第10讲 位置与坐标-【暑假预习】新八年级数学（北师大版）（教师版）

第十讲位置的确定与平面直角坐标系【学习目标】1.认识到在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据，并能准确地确定物体的位置.2.理解平面直角坐标系以及横轴、纵轴、原点、坐标等概念;3.认识并能画出平面直角坐标系;4.能在给定的直角坐标系中，由点的位置写出它的坐标。5.在同一直角坐标系中,感受图形平移前后点的坐标变化6.在同一直角坐标系中,感受图形的轴对称(原点对称)变换坐标变化.7.经历图形坐标变化与图形轴对称之间关系的探索过程，发展形象思维能力和数形结合意识。【基础知识】1.平面直角坐标系概念：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，水平的数轴叫x轴或横轴；铅垂的数轴叫y轴或纵轴，两数轴的交点O称为原点。2.点的坐标：在平面内一点P，过P向x轴、y轴分别作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a、b分别叫P点的横坐标和纵坐标，则有序实数对（a、b）叫做P点的坐标。3.在直角坐标系中如何根据点的坐标，找出这个点（如图4所示），方法是由P（a、b），在x轴上找到坐标为a的点A，过A作x轴的垂线，再在y轴上找到坐标为b的点B，过B作y轴的垂线，两垂线的交点即为所找的P点。4.如何根据已知条件建立适当的直角坐标系？根据已知条件建立坐标系的要求是尽量使计算方便，一般地没有明确的方法，但有以下几条常用的方法：①以某已知点为原点，使它坐标为（0,0）；②以图形中某线段所在直线为x轴（或y轴）；③以已知线段中点为原点；④以两直线交点为原点；⑤利用图形的轴对称性以对称轴为y轴等。5.图形“倒转与对称”的变化规律:A、将图形上各个点的横坐标不变，纵坐标分别乘以-1，所得的图形与原来的图形关于x轴对称。B、将图形上各个点的纵坐标不变，横坐标分别乘以-1，所得的图形与原来的图形关于y轴对称。【考点剖析】考点一：用有序数对表示位置例1．如图，写出表示下列各点的有序数对：3，；；，；，；，；，；，；，；，．【答案】3；7，3；10，3；10，5；7，7；5，7；3，6；4，8【详解】解：；；；；；；；；．故答案：3；7，3；10，3；10，5；7，7；5，7；3，6；4，8．考点二：用有序数对表示路径例2．根据指令(s，A)(说明：s≥0，单位：厘米；0°≤A＜180°)，机器人在平面上能完成下列动作：先原地逆时针旋转角度A，再朝其面对的方向沿直线行走距离s，若机器人站在点M处，面对的方向如图所示．(1)给机器人下了一个指令(2，60°)，机器人移动到了B点，请你画出机器人从M点到B点的运动路径；(2)若机器人从M点运动到了C点，则给机器人下了一个什么指令？【答案】(1)画图略(2)指令(3，20°)【解析】试题解析：（1）如图：（2）给机器人的指令是（3，20°）。考点三：在平面直角坐标系中描点例3．如图，用表示点的位置，用表示点的位置．（1）画出直角坐标系．（2）点的坐标为______．（3）的面积为______．【答案】（1）见解析；（2）；（3）3.5．【详解】（1）如图所示，即为所求（2）点在第一象限，横坐标、纵坐标均为正数，故答案为：；（3）故答案为：3.5．考点四：根据点所在位置，求参数例4．（1）点在第二象限，则点在第___________象限．【答案】一【详解】解：由A（a+1，b-2）在第二象限，得a+1＜0，b-2＞0．解得-a＞1，b+1＞3，点B（-a，b+1）在第一象限，故答案为：一．（2）在平面直角坐标系中，已知点在轴上，则______．【答案】【详解】解：由题意，得2m+3=0，解得m=，故答案为：．考点五：坐标系内的规律探究例5．如图，四边形是正方形，曲线叫做“正方形的渐开线”，其中弧，弧，弧，弧的圆心依次按点，，，循环，点的坐标为，按此规律进行下去，则点的坐标为______．【答案】【详解】解：由题意可知：正方形的边长为2，∵A（2，0），B（0，2），C（2，2），P1（4，0），P2（0，﹣4），P3（﹣6，2），P4（2，10），P5（12，0），P6（0，-12）…可发现点的位置是四个一循环，每旋转一次半径增加2，2021÷4=505……1，故点在x轴正半轴，OP的长度为2021×2+2=4044，即：P2021的坐标是（4044，0），故答案为：（4044，0）．考点六：平面直角坐标系综合问题例6．在平面直角坐标系中，已知点．（1）若点在轴上，求的值；（2）若点到轴的距离为，求点的坐标；（3）若点在过点且与轴平行的直线上，求点的坐标．【答案】（1）；（2）点的坐标为或；（3）点的坐标为【详解】（1）∵M点在y轴上，∴a-6=0∴a=6；（2）∵M点到x轴的距离为5∴|5a+10|=5∴5a+10=±5解得：a=-3或a=-1故M点坐标为(-9，-5)或(-7，5)；（3）∵M点在过点A(2，-4)且与y轴平行的直线上∴a-6=2∴a=8∴M点坐标为(2，50)．考点七：轴对称与坐标变化例7．如图，三个顶点的坐标分别为，，．（1）画出关于轴的对称图形；（2）在轴上求作一点，使的周长最小，并直接写出点的坐标．【答案】（1）见解析；（2）见解析；P【详解】（1）如图所示，即为所求．（2）如图所示，点即为所求，其坐标为．【真题演练】1．如图，象棋盘上“将”位于点，“象”位于点，则“炮”位于点A． B． C． D．【答案】C【详解】如图所示：“炮”位于点，故选：C．2．如图是雷达探测到的6个目标，若目标C用（40，120°）表示，目标D用（50，210°）表示，则（30，240°）表示的目标是（）A．目标A B．目标B C．目标F D．目标E【答案】D【详解】解：∵目标C用（40，120°）表示，目标D用（50，210°）表示，∴第一个数表示距观察站的圈数，第二个数表示度数，∴表示为（30，240°）的目标是：E．故选：D．3．已知点P的坐标为，则点P到y的距离为（）A． B．3 C．4 D．【答案】B【详解】解：∵点P的坐标为（-3，-4），∴点P到y轴的距离为3．故选：B．4．点(﹣4，2)所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【详解】解：点（-4，2）所在的象限是第二象限．故选：B．5．在平面直角坐标系中，已知点在第二象限，则点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【详解】解:∵点在第二象限，∴，，∴，∴点在第三象限．故选C．6．已知点和点关于x轴对称，则等于（）A．1 B． C．2021 D．【答案】A【详解】∵点和点关于x轴对称，∴a＝4，b＝−3，∴=，故选：A．7．在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：点Q（-3，7）关于y轴对称的点的坐标是（3，7）．故选：B．8．如图，在平面直角坐标系中，将边长为3，4，5的沿轴向右滚动到的位置，再到的位置…依次进行下去，发现，，…那么点的坐标为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：由题意得：∠AOB＝90°，点A（3，0），B（0，4），根据旋转可知：OA＋AB1＋B1C2＝3＋5＋4＝12，∴点B2

（12，4），A1

（12，3）；继续旋转得，B4

（2×12，4），A3

（24，3）；B6

（3×12，4），A5

（36，3）…发现规律：B2022

（1011×12，4），A2021（12132，3）．∴点的坐标为（12132，3）．故选D．9．教室5排2号可用有序数对表示，则2排5号用数对可表示为__．【答案】【详解】解：排2号可用有序数对表示，排5号用数对可表示为．10．有一个英文单词的字母顺序对应如图中的有序数对分别为，，，，，请你把这个英文单词写出来或者翻译中文为_________．【答案】中国（CHINA）【详解】由题意知表示C，表示H，表示I，表示N，表示A，所以这个英文单词为CHINA或中国，故答案为：CHINA或中国．11．在平面直角坐标系中，点在轴上，则的值是____．【答案】1【详解】解：∵点在y轴上，∴a-1=0，解得：a=1，故答案为：1．12．2021年4月8日，中国扬州世界园艺博览会在扬州仪征市开幕，本届搏览会以“绿色城市，健康生活”为主题．如图，是扬州世界园艺博览会部分导游图，若滩涂印象的坐标为，丛林野趣的坐标为，则中国馆的坐标为______．【答案】【详解】解：因为滩涂印象的坐标为，丛林野趣的坐标为，所以建立平面坐标坐标系如下：则中国馆的坐标为，故答案为：．13．已知点(2，)与点(，3)关于轴对称，则的值为____．【答案】5【详解】解：∵(2，)与点(，3)关于轴对称，∴P、Q两点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，∴b=-2，a=3，∴a-b=3-(-2)=5,故答案为：5．14．已知点A(3a﹣6，a+1)，试分别根据下列条件，求出点A的坐标，（1）点A在x轴上；（2）点A在过点P(3，﹣2)，且与y轴平行的直线上．【答案】（1）（-9，0）；（2）（3，4）【详解】解：（1）∵点A（3a-6，a+1）在x轴上，∴a+1=0，解得a=-1，∴3a-6=-3-6=-9，∴点A的坐标为（-9，0）；（2）∵点A在过点P（3，-2），且与y轴平行的直线上，∴3a-6=3，解得a=3，∴a+1=3+1=4，∴点A的坐标为（3，4）．15．在平面直角坐标系中，已知点．（1）若点M在x轴上，求m的值；（2）若点M到x轴的距离是3，求m的值；（3）若点M在第二、四象限的角平分线上，求m的值．【答案】（1）；（2）0或-3；（3）-1【详解】解：（1）∵M（m，2m+3）在x轴上，∴2m+3=0，∴m=；（2）∵点M到x轴的距离是3，∴，解得：m=0或-3；（3）∵M（m，2m+3）在第二、四象限的角平分线上，∴m+（2m+3）=0，∴m=-1．【过关检测】1．一组正整数1，2，3，4，5…，按下面的方法进行排列：若正整数2的位置记为，正整数10的位置记为，则正整数2020的位置可记为（）第1列第2列第3列第4列第5列第6列第7列第8列12345678第1行161514131211109第2行…………A． B． C． D．【答案】D【详解】解：由表格可得：每行8个数，奇数行从左到右依次增加，∵2020÷8=252…4，∴正整数2020的位置可记为（253，4），故选：D．2．如图，点A、B、C的坐标分别为（）A．（2，－1），（0，－2），（1，－4） B．（－1，2），（－2，0），（－4，1）C．（－1，2），（0，－2），（－4，－1） D．（1，2），（2，0），（4，1）【答案】B【详解】如图，过点A,C分别作坐标轴的垂线，可得坐标分别为：，，，故答案为：B；3．已知A、B两点的坐标分别是和，下列结论错误的是（）A．点A在第二象限 B．点B在第一象限C．线段平行于y轴 D．点A、B之间的距离为4【答案】C【详解】解：∵A、B两点的坐标分别是和，∴点A在第二象限，点B在第一象限，点A、B之间的距离为4，线段平行于x轴，结论错误的是C选项，符合题意；故选：C．4．如图，三角形ABC的面积等于（）A．12 B． C．13 D．【答案】D【详解】过点A作轴于D，如图所示：由题意可得，，，，，∴，∴，，即，故选：D．5．在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m．其行走路线如图所示，第1次移动到，第2次移动到，第次移动到，则的面积是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：由题意知OA4n＝2n，∵2020÷4＝505，∴A2A2019＝＋1＝1011，A2A2019∥x轴，则△OA2A2021的面积是×1×1011＝505.5（m2），故选：C．6．点关于y轴的对称点是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：点关于y轴的对称点是，故选：C．7．在教室里，小明的座位在第2列、第5行，小亮的座位在第4列、第1行，如果把小明的座位记为（2，5），那么小亮的座位可以记为_____．【答案】（4，1）【详解】∵小明的座位在第2列、第5行，把小明的座位记为（2，5），∴小亮的座位在第4列、第1行，小亮的座位可以记为（4，1）．故答案为：（4，1）．8．如图，在平面直角坐标系中，平行于轴，点的坐标为，点在点的左侧，，若点在第二象限，则的取值范围是__________．【答案】【详解】解：平行于轴，，的纵坐标为3，，点在第二象限，点到y轴的距离为，故答案为：．9．，则在第_____象限．【答案】二【详解】解：由题意得，a+2=0，b-6=0，解得a=-2，b=6，所以，点（-2，6）在第二象限；故答案为：二10．如图，（一周记为360°，一周多10°记为370°）点A1用极坐标表示为_____________；点A2用极坐标表示为_____________；点A3用极坐标表示为_____________；点An用极坐标表示为____________．【答案】（2，0°）（4，120°）（8，240°）（）．【详解】∵一周记为，一周多记为，∴横坐标为2，纵坐标为，∴点用极坐标表示为；∵横坐标为4，纵坐标为，点用极坐标表示为；∵横坐标为8，纵坐标为，点用极坐标表示为；根据上述规律，∴点用极坐标表示为．11．若点A与点B（1，1）关于点C（－1，－1）对称，则点A的坐标是____．【答案】【详解】设点的坐标为，由题意得：，解得，则点的坐标为，故答案为：．12．点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标为_________．关于y轴对称的点的坐标为_________．【答案】（﹣2，﹣3）（2，3）．【详解】解：点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标为（﹣2，﹣3）；点P（﹣2，3）关于y轴对称的点的坐标为（2，3）．故答案为：13．如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始、按顺时针方向、取与三角形外箭头方向一致的一侧序号），如点A的坐标可表示为，点B的坐标可表示为，按此方法，若点C的坐标为，则m＝__________．【答案】3【详解】解：根据题意，点C的坐标应该是，∴．故答案是：3．14．如图，在平面直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成，，将进行n次变换，得到，观察每次变换中三角形顶点坐标有何变化