【练习卷】专题三：数列求和（8考点12考法）期末专项训练-2025-2026学年高二下学期人教A版数学

专题三：数列求和

考点1：等差数列的判断与证明......................................................................................................2

考法1：利用定义证明等差数列...........................................................................................2

考点2：等比数列的判断与证明......................................................................................................2

考法2：利用定义证明等比数列...........................................................................................2

考点：利用与的关系求通项

3Snan.................................................................................................3

考法：已知与的关系求通项

3Snan......................................................................................3

考点4：分组求和法..........................................................................................................................4

考法4：将数列拆分为等差与等比分别求和.......................................................................4

考法5：符号变化的数列并项求和.......................................................................................5

考点5：裂项相消法..........................................................................................................................6

1

考法6：形如的裂项相消........................................................................................6

nn1

1

考法7：形如的裂项相消.......................................................................................7

nnk

1

考法8：形如的裂项相消...........................................................................8

anbcnd

考点6：错位相减法..........................................................................................................................9

考法9：等差×等比的数列求和（错位相减）...................................................................9

考点7：等比数列求和....................................................................................................................11

考法10：等比数列求和公式的应用...................................................................................11

考点8：数列求和的综合应用........................................................................................................11

考法11：周期数列求和.......................................................................................................11

考法12：多种求和方法综合运用.......................................................................................11

注意事项

1.本试卷主要考查数列求和的多种方法，包括分组求和、裂项相消、错位相减等.

2.请在答题时注意观察数列的通项特征，选择合适的求和方法.

3.解答题请写出详细的推导和计算步骤.

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考点1：等差数列的判断与证明

考法1：利用定义证明等差数列

a

（解答）已知数列中，，且n1*求证：数列n为等差数

1.ana12an122annN.n

2

列.

考点2：等比数列的判断与证明

考法2：利用定义证明等比数列

（解答）设为非零实数且，数列满足

2.dd1an

1122kknn*判断数列是否为等比数列，若

anCnd2CndkCndnCndnN.an

n

是，给出证明；若不是，说明理由.

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考点3：利用Sn与an的关系求通项

考法：已知与的关系求通项

3Snan

（解答）记为数列的前项和，已知，且

3.Snanna26n2Snnan1.

（）求；

1S1,S2,S3

（2）在下列两个结论中，任选一个加以证明；（若两个都证明，以首选计分）

Sa

①n是等比数列；②n是等比数列.

nn1

（）记为数列的前项和，求

3TnSnnTn.

n2n

4.（解答）已知数列a的前n项和为S，S，等比数列b满足：b3，

nnn6n1

b481.

（）求数列和的通项公式；

1anbn

（）求数列的前项和为

2anbnnTn.

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考点4：分组求和法

考法4：将数列拆分为等差与等比分别求和

1131357113

5.（多选）已知数列a:,,,,,,,，其中第1项为，接下来的2项为,，

n2448888244

1357

接下来的4项为,,,，依此类推，设S为a的前n项和，则（）

8888nn

15

A.aB.SS4C.有且仅有一个正整数m，使得

1516157

31n

aaD.存在无数个正整数n，使得S

mm132n2

6.（解答）已知a0且a1，函数fxaxln1x1.设

*，为数列的前项和，当时，求

anfnlnn1n,nNSnanna2S100.

为奇数

an2,n,

7.（解答）已知数列a满足a1，a记ca3，求满足

n1n1为偶数n2n

2an,n.

的所有正整数的值

c1c2c3cn100n.

为奇数

an1,n,

8.（解答）已知数列a的首项是1，a求a的前n项和S.

nn1为偶数nn

an2,n.

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1

9.（解答）已知数列a的前n项和为S，且Snn1.若数列b满足

nnn2n

1

,n为奇数,

求的前项和

bnanan2bn2nT2n.

an

2,n为偶数,

（解答）已知正项数列的前项和为，且满足，数列为公比

10.annSn2Snanan1bn

大于的等比数列，且，若在与之间插入个，由此构成一个新的

0b2a3b4a27.anan1bn1

数列，求的值

dnd127.

考法5：符号变化的数列并项求和

（解答）已知等差数列的各项均为正数，且若n，且

11.ana4a1a2a1a3a9.bn(1)an

，求正整数的值

b1b2bm10m.

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考点5：裂项相消法

考法6：形如1的裂项相消

nn1

12.（多选）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人

称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四

层有个球……设第层有个球，则（）

10nan

是等差数列

A.a515B.an1an

为偶数111

C.a2025D.12

a1a2an

13.（填空）如图所示的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，

后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，

设第层有个球，则＿＿＿＿＿＿，数列1的前项和为＿＿＿＿＿＿

nana550.

an

（解答）已知数列满足，且*若数列满

14.ana11S36Sn2Sn3an1annN.bn

足1，1113求的前项和

b1.bn13.

11bn1bnanan1

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考法7：形如1的裂项相消

nnk

a

15.（解答）已知数列a中，a3，a15，且数列n为等差数列．记S为数列

n13nn

13

的前n项和，证明：Sn．

an4

（解答）为数列的前项和，已知2．设1，求数

16.Snannan0,anan2Sn2bn

anan1

列的前项和．

bnnTn

（解答）已知等差数列满足设1，求数列的前项和

17.ana38,a173a5.bnbnnTn.

nan

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（解答）已知数列的前项和为，若点*都在函数的图象

18.annSnn,annNfx2x

上，且

Snn1log2bn.

（）求数列的通项公式；

1an,bn

11

（2）设cb2，记数列c的前n项和为T，求证：T.

nnnn4n3

考法8：形如1的裂项相消

anbcnd

（填空）若数列满足1，则数列前项的和＿＿＿＿＿＿

19.ananan15S15.

n1n

（解答）已知是数列的前项和，数列3n1是首项为，公比为的等比数

20.Snann33

Sn

列已知n，求数列1的前项和

.cn3annTn.

cncn1

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考点6：错位相减法

考法9：等差×等比的数列求和（错位相减）

（解答）已知数列的前项和为，且*若，

21.annSna11an22Sn2nN.a22

①证明：数列为等比数列；

an1an

②求数列2n1的前项和

nTn.

an

S

（解答）已知是数列的前项和，n求数列n的前项和

22.Snannnan1,a11.2ann

n

Tn.

an

（解答）已知数列满足，n，n若，求数列

23.ana11an13an2bnn.cnncn

2an2

的前项和

nSn.

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（解答）记为数列的前项和，已知*

24.SnannSn2an2nN.

（）求数列的通项公式；

1an

b

（）若，求数列n的前项和

2bnlog2annTn.

an

1

25.（解答）已知：OP1,1,OPxy,xy,nN,n2.在（1）的条件下

1n4n1n1n1n1

a

（已知aOP），数列c满足cnloga.

nnnn22n

①设数列，求数列的前项和；

bnc2nbnnTn

②是否存在n(nN,n0)，对于任意n(nN,n0)满足cc？若存在，求出n；若

000nn00

不存在，请说明理由.

（解答）设为非零实数且，数列满足

26.dd1an

1122kknn*设nn1，求数列的

anCnd2CndkCndnCndnN.bnnd(1d)bn

n

前项和

nSn.

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考点7：等比数列求和

考法10：等比数列求和公式的应用

（解答）已知数列满足n*，数列满足n设

27.ana13,an13an3nNbnbn3an.

a1