第1讲 无理数与平方根-【暑假预习】新八年级数学（北师大版）（教师版）

第一讲无理数与平方根【学习目标】1.能正确地进行判断某些数是否为有理数，加深对有理数和无理数的理解;2.理解数的平方根的概念，以及开平方的概念，会用根号表示一个数的平方根，3.掌握平方根的性质，并能应用平方根的性质解决问题。【基础知识】1．无理数的相关知识（1）有理数包括整数和分数．有理数还可以用有限小数或无限循环小数来表示．（2）无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数．其中无限不循是有理数，无限循环小数是无理数．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001（两个1之间依次增加一个0）…，等有这样规律的数．2．平方根(1)如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x就叫做a的.算术平方根，即x=.(2)如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x就叫做a的平方根，即x=±(a>0). (3)一个正数有两个平方根，0只有一个平方根，是0，负数没有平方根. (4)一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，它们的和为0.【考点剖析】考点一：无理数的判定例1．（1）在实数，0，0.131131113…，中，属于无理数的是（）A． B．0 C．0.131131113… D．【答案】C【详解】解：是分数，属于有理数；0，均为整数，属于有理数；0.131131113…是无限不循环小数，属于无理数；故选：C（2）化简的结果为（）A． B．2 C．4 D．16【答案】B【详解】解：=2，故选：B．（3）下列一组数：中，无理数有_______个．【答案】2【详解】有理数有：-8，2.6，，无理数有：；故答案为：2考点二：求一个数的算术平方根例2．的算术平方根是__________．的算术平方根是【答案】，7【详解】解：，的算术平方根是：．，的算术平方根是：7．故答案为：，7．考点三：求一个数的平方根例3．的平方根是（）A．5 B． C． D．【答案】B【详解】解：=25，25的平方根为±5，故选：B．例4．求下列各数的平方根．（1）0.09（2）（3）（4）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【详解】（1）因为，所以的平方根是；（2）因为，所以的平方根是；（3）因为，所以的平方根是；（4）因为，，所以的平方根是．考点四：利用平方根解方程例5．解方程．（1）（2）（3）【答案】（1）；（2），；（3），．【详解】解：（1）系数化为1得：，两边同时开平方得：；（2）系数化为1得：，两边同时开平方得：；即或，解得，；（3）移项得：两边同时开平方得：；即或，解得，．考点五：平方根的应用例6．如示意图，小宇利用两个面积为1dm2的正方形拼成了一个面积为2dm2的大正方形，并通过测量大正方形的边长感受了dm的大小．为了感知更多无理数的大小，小宇利用类似拼正方形的方法进行了很多尝试，下列做法不能实现的是（）A．利用两个边长为2dm的正方形感知dm的大小B．利用四个直角边为3dm的等腰直角三角形感知dm的大小C．利用一个边长为dm的正方形以及一个直角边为2dm的等腰直角三角形感知dm的大小D．利用四个直角边分别为1dm和3dm的直角三角形以及一个边长为2dm的正方形感知dm的大小【答案】C【详解】A：，=8，不符合题意；B：4×(3×3÷2)=18，=18，不符合题意；C：，，符合题意；D：，，不符合题意．故选：C．例7．小丽给了小明一张长方形的纸片，告诉他，纸片的长宽之比为3:2，纸片面积为294cm2．（1）请你帮小明求出纸片的周长；（2）小明想利用这张纸片裁出一张面积为157cm2的完整圆形纸片，他能够裁出想要的圆形纸片吗？请说明理由．（π取3.14）【答案】（1）纸片的周长为70cm；（2）小明不能裁出想要的圆形纸片．理由见解析．【详解】（1）设长方形纸片的长为3xcm，宽为2xcm，得3x·2x=294∵x>0，∴x=7∴长方形的长为21cm，宽为14cm∴2（21+14）=70cm答：纸片的周长为70cm；（2）小明不能裁出想要的圆形纸片，理由如下：设完整圆形纸片的半径为rcm，得3.14r2=157解得：r=（负值舍去）∴r=∵>7∴2r=2>14∴小明不能裁出想要的圆形纸片．【真题演练】1．下列实数中是无理数的是（）A．0.3 B． C． D．【答案】C【详解】解：A：0.3是有限小数，属于有理数；B:可以化为无限循环小数，属于有理数；C：是无限不循环小数，属于无理数；D：因为，所以属于有理数．故选：C2．下列各数：中无理数个数为（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【详解】解：0，是整数，不是无理数，是循环小数，不是无理数，是分数，不是无理数，，0.303003000，是无理数，共3个，故选：B．3．2是2的（）A．相反数 B．倒数 C．绝对值 D．平方根【答案】C【详解】解：2是2的绝对值，故选：C．4．5的平方根是（）A． B． C． D．25【答案】C【详解】解：5的平方根是．故选：C．5．下列各数中一定有平方根的是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：A．当m＝0时，m2﹣1＝﹣1＜0，不符合题意；B．当m＝1时，﹣m＝﹣1＜0，不符合题意；C．当m＝﹣5时，m+1＝﹣4＜0，不符合题意；D．不论m取何值，m2≥0，m2+1＞0，符合题意．故选：D．6．9的算术平方根是（）A．81 B．3 C．±3 D．【答案】B【详解】由算术平方根的定义得：9的算术平方根是，故选：B．7．学校食堂有一张面积为10平方米的正方形大桌，它的边长是（）A．10的平方根 B．10开平方的结果 C．10的算术平方根 D．10的立方根【答案】C【详解】解：面积为10平方米的正方形大桌的边长为，即为10的算术平方根，故选C．8．以下正方形的边长是无理数的是（）A．面积为9的正方形 B．面积为49的正方形C．面积为1.69的正方形 D．面积为8的正方形【答案】D【详解】解：A、面积为9的正方形的边长为3，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；B、面积为49的正方形的边长为7，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；C、面积为1.69的正方形的边长为1.3，是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；D、面积为8的正方形的边长为，是无理数，故本选项符合题意．故选：D．9．一个数的两个平方根分别是2a﹣1与﹣a+2，则这个数是（）A．﹣1 B．3 C．9 D．﹣3【答案】C【详解】解：由题意得，2a﹣1﹣a+2＝0，解得a＝﹣1，所以2a﹣1＝﹣3，﹣a+2＝3，即一个数的两个平方根分别是3与﹣3，所以这个数是9，故选：C．10．若一个正数的两个平方根分别是2m－4与3m－1，则m的值是（）A．1 B．－1 C．－3 D．－3或1【答案】A【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是2m−4与3m−1，∴2m−4＋3m−1＝0，∴m＝1；故选：A．11．把下列各数填在相应的括号里．，，，，，0，，1.1010010001整数：{}负分数：{}无理数：{}【答案】见解析【详解】解：整数：，，；负分数：，，无理数：，．12．解方程：（1）（2）【答案】（1）；（2），．【详解】解：（1），移项得：，系数化为1得：，两边同时开平方得：；（2），两边同时开平方得：，即，，．13．有一张面积为196平方厘米的正方形贺卡，另有一个长方形信封，长宽比为5：3，面积为150平方厘米，能将这张贺卡不折叠的放入此信封吗？请通过计算说明你的判断．【答案】不能，理由见解析【详解】解：设长方形信封的长为5x厘米，则宽为3x厘米，依题意得：5x•3x＝150，解得：x1＝，x2＝﹣（不合题意，舍去），∴3x＝3．正方形贺卡的边长为＝14（厘米）．∵3＜3＝12＜14，∴不能将这张贺卡不折叠的放入此信封．14．根据如表回答下列问题x23.123.223.323.423.523.623.723.823.9x2533.61538.24542.89547.56552.25556.96561.69566.44571.21（1）566.44的平方根是；（2）﹣≈；（保留一位小数）（3）满足23.6＜＜23.7的整数n有个．【答案】（1）；（2）-23.7；（3）5【详解】（1）由表中数据可得：566.44的平方根是：±23.8；故答案为：±23.8；（2）∵23.72＝561.69，∴≈23.7，∴﹣≈﹣23.7，故答案为：﹣23.7；（3）∵23.62＝556.96，23.72＝561.69，556.96＜n＜561.69，n=557，558，559，560，561，∴满足23.6＜＜23.7的整数n有5个，故答案为：5．【过关检测】1．下列数是无理数的是（）A． B． C． D．0【答案】C【详解】解：，则，，0是有理数，是无理数，故选：C．2．给出下列各数：①，②，③0.3，④2，⑤0.1060060006…（每两6之间依次多一个0），⑥其中都是无理数的是（）A．②④⑤ B．①③⑥ C．①⑤⑥ D．③④⑤【答案】C【详解】解：在①，②，③0.3，④2，⑤0.1060060006…（每两6之间依次多一个0），⑥中，无理数有①，⑤0.1060060006…（每两6之间依次多一个0），⑥，共3个，故选C．3．下列各数中，没有平方根是（）A． B．0 C． D．【答案】D【详解】解：A、，平方根是±2，不符合题意；B、0的平方根是0，不符合题意；C、，平方根是±，不符合题意；D、，没有平方根，符合题意；故选D．4．已知边长为a的正方形的面积为8，则下列说法中，错误的是（）A．a是无理数 B．8的平方根是a C．a是8的平方根 D．a是8的算术平方根【答案】B【详解】解：∵边长为a的正方形的面积为8，∴a=，则a是无理数，a是8的平方根，a是8的算术平方根，而8的平方根是±a，故错误；故选B．5．已知≈4.858，≈1.536，则﹣≈（）A．﹣485.8 B．﹣48.58 C．﹣153.6 D．﹣1536【答案】A【详解】解：236000是由23.6小数点向右移动4位得到，则﹣＝﹣485.8；故选：A．6．某数x的两个不同的平方根是与，则x的值是（）A．11 B．121 C．4 D．【答案】B【详解】某数x的两个不同的平方根是与，列方程得：+=0，合并得：，解得：，当时，，则．故选择：B．7．在-0.4，，4，，，，中，无理数有_____个．【答案】2根据无理数、有理数的定义即可求解（无理数为无限不循环小数，整数和分数统称有理数）．【详解】-0.4，是有限小数，属于有理数；4，，是整数，属于有理数；，是分数，属于有理数；，−π，是无理数，共2个．故答案为：2．8．已知，则_______．【答案】9【详解】解：∵，∴x-2≥0，2-x≥0，∴x=2，∴y=-3，∴==9，故答案为：9．9．已知某数的一个平方根是，那么它的另一个平方根是______．【答案】【详解】解：已知某数的一个平方根是，则这个数是5，所以它的另一个平方根是．故答案为：．10．一个数的一个平方根是，这个数是_______，另一个平方根是_______．【答案】11【详解】解：某数的一个平方根是，那么这个数是11，它的另一个平方根是，故答案为：11，．11．若是m的一个平方根，则的平方根是______．【答案】【详解】根据题意得：，

则的平方根为．

故答案为：12．物体的高度h（米）与所需时间t（秒）满足（g=9.8米/秒²）那么一个物体从高度为122.5米的建筑物上落到地面上，需要_______秒．【答案】5【详解】把h=122.5代入得t2=25∴t=5（-5舍去）故答案为：5．13．解方程：（1）（2）【答案】（1）；（2）或．【详解】解：（1）整理得，两边开平方得，∴；（2）两边开平方得，即或，∴或．14．已知的平方根是，的平方根是，求的平方根．【答案】【详解】解：由题意得：，，

解得：，，

∴，

∴的平方根为：．15．我市在招商引资期间，把已经破产的油泵厂出租给外地某投资商，该