；（4）根据题意，得：，解得，∴当时，有意义；（5）∵不论x取任意实数，，∴当x取任意实数时有意义；（6）由，，可得，∴当时，意义．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件和一元一次不等式组的解法，属于基础题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．20．计算：（1）（2）（3）（4）【答案】（1）2；（2）11；（3）；（4）0【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质直接计算即可；（2）根据算术平方根的定义计算；（3）根据二次根式的性质直接计算即可；（4）根据二次根式的性质分别计算每一项，再合并即可．解：（1）；（2）；（3）原式；（4）原式．【点睛】本题考查了二次根式的性质和算术平方根的定义，属于应知应会题型，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．21．把下列各式化成最简二次根式：；

；；

；；

．【答案】；；；；；．【解析】【分析】（1）先将带分数化为分数再开方．（2）直接开方再分母有理化；（3）直接开方即可．（4）将小数化为分数后再开方．（5）通分后再开方．（6）通分后再开方，然后再分母有理化．解：（1）原式==；（2）原式=x2=x；（3）原式==；（4）原式==ab；（5）原式==；（6）原式==．【点睛】本题考查了二次根式的化简，难度不大，注意要耐心运算，否则很容易出错．22．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简．【答案】【解析】【分析】先根据数轴的性质可得，从而可得，再根据二次根式的性质化简即可得．解：由数轴可知，，则，所以．【点睛】本题考查了数轴和二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．23．是二次根式的一条重要性质，请利用该性质解答以下问题：(1)化简：___________，__________；(2)若，则x的取值范围为_____________；(3)已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简．【答案】(1)2，(2)(3)【解析】【分析】（1）直接利用求解；（2）由可得，解不等式即可；（3）利用数轴判断a，，与0的关系，化简后进行加减运算即可．(1)解：，，故答案为：2，；(2)解：∵，∴，∴，故答案为：；(3)解