第05讲 算术平方根(原卷版)

添加微信xiaoanziliao6免费拉进资料分享群添加微信xiaoanziliao6免费拉进资料分享群第05讲算术平方根内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1算术平方根概念理解题型2求一个数的算术平方根题型3算术平方根中的数值转换器问题题型4利用算术平方根的非负性解题题型5求算术平方根的整数部分和小数部分题型6利用算术平方根的性质化简题型7与算术平方根有关的规律探索题题型8算术平方根的实际应用04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航算术平方根、、双重非负性、被开方数、估算、逼近。1.理解算术平方根的概念，能说出一个非负数的算术平方根的含义。2.掌握算术平方根的符号表示（），能正确读、写并计算完全平方数的算术平方根。3.理解算术平方根的双重非负性（被开方数≥0，结果≥0），并能运用它解决问题。4.能估算无理数算术平方根（如2）的大致范围，培养数感和逼近思想。学习重点：算术平方根的概念、符号表示及其双重非负性。学习难点：理解算术平方根的双重非负性（特别是被开方数为非负数），以及估算无理数算术平方根的大小。知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01算术平方根（1）定义：一般地，如果一个正数x的平方根等于a,即：那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a”,（2）表示方法：非负数a的算术平方根记作，读作根号a,（3）性质：①正数只有一个算术平方根，并且恒为正；②0的算术平方根为0，即；③负数没有算术平方根，当式子有意义时，a一定是一个非负数。【易错提醒】表示a的算术平方根，结果非负。注意：a2=|a|，勿直接写成a。0的算术平方根是0，负数没有算术平方根。即时即练1.下列各数没有算术平方根的是（

）A．0 B． C． D．2.4的算术平方根是．3.计算的结果为．4.探究发散：(1)完成下列填空①，②，③___________．④，⑤，⑥___________．(2)根据上述计算结果，若，则___________．(3)利用你发现的规律完成下题：有理数在数轴上的位置如图所示．化简：题型1算术平方根概念理解【例1】下列说法正确的是（

）A．表示25的算术平方根 B．表示2的算术平方根C．2的算术平方根记作 D．2是的算术平方根【例2】算术平方根是它本身的数是（

）A．0和1 B．1和 C．2和 D．0和【技巧归纳】1.定义：非负数a的算术平方根a是非负的平方根（a≥0）。2.双重非负：a≥0且a≥0。3.运算：a)2=a，a2=|a|（不能直接等于a【变式1-1】如果有算术平方根，那么可以取的值为（

）A．3 B．2 C．1 D．0【变式1-2】下列说法正确的有（

）①任何数都有算术平方根；②一个数的算术平方根一定是正数；③的算术平方根是a；④的算术平方根是；⑤算术平方根不可能是负数．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个题型2求一个数的算术平方根【例3】的算术平方根是．【例4】的算术平方根是．【技巧归纳】1.分解质因数：将数分解，成对因子提出根号外。2.先看完全平方：如0,1,4,9直接写根。3.分数开方：分子分母分别开方。4.非负数范围：结果≥0，负数无算术平方根。【变式2-1】的算术平方根是．【变式2-2】若的算术平方根是5，则____________．题型3算术平方根中的数值转换器问题【例5】一个数值转换器的原理如图．当输入的为时，输出的是（

）A． B． C． D．【例6】有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的值为81时，输出的值是_______________．【技巧归纳】1.明确运算顺序：先输入\(x\)，按流程计算（如平方、取反、加常数）。2.列方程：已知输出值，逆向倒推或列方程求输入值。3.注意非负：算术平方根输出非负，输出负数时无解或换路径。【变式3-1】有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为16时，输出y的值为_________【变式3-2】根据图所示的程序计算，若输入x的值为64，则输出结果为_____．题型4利用算术平方根的非负性解题【例7】已知，为实数，且，则的值为．【例8】已知有理数，满足，则．【技巧归纳】1.非负性：a≥0，且a≥0。2.常见题型：多个非负式（如a+|b|+c2=0）和为零，则每项为零。3.列方程：利用非负性求参数值或解范围。注意被开方数非负。【变式4-1】若是的三边，且，则的面积为．【变式4-2】若实数x，y，z满足，则的算术平方根是______．题型5求算术平方根的整数部分和小数部分【例9】若设的整数部分为，则的值为．【例10】的整数部分是a，小数部分是b，则的值是．【技巧归纳】1.找整数部分：找到两个相邻整数n、n+1，使n2≤a<(n+1)2，则整数部分为n。2.小数部分：小数部分=a-n。3.注意范围：a非负，小数部分在[0,1)内。【变式5-1】已知：、为两个连续的整数，且，则．【变式5-2】已知x，y满足等式是的小数部分，则的值为__________题型6利用算术平方根的性质化简【例11】实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为．【例12】已知实数在数轴上的位置如图所示，化简：．【技巧归纳】1.公式：a2=|a|\)，结合a2.拆积：ab=a∙b(a,b≥3.拆商：ab=ab(a≥0,b>4.化为最简：被开方数不含能开得尽方的因子。【变式6-1】（1）计算；；；（2）根据（1）中的计算结果可知，__________．（3）利用上述规律计算：实数、在数轴上的位置，化简．【变式6-2】探究以下问题：(1)【特例探究】_______，_______，______．(2)【规律总结】对于实数a，当时，_______，当时，______．(3)【学以致用】计算：．题型7与算术平方根有关的规律探索题【例13】观察下表，并解决问题．a0.00040.044400400000.020.2220200(1)根据上表，可以得到被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动两位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位．(2)已知，，则______．(3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根，已知，，，则______．【例14】观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：(1)观察算式规律，计算＝；＝．(2)用含正整数的式子表示上述算式的规律：．(3)计算：．【技巧归纳】1.计算前几项：化简算术平方根，观察结果整数部分、小数变化。2.找递推：看相邻项差或比，猜想含n的通项公式。3.验证与推广：代入首项验证，用平方或根式性质证明规律。【变式7-1】（1）填表：01100100000______1______100（2）规律归纳：①若正数的小数点向左（或右）移动______位，则的小数点就相应地______移动______位；②当时，若正数越大，则也越大．（3）尝试运用：已知，，求的值；（4）灵活应用：当时，比较和的大小．【变式7-2】数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律：，，；…实践探究：(1)按照此规律，计算：；；(2)计算：；迁移应用：(3)若符合上述规律，请直接写出x的值：．题型8算术平方根的实际应用【例15】天气晴朗时，一个人能看到大海的最远距离s（单位：千米）可用公式来估计，其中h（单位：米）是眼睛离海平面的高度．(1)如果小天站在岸边观察，当眼睛离海平面的高度是1.6米时，能看到多远？(2)若小天登上岸边的一个观望台A，已知小天眼睛离观望台地面的高度是米，他想看到距离岸边大约10千米处的一个货轮B，则观望台至少离海平面高多少米才可以看得见？【例16】在综合实践课上，某同学用一根铁丝围成了一个面积为的正方形框架，该同学计划用同样长的一根铁丝围一个面积为的长方形框架，且长与宽的比为．(1)求正方形框架的边长．(2)该同学能围出这个长方形框架吗？请通过计算说明你的判断．【技巧归纳】1.建模：将实际问题转化为算术平方根表达式（如面积求边长）。2.计算近似值：用估算或计算器求值，结果符合实际精度。3.取正值：算术平方根非负，舍去负值，注意单位统一。【变式8-1】小悦和小涵利用当地一座高楼探究小球的下落时间和下落高度之间的关系．实验一：小悦从80米高处释放小球，记录小球下落时间；实验二：小涵从20米高处释放小球，记录小球下落时间．已知一个物体从高处自由下落时，下落高度h（米）和下落时间t（秒）可以用公式来表示．(1)请利用公式，求的值．(2)实验后，小涵对小悦说：“我记录的时间刚好是你记录的时间的一半．”小悦说：“你一定是记录错了．”两位同学谁的说法正确？请通过计算说明理由．【变式8-2】综合与实践(1)【问题发现】：如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的边长为_____．(2)【知识迁移】：爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为_____；大正方形的面积为_____；长方形的对角线长为_____．(3)【拓展延伸】：小明同学想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．小思同学思考了一下说：“这可办不到哦！”小明反驳说：“用面积大的纸片，肯定能裁出面积小的纸片！”请通过计算说明他们谁说得对．一、单选题1．的算术平方根是（

）A． B． C． D．2．估计的值在（

）A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间3．若，则的值是（

）A．6 B． C． D．4．已知满足等式，是的小数部分，则的值为（

）A． B． C．1 D．35．利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下：………0.250.79062.57.9062579.06250…根据以上规律，若，，，则（

）A．130 B．1300 C．41.1 D．411二、填空题6．计算：________．7．若，其中n为正整数，则_______．8．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是______．9．若，为实数，且满足，则的值是____________．10．若的整数部分是a，的整数部分是b，则的值为________．三、解答题11．计算求值(1)计算：；(2)求x的值：．12．若实数满足．(1)求和的值；(2)求的算术平方根．13．实数，在数轴上的位置如图所示：(1)比较大小：________0，________0，________0；(2)化简．14．如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．(1)求大正方形的边长；(2)若沿着这个大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片，若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由．15．根据下表回答下列问题：x1414.114.214.314.414.514.614.714.814.9x