第10讲 二次根式的概念及其化简（原卷版）

第10讲二次根式的概念及其化简一、二次根式及代数式的概念1.二次根式：一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．要点：二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.2.代数式：形如5，a，a+b，ab，，x3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.二、二次根式的性质1.≥0，（≥0）；2.（≥0）；3..要点：1.二次根式(a≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，即.2.与要注意区别与联系：1).的取值范围不同，中≥0，中为任意值。2).≥0时，==；<0时，无意义，=.三、最简二次根式（1）被开方数不含有分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.要点：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：（1)被开方数是分数或分式；（2）含有能开方的因数或因式.例1．下列各式中，，一定是二次根式的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个例2．的值等于（

）A．21 B． C． D．例3．下列二次根式中，能与合并的是（）A． B． C． D．例4．下列各式一定有意义的共有（

）个．①；②；③；④；⑤；⑥．A．0 B．2 C．4 D．6例5．有下列各式①；②；③；④；⑤；⑥．其中最简二次根式有（）A．1 B．2 C．3 D．4例6．若最简二次根式与最简二次根式的被开方数相同，则m的值为（

）A．6 B．5 C．4 D．3例7．若，则实数a的取值范围是(

)A． B． C． D．例8．若|x2﹣4x+4|与互为相反数，则x+y的值为（）A．3 B．4 C．6 D．9例9．当x_____时，有意义；当x_______时，有意义．例10．的值等于________．例11．若a＜1，化简＝___．例12．若，则________．一、单选题1．下列式子一定是二次根式的是(

)A． B． C． D．2．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是(

)A． B． C．且 D．且3．下列计算正确的是（

）A． B． C． D．4．下列二次根式中，能与合并的是（

）A． B． C． D．5．实数在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（）A．7 B．-7 C． D．无法确定6．在二次根式、、、、中，是最简二次根式的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．如果，那么（）A． B． C． D．8．已知且，化简二次根式的正确结果是（

）A． B． C． D．9．化简二次根式的结果是（

）A． B．－ C． D．－10．设为正整数，，，，，…，….，已知，则(

).A．1806 B．2005 C．3612 D．4011二、填空题11．已知为自然数，代数式有意义时，可取__________（只需填满足条件的一个自然数）．12．化简：=__________．13．已知y＝1＋＋，则2x＋3y的算术平方根为_____．14．化简：______15．当时，化简：_______；_______；_______．16．已知最简二次根式与可以合并，则的值为_________.17．把根号外的因式移入根号内，得________18．定义：对于非负实数x“四舍五入”到个位的值为＜x＞，即：当n为非负整数时，若，则＜x＞＝n，如：＜0＞＝＜0.2＞＝0，＜0.68＞＝＜1.48＞＝1，…，那么++…+＝_____．三、解答题19．当字母取什么值时，下列各式有意义？（1）（2）（3）（4）（5）（6）20．计算：（1）（2）（3）（4）21．把下列各式化成最简二次根式：；

；；

；；

．22．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简．23．是二次根式的一条重要性质，请利用该性质解答以下问题：(1)化简：___________，__________；(2)若，则x的取值范围为_____________；(3)已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简．24．先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程．小亮：解：小芳：解：（1）______的解法是错误的，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______；（2）先化简，再求值：，其中；（3）有理数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示，化简．25．观察下列各式及