专题5.1 投影-北师大版九年级《数学》上册培优讲义

知识点01投影的相关概念知识点02平行投影的性质知识点03中心投影的性质题型01平行投影题型02中心投影题型精讲题型03正投影投影教学目标、教学重难点教学目标、教学重难点教学重难点1.重点(1)明确中心投影与平行投影的本质区别，能根据影子特征准确判断投影类型。(2)理解并掌握正投影的成像规律，能结合物体与投影面的2.难点(1)结合具体情境，分析光源、物体位置对影子大小、方向的影响，建立空间思维模(2)依据正投影规律，将三维立体图形(如正方体)转化为二维投影图形，实现立体知识清单知识清单知识点01投影的相关概念：2.中心投影：由一点发出的光线照射物体所形成的投影，如手电筒、路灯和台灯的光线形成的投影。4.正投影：当平行光线与投影面垂直时的投影，是特殊的平行投影。5.中心投影与平行投影的区别与联系：(1)区别：平行投影的投影线互相平行，同一时刻不同物体的物高与影长成正比例，影子方向总是相同；【即学即练1】A.皮影戏中的影子B.太阳光下房屋的影子C.路灯下行人的影子D.在手电筒照射下纸片的影子【答案】B【答案】BB.太阳光下房屋的影子是是平行投影；故选B.A.太阳光、太阳光B.路灯、太阳光C.太阳光、路灯2.在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同。在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例。【即学即练2】所示，已知建筑物OB的高为15米，某一时刻，他们在阳光下分别测得OA的影长OD为24米，小军的影 (2)解：∵OA⊥OD,EF⊥FG,,解得：OA=18,过点B作BC//AD交OD于C,ABE∴AB=OA-OB=18-15=3(米),知识点03中心投影的性质：【即学即练3】的影子，CD则表示一个圆形的凳子.(1)请在图中标出路灯O的位置，并画出CD的影子PQ(要求保留画图痕迹，光线用虚线表示);(2)若桌面直径和桌面与地面的距离均为1.2m,测得影子的最大跨度MN为1.8m,求路灯0与地面的距离.(1)分别连接MA和NB并延长，则延长线交点即为路灯O的位置；分别连接OC和OD并延长，与地面的(2)过点O作OF⊥MN于点F,交AB于点E,易证OE⊥AB,△OAB∽△OMN,得出,结合OE=OF-EF,代入数据求解即可.(2)解：如图，过点O作OF⊥MN于点F,交AB于点E.题型题型精讲题型01平行投影下的影子的图形可能是()【详解】A、影子的方向相同，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，故本选项符合题意；与文化墙均垂直于地面，且两立柱与墙的距离均为2.4米.小明观察到高为1.2米的矮立柱的影子完全落在地面上，其影长为1.6米；而高立柱的部分影子落在墙上.假设落在地面上的影子均与墙面互相垂直，在不【分析】本题考查相似三角形的应用，平行投影，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运(2)如图，连接AE,作FB//EA.分别求出AB,BC的长即可解决问题.【详解】(1)解：设小明的影长为x米.(2)解：如图，连接AE,作FB//EA.【详解】(1)解：如图所示，作DF//AC,EF⊥DE交DF于F,线段EF就是小树DE的影子.D(2)解：设AB的高度为h,BA.路灯下行人的影子B.舞台上演员的影子【答案】【答案】DB.舞台上演员的影子为中心投影，故此选项不合题意；0H作法：连接CG,EH,延长CG,EH交与点0,此时点O即路灯为所求.题型03正投影小红(AB)和小颖(CD)都站在路灯的同侧，小颖在路灯灯泡P的照射下的影子(2)证明△POF∽△ABF,列出比解题的关键是掌握相似三角形的判定方法和性质.【详解】(1)解：连接ED并延长，交OM于点P,连接PA并延长交OE与点F,点P,点F即为所求，如MPD投影不可能是()【答案】B棱柱时的正投影是()【分析】本题主要考查了平行投影特点，根据平行投影特点以及图中正六棱柱的摆放位置即可求解，熟练情况而定是解决此题的关键.【答案】【答案】若AB=4cm.(2)正投影的面积=正方形面积+长方形面积【典例4】“白日依山尽，黄河入海流.欲穷千里目，更上一层楼.”这里主要是()A.增大盲区B.减少盲区C.改变光点D.增加亮度【答案】【答案】B【点睛】本题考查了盲区的相关知识，正确理解盲区就是指人的视线达不到的地方，站得高可以【变式1】如图，从点D观测建筑物AC【分析】根据视角的定义，由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角，即可判断.【分析】(1)连接ED并延长交OM于点P,连接PA并延长交OE于F,点P和BF即为所求；(2)先求出OF=6米，证明△ABF∽△POF,得到,则PO=6米.MD常考题型.看到它们的影长相等，那么这两根竿子的长度关系为()灯下的影子()标分别为(0,2),(4,2),则木杆AB在x轴上的端点).已知大树AB的底部到台阶的距离BC=1.9m,则大树AB的高度可能是()A.3mB.3.4mC.3.8mD.4.2mBCNMDE【分析】本题考查平行投影的特点和规律.在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时由长变短再变长.【分析】过点N作ND⊥PQ,垂足为D,根据题意可得：DN=PM=1.2m,DP=MN=0.8m,然后根据D【点睛】本题考查了相似三角形的应用，平行投影，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.【答案】250【答案】250等于位似比的平方即可求解.故答案为：250.长度.古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季.如图，在平台中央竖立一根6尺长的杆子AB,利用土圭之法测量了两个时刻杆子的影长，发现第一时刻的太阳光线与杆子的夹角∠CAB和第二时刻的太阳光线与地面的夹角∠ADB相等，测得第一时刻的影太阳光线第二时刻的【答案】【答案】【分析】本题考查了相似三角形的性质，通过已知的杆长和第一时刻的影长计算第二时刻的影长.根据题意，得AB=6尺，BC=1.5尺，解得DB=24,∴第二时刻的影长DB为24尺；影子如图所示(图中的粗线段).(3)若将光源G竖直向上移动，则影子AB的长度(单选题)过点光源.过点光源.(2)作射线BG,作AC⊥AB交BG于点C,AC即为所求；身(3)解：由图可知，影子AB的长度变短.12.(24-25九年级下·全国·随堂练习)如图，公路旁有两个高度相等的路灯AB,CD.小明上午上学时发现路灯AB在太阳光下的影子恰好落到里程碑E处，他自己的影子恰好落在路灯CD的底部C处.晚自习放学时，站在上午同一个地方，发现在路灯CD的灯光下自己的影子恰好落在里程碑E处.(2)若上午上学时候高1m的木棒的影子为2m,小明身高为1.6m,他离里程碑E恰好5m,求路灯高.【分析】本题综合考查了相似三角形的判定和性质的运用，掌握平行投影的光线是平行的是解题的关键.(2)证明△EGF∽△EDC,即可求解.【详解】(1)解：如图.B灯光DGA即解得：CD=2.624.直线FM运动，当他运动2m到达点D处时(即DF=2m),测得影长DN=0.6m,再前进2m到达点B处时(即BD=2m),测得影长BM=1.6m.(图中线段AB,CD,EF表示小明的身高，AB,CD,均与FM垂直，且在同一平面上)(1)请画出路灯O的位置和小明位于F处时的影子FG;【分析】本题主要考查中心投影，相似三角形的判定与性质，需要把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解即可.(1)连接MA、NC并延长，交点即为点0,再连接OE并延长于底面的交点为G,FG(2)过0作OH⊥MG于点H,设DH=xm,根据AB//CD//OH得据此求得DH,再根据可求得FG.【详解】(1)解：如图所示：点O即为路灯的位置，线段FG即为小明位于F处时的影子0(2)解：如图，过点O作OH⊥BF于点H.0EE又∵AB=CD=1.6m,BM=1.6m,DN=0.经检验，x=1.2,y=4.8是原方程的解.于安全考虑，莹莹不能到达信号塔的正下方，于是她决定利用太阳光线来进行测量.如图，她在地面上的点D处竖立一根长为4.5米的标杆CD,此时发现标杆CD与塔AB在太阳光下的影子末端恰好重合于地面上的点E处，已知B、D、E三点在一条直线上，AB⊥BE,CD⊥BE,用测距仪测得BD=49.5米.【分析】本题考查作图-应用与设计作图，相似三角形的判定和性质.(1)利用中心投影的性质画出图形；AC(2)解：∵CD//AB,答：信号塔的高度AB的长为45米.素材：一根5米长的木棍AB倾斜固定在半空，A点离地面高度为4米，A,B之间的水平宽度为4米.如图(1),白天的某一时刻，阳光下(图中虚线为太阳光线)木棍AB在地面上投影为CD(点A,B的对应点分别为C,D).如图(2),点B的正上方有一路灯P,夜晚在路灯P的照射下木棍AB在地面上的投影(1)分别在图(1)、图(2)中画出木棍AB在地面上的投影CD和EF;(用直尺作图，线条用实线)(3)在(1)的条件下，发现图(2)中木棍AB,投影线AE,BF,影长EF组成的四边形AEFB也是轴对称【分析】(1)分别根据平行投影和中心投影作图即可；(2)过点A作AG//CD交BD于点G,证明四边形ACDG为平行四边形可得AB=AG,即可证明；(3)由题意可知∵P,B,F三点在同一直线上，且PF⊥EF,过点A作AS⊥EF于点S,AR⊥PF于点R,可知四边形ASFR是矩形，根据轴对称图形得到EF=BF=7米，证明△ARP∽△EFP,进而求出求出PF的长即可.【详解】(1)