2026年甘肃天水市中考数学试卷真题及答案详解（精校打印）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页天水市2026年初中学业水平考试数学试卷考生注意：本试卷满分为120分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效．一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．1．2026的绝对值是（

）A．2026 B． C． D．2．某几何体的三视图如图所示，该几何体为（

）A． B． C． D．3．截至年初，甘肃省光热发电装机容量已达千瓦，其规模居全国首位，为推动我国新能源高质量的发展做出了贡献．数据用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．4．计算：（

）A． B． C． D．5．如图，直线，及木条在同一平面内，将木条绕点顺时针旋转到与直线垂直时，其旋转角的最小度数是（

）A． B． C． D．6．如图，四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形．若，，，则（

）A． B． C． D．7．随着人工智能的快速发展，越来越多的学生使用辅助学习．小凯记录了自己连续八周每周使用辅助学习的时间（单位：分钟），并绘制了如图所示的折线统计图．根据统计图，下列关于小凯这八周使用辅助学习时间的描述，错误的是（

）A．众数是127分钟 B．平均数是133分钟C．中位数是132分钟 D．总时间是1064分钟8．如图，内接于，是的直径，与交于点．若，，则（

）A． B． C． D．9．甘肃省是“一带一路”沿线上重要的节点省份，特色农产品正借势加速走向世界．兰州海关数据显示，年第一季度甘肃省农产品出口呈增长趋势，其中天水花牛苹果汁和陇南黄芪出口总额为亿元，苹果汁出口额比黄芪出口额的倍少亿元．设苹果汁和黄芪的出口额分别为亿元、亿元，则可列二元一次方程组为（

）A． B．C． D．10．如图，在菱形中，对角线与交于点，动点从点出发，沿匀速运动至点时停止．设点的运动路程为，的长度为，与的函数图象如图所示，在点的运动过程中，当时，的长度是（

）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．11．因式分解：________________．12．若代数式在实数范围内有意义，则实数的值可以是________________．（请写出一个符合条件的值即可）13．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是________________．14．如图，矩形纸片的边上有一点，将纸片沿折叠，点落在点．若，，则点到的距离等于______．15．求圆的面积是历史悠久的数学课题之一，在很多古代数学文献中都有记载，如公元世纪，中国数学家刘徽利用割圆术证明了圆的面积等于半周长与半径之积；世纪，德国数学家开普勒也利用无穷分割圆的方法，将圆转化为直角边长分别等于圆周长和半径的直角三角形，如图所示，将的面积转化为的面积，其中．在中，等于周长，等于半径，若，，则扇形的圆心角等于________________度．16．如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图2是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流______击中昆虫．（填“能”或“不能”）三、解答题：本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．计算：．18．解不等式组：．19．先化简，再求值：，其中．20．在某学校举办的数学文化周活动中，同学们利用角、线段、三角形等图形，借助图形的旋转或对称设计了一些美丽的图案．如图是小彤设计的一件艺术作品的平面图，它由个全等三角形构成，外轮廓为正六边形．(1)请判断图1是____________图形；（填“轴对称”或“中心对称”）(2)图是从图1选取的部分图案，其中看作由绕旋转中心顺时针方向旋转一定角度后得到的，请你用无刻度直尺和圆规确定该图案的旋转中心．（保留作图痕迹，不写作法）21．现有四张材质、大小、颜色都相同的不透明卡片，每张卡片正面写上一个实数，分别为，，，，将四张卡片正面向下洗匀．(1)随机抽取一张卡片，卡片上的实数是正数的概率是________；(2)随机抽取一张卡片，记下卡片上的实数后，将卡片正面向下放回洗匀，再随机抽取一张卡片，记下卡片上的实数．请你用画树状图或列表的方法，求抽取的两张卡片上实数之和为负数的概率．22．如图，清代数学典籍《平三角举要》中记载了“用高上之高测远”的古法，此法专门解决测远目标被遮挡且观测点周边没有多余空间的测绘困境，其关键在于观测者巧妙借用测远目标竖直方向正上方建筑的已知高度来完成测算．某数学兴趣小组的成员在黄河南岸的A处观测到黄河北岸的山上有一座塔，他们想了解观测点到塔的水平距离，但因宽阔的河面及山脚遮挡，无法直接利用工具测量，于是他们借助“用高上之高测远”的古法，设计了如下解决方案：如图，设观测点到塔的水平距离为（点，，在同一条直线上），，在点分别测得塔顶的仰角、塔底的仰角，查阅资料可知塔的高度米．根据以上信息，请你求出观测点到塔的水平距离．（结果精确到米）参考数据：，，，，，．四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．23．为深入学习贯彻习近平总书记关于“讲好中国故事，传播好中国声音，展示真实、立体、全面的中国”的重要指示精神，落实立德树人根本任务，某区教育系统举办“讲好中国故事，弘扬传统文化”讲故事比赛，引导学生了解中华优秀传统文化，增强民族自信心和自豪感．比赛分为初赛和复赛．经初赛后，共有360名学生参加复赛．为了解比赛情况，举办方从学生复赛成绩中随机抽取了50名学生的成绩作为样本数据，进行了整理和分析，绘制成如下不完整的统计图表：频数、频率分布表组别成绩（分）频数频率A7B15CD10根据所给信息，解答下列问题：(1)______，______；(2)补全频数分布直方图；(3)这50名学生成绩的中位数会落在______组；（填组别）(4)若复赛成绩在D组的学生将获得一等奖，请你估计这360名复赛学生中获得一等奖的人数．24．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．在反比例函数图象上有一点，过点作轴于点，连接，．(1)求一次函数与反比例函数的表达式；(2)求四边形的面积．25．如图，是的直径，点是上一点，于点，点在的延长线上，平分．(1)求证：是的切线；(2)当，时，①填空：的值等于__________；②求的长．26．在一次数学兴趣小组活动中，同学们围绕等腰三角形进行探究，下面是部分探究内容，请你思考并解答．(1)【初步尝试】如图1，在中，，过点作，，连接．点在线段上，满足，求的长．(2)【类比探究】如图2，在中，，以为对角线的矩形的顶点在上，，分别是线段，上的动点（不含端点），．当时，用等式表示出和的数量关系，并说明理由．(3)【拓展迁移】如图3，在矩形中，，分别是线段，上的动点（不含端点），．当时，用等式表示出和的数量关系，并说明理由．27．抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．动点在线段上（点与点不重合）．(1)求抛物线的表达式；(2)连接，在的左上方以为边作正方形．①如图1，当时，求正方形的面积；②如图2，当点落在抛物线上时，求点的坐标；(3)如图3，在动点的正上方有另一动点，且，当点从点开始运动时，点以相同的速度同时出发，两点都沿轴的正方向匀速运动，点停止运动时点同时停止运动．连接，，求的最小值和此时的值．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．A【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．根据正数的绝对值等于它本身解答即可得．【详解】解：∵，∴．故选：A．2．C【分析】根据三视图的特征，主视图和左视图确定几何体的侧面形状，俯视图确定底面形状，从而判断几何体的名称．【详解】解∶∵主视图和左视图都是三角形，∴该几何体是锥体，∵俯视图是圆且圆心处有一点，∴该几何体是圆锥．观察选项，A是圆柱，B是三棱柱，C是圆锥，D是球，故C选项符合题意．3．B【详解】解：用科学记数法表示为．4．D【详解】解：．5．C【分析】如解图，根据三角形的外角的性质，得到，当木条绕点顺时针旋转到与直线垂直时，变为，得到最小旋转角度为.【详解】解：由图可知，∴，当木条绕点顺时针旋转到与直线垂直时，变为，故最小旋转角度为.6．B【分析】根据对应点坐标求出位似比，再利用对应边之比等于位似比求解即可．【详解】解：∵，，∴，，∵四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形，∴，即，∴．7．A【分析】从折线统计图中读取八周的数据，分别计算众数、平均数、中位数及总时间，逐一判断选项即可.【详解】解：由图可知，这八周的数据分别为：∵数据出现了次，次数最多，∴众数是132分钟，故A选项描述错误；∵总时间为（分钟），故D选项描述正确；∵平均数为（分钟），∴B选项描述正确；将这组数据从小到大排列为：，∵处于中间位置的两个数都是，∴中位数是（分钟），故C选项描述正确．8．B【分析】根据是直径得到，因此根据角的和差求出，根据三角形的内角和定理求出，即可得到，再根据三角形外角的性质即可求解．【详解】解：∵是直径，∴，∵，∴．∵，，∴，∴，∴．9．D【分析】解题关键是从题干中提取两个等量关系，分别列出方程后可得对应选项．【详解】解：∵苹果汁出口额为亿元，黄芪出口额为亿元，两种产品出口总额为亿元，∴，∵苹果汁出口额比黄芪出口额的倍少亿元，∴，因此可得方程组，符合的选项为．10．D【分析】根据函数图象获取的长度以及的值，结合菱形性质求出边长和对角线，判定的形状，最后利用三角函数或勾股定理求出边上的高．【详解】解：由图2可知，当时，，此时点M在点O处，∴，∵四边形是菱形，∴，，．由图2可知，当时，点M到达点D，此时运动路程为，∴，∴．∵，∴，即是等边三角形．当时，为等边的高，∴．11．【详解】解：．12．（答案不唯一）【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，求出的取值范围，在取值范围内任取一个符合条件的值即可．【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义，∴解得：且，取值范围内的值可以是（答案不唯一）．13．【分析】根据一元二次方程根的定义得到，再变形所求代数式代入计算即可．【详解】解：∵是一元二次方程的一个根，∴，∴，∴．14．【分析】作于点F，先根据折叠性质和角度关系求出，再利用直角三角形中角所对边等于斜边一半，求出的长度【详解】解：作于点F，，由折叠得，，，又四边形为矩形，，，，．15．【分析】设的半径为，，根据的长求出圆的半径，根据，列出方程进行求解即可.【详解】解：设的半径为，，∵等于周长，，∴，∴，∴，由题意，，又∵，∴，∴，即．16．不能【分析】本题主要考查了二次函数的应用．根据题意，把代入，把结果与50比较即可．【详解】解：把代入，得，，不能击中昆虫．17．【详解】解：原式．18．【详解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，∴原不等式组的解集为．19．，【详解】解：原式．当时，原式．20．(1)中心对称；(2)解：如图，点O为所求旋转中心．【分析】（1）根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可；（2）连接，，分别作，的垂直平分线，两线相交于点O，则点O即为所求的旋转中心．【详解】（1）解：将该图形绕点正六边形的中心旋转，能与原图形重合，故图1是中心对称图形．（2）略21．(1)(2)【详解】（1）解：随机抽取一张卡片，共有4种等可能的结果，其中卡片上的实数是正数的结果有2种，故；（2）解：列表如下：第一次第二次或画树状图如下：共有种等可能的结果，两实数之和为负数的结果有种，（抽取的两张卡片上实数之和为负数）．22．观测点到塔的水平距离约是米【分析】设米，在中，由正切定义得；在中，．根据塔高米列方程，求解即可．【详解】解：设米，在中，，．在中，，．，，解得．答：观测点到塔的水平距离约是米．23．(1)18；(2)补全频数分布直方图，如下：(3)C(4)72人【分析】（1）根据频率频数总数，即可求解；（2）根据C组的人数为18人，补全频数分布直方图即可；（3）根据中位数的定义可判断这名学生成绩的中位数会落在C组；（4）利用样本估计总体即可求解．【详解】（1）解：，；（2）略（3）解：∵A，B组的人数之和为，A，B，C组的人数之和为，且这50名学生成绩的中位数为第25位，26位的成绩之和的，∴这50名学生成绩的中位数会落在C组；（4）解：人，即估计这360名复赛学生中获得一等奖的人数为72人．24．(1)；(2)【分析】（1）将点分别代入一次函数和反比例函数，可求出和．（2）由反比例函数的表达式求出点的坐标，再分别求一次函数与轴交点和点的坐标，将四边形分割为两个三角形求面积即可．【详解】（1）解：由题意，点在一次函数上，，解得；一次函数的表达式为．点在反比例函数上，，解得，反比例函数的表达式为．（2）解：点在反比例函数上，∴点的坐标为，轴，垂足在轴上，点的坐标为，直线与轴交点，令，则，解得，∴点的坐标为，，四边形的面积为．25．(1)证明：如图，连接，∵，∴．∵平分，∴．∵，∴，∴，∴．∵为的半径，∴是的切线；(2)①；②【分析】（1）连接，由得；由平分得．结合，可知中，等量代换得，即，进而即可证明；（2）①由平分得，在中，．可得，由勾股定理得，进而即可求出；②连接，由是直径得，结合，由同角的余角相等得，则可得，即．在中，，由得；在中，由得，最终由勾股定理求解即可．【详解】（1）略（2）解：①∵，，∴，∵，∴，∴；②如图，连接，为的直径，，．由（1）可知，，，由（1）可知，，，．在中，，，．在中，，，，．26．(1)(2)解：，理由如下：如图1，连接．四边形为矩形，∴，，，，∴，，∴，即．，，四边形为矩形，，，，．(3)解：，理由如下：如图，延长至点，使得，连接，．，．，．由（2）同理可得，，．，，．四边形为矩形，，，．，．【分析】（1）由平行线的性质得到．由得到，从而证明，根据全等三角形的性质即可解答；（2）连接．证明，得到，因此，从而，进