专题13 平行四边形、矩形、菱形、正方形中最值的四类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版八年级下册（解析版）

专题13平行四边形、矩形、菱形、正方形中最值的四类综合题型目录TOC\o"1-2"\h\u典例详解类型一、平行四边形中的最值问题类型二、矩形中的最值问题类型三、菱形中的最值问题类型四、正方形中的最值问题压轴专练类型一、平行四边形中的最值问题方法总结1.几何模型：利用“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及平行四边形对边平行相等的性质求最值。2.代数方法：设未知数，将所求量表示为函数，在自变量取值范围内求最值。解题技巧1.轴对称转化：利用平行四边形对边平行，作对称点将折线转化为直线求最短路径。2.勾股定理列式：在平行四边形中构造直角三角形，用勾股定理表示线段长，再求最值。例1．（24-25八年级下·河南信阳·期末）在中，，点是边上的动点，连接．分别是和的中点，则的最小值是______．【答案】/【分析】本题考查的是平行四边形性质、三角形中位线性质、含30度角的直角三角形的性质，先得出，根据当最小时，取最小值，求出值，进而求出结论．【详解】解：分别是和的中点，，当最小时，取最小值，点是边上的动点，当时，最小，此时取最小值，在中，，，当时，，，，，此时取最小值为，故答案为：．【变式1-1】（2026·安徽阜阳·一模）如图，在中，，，．点在边上，点在的延长线上，连接，，且．则下列结论错误的是（

）A．的最小值为 B．的最大值为C．的最小值为 D．周长的最小值为【答案】C【分析】根据含角直角三角形的性质结合勾股定理先求出、的长，由等量代换可求得的长，最后根据垂线段最短结合三角形的面积公式确定最小值，即可判断A选项；当取最大值时，则取最大值，当与重合时，取最大值，解直角三角形即可判断B选项；以为一边作，过作交于，当，，三点共线，且时，取最小值，解直角三角形即可判断C选项；过作，过作，与相交于，作关于的对称点，分别连接，，，与交于，当，，三点共线时，最小值，解直角三角形即可判断D选项．【详解】解：，，，，，，，，当取最小值时，则取最小值，当时，取最小值，此时，，解得，的最小值为，的最小值为，故A结论正确，不符合题意；当取最大值时，则取最大值，当与重合时，取最大值．如图，作于，，，解得，，，在中，，的最大值为，的最大值为，故B结论正确，不符合题意；如图，以为一边作，过作交于，，，，当，，三点共线，且时，取最小值，，，，的最小值为，故C结论错误，符合题意；如图，过作，过作，与相交于，作关于的对称点，分别连接，，，与交于，则，，，四边形是平行四边形，，，，，当，，三点共线时，最小值，最小值为，的周长的最小值为，故D结论正确，不符合题意．【变式1-2】（24-25九年级下·安徽淮南·自主招生）如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点、分别是，的中点．若，则下列结论正确的是（

）A．的最小值为 B．的面积为C．周长的最小值为16 D．的最小值为【答案】D【分析】延长、交于点，过点作直线，由等边三角形的性质可得，，证明四边形为平行四边形，得出为中点，从而可得在直线上运动，证明为等边三角形，得出，连接，则，，求出，从而可得点到直线的距离都为，再由三角形的面积公式即可判断B错误；作点关于直线的对称点，连接，当点运动到与直线的交点，即、、共线时，最小，由勾股定理即可判断D正确；由得出当、、共线时，最小，最小值为的长度，即可判断A错误；过点作于，过点作于，由等边三角形的性质可得，，求出，即可判断C错误．【详解】解：如图，延长、交于点，过点作直线，∵和是位于直线同侧的两个等边三角形，∴，，∴，，∴四边形为平行四边形，∵为中点，∴为中点，∵在线段上运动，∴在直线上运动，∵，∴为等边三角形，∴，连接，∵点是的中点，∴，，∴，∴点到直线的距离都为，∴的面积为，故B错误；作点关于直线的对称点，连接，当点运动到与直线的交点，即、、共线时，最小，此时最小值为，故D正确；∵，∴，∴当、、共线时，最小，最小值为的长度，∴的最小值为，故A错误；如图，过点作于，过点作于，∵和是位于直线同侧的两个等边三角形，∴，，∴，∴，∴，即，∴，∴周长的最小值为，故C错误；故选：D．【变式1-3】（25-26八年级上·陕西西安·月考）（1）如图①，已知，点、分别在边、上，沿将折叠，点恰好落在边上的处，若，那么的长为___________；（2）如图②，在四边形中，对角线，相交于点，且，若，，求的最小值；（3）如图③，在Rt中，，点、分别在边、上运动，若满足，连接，求的最小值．【答案】（1）14；（2）的最小值为；（3）的最小值为．【分析】本题考查了平移的性质、平行四边形的性质与判定、勾股定理，利用平移的性质构造平行四边形是解题的关键．（1）利用折叠的性质求得，据此求解即可；（2）平移至，连接、，利用平移的性质证出四边形是平行四边形，推出，，结合得到，再利用勾股定理求出的长，最后利用两点之间线段最短即可求出的最小值；（3）延长至，使，延长至，使，连接，，，平移至，连接、，同（2）的方法求解即可．【详解】解：（1）∵沿将折叠，点恰好落在边上的处，∴，∴，故答案为：14；（2）如图，平移至，连接、，由平移的性质可得，，，四边形是平行四边形，，，又，，，由两点之间线段最短知：，∴当共线时，有最小值为，即的最小值为；（3）延长至，使，延长至，使，连接，，，∵，∴，，∵，∴是线段的垂直平分线，是线段的垂直平分线，∴，，平移至，连接、，则四边形是平行四边形，∴，，，∴，由两点之间线段最短知：，∴当共线时，有最小值为，即的最小值为．类型二、矩形中的最值问题方法总结1.几何模型：利用“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及矩形四个直角的性质求最值。2.代数方法：设未知数，将所求量表示为函数，在自变量取值范围内求最值。解题技巧1.轴对称转化：通过作对称点，将折线转化为直线，利用“两点之间线段最短”求最小值。2.勾股定理列式：在矩形中构造直角三角形，用勾股定理表示线段长，再求最值。例2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接，则线段长的最小值为______．【答案】/【分析】根据勾股定理得到，由题意证明四边形是矩形，则当取最小值时，的值最小，当时，的值最小，由等面积法即可求解．【详解】解：在中，，∴，∵，∴，∴四边形是矩形，如图所示，连接，∴，∴当取最小值时，的值最小，根据点到直线垂线段最短得到，当时，的值最小，∵，∴，∴线段长的最小值为．【变式2-1】（24-25八年级下·广西防城港·期中）如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连接，，则的最小值为_____．【答案】5【分析】本题考查的是最短路径问题，矩形的性质，轴对称的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．连接，在BA的延长线上截取，连接则的最小值转化为的最小值，则，根据勾股定理可得结果．【详解】解：如图，连接，在矩形中，，，∵，，∴四边形是平行四边形，∴，，则，即的最小值转化为的最小值，在的延长线上截取，连接，∵，∴是的垂直平分线，∴，∴，连接，则，∵，∴．∴的最小值为5．故答案为：5．【变式2-2】（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，在矩形中，，，，分别是，上的两个动点，，沿折叠形成，连接，，则的最小值是______．【答案】【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，作点关于的对称点，连接，由于四边形是矩形，所以，，，则，，在中，，从而得，故当共线时，的值最小，最小值，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，∵四边形是矩形，∴，，，∴，，在中，，∵，∴，∵是定值，∴当共线时，的值最小，最小值，∴的最小值为，故答案为：．【变式2-3】（25-26八年级上·浙江嘉兴·月考）如图，在平面直角坐标系中，点，，点是线段上的一个动点，在的右侧作以为边的等边，若为的中点，连接，当取最小值时，则______．【答案】【分析】取的中点，连接，根据勾股定理得到，根据斜边中线定理得到，进而推出是等边三角形，得到；连接，作于点，根据等边三角形的性质得到，，则点在过点且与夹角为的直线上运动，当时，即，取最小值，此时三点共线，则，推出是等边三角形，再利用等边三角形的性质和勾股定理即可求出的长．【详解】解：如图，取的中点，连接，∵点，，∴，，∵，∴，∵点是的中点，∴，∴，∴是等边三角形，∴；如图，连接，作于点，∵等边，为的中点，∴，，，平分，∴，，∴点在过点且与夹角为的直线上运动，∴当时，即，取最小值，∴，∴三点共线，∴，∴，∴是等边三角形，∴，∴，∴，∵，∴，，∴，，∴．故答案为：．类型三、菱形中的最值问题方法总结1.几何模型：利用“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及菱形对角线垂直的性质求最值。2.代数方法：设未知数，将所求量表示为函数，在自变量取值范围内求最值。解题技巧1.利用对称性：菱形是轴对称图形，常作对称点将折线转化为直线求最短路径。2.勾股定理：在对角线垂直的直角三角形中，用勾股定理表示线段，再求最值。例3．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，在菱形中，，E是上一动点，连接，则的最小值为_____．【答案】【分析】本题考查了菱形和三角形．熟练掌握菱形性质，含30°的直角三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，是解题的关键．过点B作于点F，根据菱形性质可得，得，根据，得，由，得的最小值为．【详解】解：过点B作于点F，则，∵菱形中，，∴，∴，∵，，∴，∵，∴的最小值为．故答案为：．【变式3-1】（25-26八年级上·重庆·期末）四边形是菱形，对角线、交于点，点为上一动点，连接、，若，则的最小值是_____．【答案】【分析】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、含30度直角三角形的性质、轴对称的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．由菱形的性质可得，易得是等边三角形，可得；如图：作点关于的对称点，过O作交于G，则根据轴对称的性质以及三角形的三边关系可得为的最小值；再根据等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质、勾股定理求得的长即可解答．【详解】解：∵四边形是菱形，∴，∵，∴，∴是等边三角形，∴，如图：作点关于的对称点，过O作交于G，则∵点关于的对称点，∴，∴，即为的最小值，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，；同理可得：，即，∴∴．∴的最小值为．故答案为：．【变式3-2】（25-26八年级上·四川成都·期末）等腰中，，将沿所在直线翻折得到，再将水平向右平移，得到，分别连接，则的最小值为_____．【答案】【分析】本题考查了轴对称－最短路线问题，菱形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，平移的性质，掌握相关知识的应用是解题的关键．设与交于点，由平移性质可得，，再由菱形的判定得出四边形是菱形，则有，，确定，，得到四边形是平行四边形，故有，则的最小值的最小值，作点关于定直线的对称点，连接，当三点共线时，则的长度即为的最小值，由，，则，，然后通过等腰三角形的性质，勾股定理即可求解．【详解】解：设与交于点，∵，将沿所在直线翻折得到，∴，，∵将沿射线的方向平移，得到，∴，，∵折叠，等腰，∴，∴四边形为菱形，∴，，∴，，∴四边形是平行四边形，∴，∴的最小值的最小值，∵点在过点且平行于的定直线上，作点关于定直线的对称点，连接，当三点共线时，则的长度即为的最小值，根据题意得：，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【变式3-3】（24-25九年级下·河南南阳·期中）如图，菱形的边长为，，对角线，相交于点，为线段上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转至，连接，则线段的长的最小值为_____，最大值为_____．【答案】【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，菱形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的运算，点到直线的距离，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键．在上取一点，使，连接．证明，则．由点为定点，为线段上的一个动点，∴当时，有最小值，利用菱形性质知，则，即可得的最小值为；当点P运动到点B时，最大，即有最大值，先证明Q，C，D三点共线，过点B作．分别求出，，利用勾股定理求出，即可得的最大值．【详解】解：如图1，在上取一点，使，连接．∵四边形是菱形，，边长为，∴，，，，∴，，，由旋转知，，∴，∴，∴，∴．由点为定点，为线段上的一个动点，∴当时，有最小值，此时，∵，∴，∴最小值为，∴的最小值为；如图2，当点P运动到点B时，最大，即有最大值，∵，∴，∴，此时Q，C，D三点共线，过点B作．∵，，∴，，∴，∴，∴有最大值，最大值为，∴的最大值为．故答案为：；．类型四、正方形中的最值问题方法总结1.几何模型：利用“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及正方形轴对称性求最值。2.代数方法：设未知数，将所求量表示为函数，在自变量取值范围内求最值。解题技巧1.轴对称转化：利用正方形对称性，作对称点将折线转化为直线求最短路径。2.勾股定理列式：在正方形中构造直角三角形，用勾股定理表示线段长，再求最值。例4．（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）如图，正方形的边长为，E是上一点，，P是对角线上一动点，则的最小值是___________．【答案】【分析】此题主要考查了利用轴对称求最短路线以及正方形的性质，正确得出点位置是解题关键．直接利用正方形的性质，得出点关于直线对称，连接，进而利用勾股定理得出答案．【详解】解：如图所示：连接，由题意可得：点关于直线对称，则点是与的交点，∵正方形的边长为，，则．故答案为：．【变式4-1】（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，在正方形中，E是对角线上的动点，以为边作正方形，M是的中点，连接．若正方形的边长为8，则的最小值为________．【答案】【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理；由可证明得到，，由此得当点E与点A重合时，点G与点C重合，当点E与点C重合时，点G与点K重合，即当点E在线段上运动时，点G在线段上运动，根据“垂线段最短”可知：当时，最短，即当点G与点T重合时，为最小，最小值为线段的长，最后由为等腰直角三角形可求出的最小值.【详解】解：连接并延长与延长线交于点K，过点M作于T，如图所示：∵四边形和四边形均为正方形，∴，，，，，∴，，∴，在与中∴，∴，，∴当点E与点A重合时，点G与点C重合，当点E与点C重合时，点G与点K重合，即当点E在线段上运动时，点G在线段上运动，根据“垂线段最短”可知：当时，最短，即当点G与点T重合时，为最小，最小值为线段的长.∵，，∴为等腰直角三角形，即，∵，点M为中点，∴由勾股定理得∴∴∴的最小值为故答案为：.【变式4-2】（2025·山东烟台·模拟预测）如图，在正方形中，边长，点为边的中点，连接对角线，在上截取线段，使，连接，，则的最小值为_____．【答案】【分析】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理，以为腰在正方形的左侧作等腰直角三角形，取的中点，连接，过点作于点，进而证明四边形是平行四边形，得出的最小值为，再勾股定理求得的长，即可求解．【详解】解：如图，以为腰在正方形的左侧作等腰直角三角形，取的中点，连接，过点作于点，∵四边形是正方形，，∴，∵等腰直角三角形，∴，∴∴∵∴∴四边形是平行四边形，∴∴∴的最小值为∵，∴∴，∵是的中点∴∴，在中，∴的最小值为，故答案为：．【变式4-3】（25-26九年级上·北京石景山·期末）如图，边长为的正方形内有一动点，满足，为边上的动点，连接，．（1）当点为边的中点时，长的最小值为___________；（2）的最小值为___________．【答案】//【分析】（1）取的中点，连接，，根据直角三角形的性质可得，为定值．由线段公理可得，，用勾股定理计算出即可；（2）作点关于的对称点，连接、、，作，垂足为，根据轴对称的性质，，因此．由线段公理可得，，用勾股定理计算出即可．【详解】解：（1）如图，取的中点，连接，，在正方形中，，，∵，∴是直角三角形，又∵点是的中点，∴为定值，∵点为边的中点，∴，在直角中，，由线段公理可得，，∴，当点、、三点共线时，取到最小值；（2）如图，作点关于的对称点，连接、、，作，垂足为，在正方形中，，，由轴对称的性质可得，，，，∴点、、三点共线，∵，∴，∴四边形是矩形，∴，，∴，在直角中，，由线段公理可得，，∴，当点、、、四点共线时，取到最小值，∵，∴，∴的最小值为．故答案为：；．一、单选题1．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，在中，，，，为边上一动点，于，于..，为的中点，则的最小值为（

）A．2 B．2.4 C．2.5 D．2.8【答案】B【分析】此题主要考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短和直角三角形斜边上的中线性质；由直角三角形的面积求出是解决问题的关键．先求证四边形是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用三角形面积求得最短时的长，然后即可求出最短时的长．【详解】解：连接，如图所示：，，，，，，四边形是矩形，，与互相平分，是的中点，为的中点，，根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即时，最短，同样也最短，当时，，最短时，，当最短时，．故选：B．2．（25-26九年级上·山东济南·月考）如图，在菱形中，，分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点、，作直线，与交于点，如果点为线段上一动点，当取最小值时，（

）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】本题考查作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的性质，如图，连接，设交于点，交于点O．证明，推出，推出当点P与点重合时，的值最小，求出即可．【详解】解：如图，连接，设交于点，交于点O．∵四边形是菱形，∴，，，∴，∵，∴，∴，都是等边三角形，∵，∴，∴，∵，又，∴，∴，∵，∴，∴，由作图可知垂直平分，∴，，∵，∴，又，∴，∴（负值舍去），∵D，B关于对称，∴，∴，∴当点P与点重合时，的值最小，此时．故选：B．3．（25-26八年级上·重庆·周测）如图，正方形中，边长为8，E为线段上一点，将沿翻折到，连接，则的最小值为（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】该题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识点，连接，根据正方形的性质和勾股定理求出，根据折叠可得，则，即可得出当点三点共线时，最小，的最小值为．【详解】解：连接，∵在正方形中，边长为8，∴，∴，∵将沿翻折到，∴，∴，∴当点三点共线时，最小，的最小值为，故选：B．二、填空题4．（24-25八年级下·广西贵港·期末）如图，在中，，分别是上的动点，连接分别为、的中点，则的最小值是______．【答案】【分析】连接，过点D作于点T．证明，求出的最小值可得结论．【详解】解：如图，连接，过点D作于点T．∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵G、H分别为的中点，∴，∵，∴的最小值为，∴的最小值，故答案为：．【点睛】本题考查平行四边形的性质，垂线段最短，三角形中位线定理，含30度角的直角三角形性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．5．（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图，在菱形中，，，动点E、F分别在线段上，且，则____________，的最小值为____________．

【答案】【分析】连接，过点作于，先证明、都是等边三角形，得到，进而证明得到，进一步证明是等边三角形，得到，则当与重合时，此时最小，即最小，最小值为，利用勾股定理求出即可得到答案．【详解】解：如图所示，连接，过点作于，

∵四边形是菱形，∴，，∵，∴、都是等边三角形，∴，，∴，又∵，∴，∴，，∴，即，∴是等边三角形，∴，∴当最小时，最小，∴当与重合时，此时最小，即最小，最小值为，∵，∴，∴，∴的最小值为，故答案为：；．【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理以及最小值等知识，熟练掌握菱形的性质和等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．6．（25-26九年级上·海南海口·期末）如图，为正方形的对角线，点O为的中点，点E为边上一点，连接并延长交于点F，过点A作于点P，连接，若正方形的边长为2，则________，的最小值为________．（结果保留根号）【答案】【分析】取的中点，连接、，，根据正方形的性质可得，，进而根据勾股定理可求得，得到，再由勾股定理得到，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，最后根据三角形三边关系可知，即可解答．【详解】解：如图，取的中点，连接、，，∵为正方形的对角线，点O为的中点，正方形的边长为2，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴的最小值为．故答案为：；．【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边中线的性质，三角形三边关系等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．三、解答题7．（23-24八年级下·宁夏中卫·期末）（1）如图1，平行四边形，，，，、分别为、上的点，且，四边形的面积与有关，当有最值(填“大”、“小”)时，四边形的面积有最值(填“大”、“小”)．（2）如图2，，且，连接，则的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由．问题解决（3）如图3，在四边形中，，对角线交于，已知，且，则与的周长之和是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出最小值．【答案】（1）小，大；（2）存在，；（3）不是，周长之和的最小值为15【分析】（1）先求出平行四边形的面积，利用面积和差关系可得四边形的面积，则当有最小值时，四边形的面积有最大值，即可求解；（2）在中，由勾股定理可求的长，由线段的和差关系可求解；（3）如图3，过点作，交的延长线于，过点作于，可证四边形是平行四边形，可，，则与的周长之和为，由直角三角形的性质可求的长，即可求解．【详解】解：（1）过点作，交延长线于，过点作，交的延长线于，四边形是平行四边形，，，，，，，，，，，，四边形的面积，，，∴四边形的面积，四边形的面积，则当有最小值时，四边形的面积有最大值，故答案为：小，大；（2）存在，设，，，，的周长，当时，的周长的最小值为；（3）与的周长之和不是定值，理由如下：如图3，过点作，交的延长线于，过点作于，，四边形是平行四边形，，，，设，则，，，，，，，，，与的周长之和不是定值，当时，与的周长之和的最小值为15．【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．8．（25-26九年级上·陕西西安·期末）[问题探究]如图1，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接．已知，则的最小值是；[尝试应用]如图2，矩形中，，点P是矩形内一动点，且，求周长的最小值．[实践创新]如图3，，长度为2的线段在射线上滑动，点C在射线上，且，的两个内角的角平分线相交于点F，过F作，垂足为G，求的最大值．【答案】[问题探究]；[尝试应用]；[实践创新]【分析】[问题探究]如图1中，过点A作交的延长线于H，连接．解直角三角形求出，即可解决问题．[尝试应用]如图2中，作于M，作点D关于直线的对称点E，连接，．设．由垂直平分线段，推出，推出，利用勾股定理求出的值即可．[实践创新]如图3中，连接，过点F作于M，于N，过点C作于H．由题意，推出，推出当的值最小时，的值最大，如图4中，过点C作，使得，作点K关于直线的对称点J，连接交于E，连接交于T，此时的值最小，最小值的长，据此求出结论．【详解】解：[问题探究]如图1中，过点A作交的延长线于H，连接．∵，∴，∴四边形是矩形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴的最小值为．[尝试应用]如图2中，作于M，作点D关于直线的对称点E，连接，．设．∵四边形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴，在中，，∵垂直平分线段，∴，∴，∴，∴的最小值为，∴的周长的最小值为．[实践创新]如图3中，连接，过点F作于M，于N，过点C作于H．∵的两个内角的角平分线相交于点F，，∴，在中，∵，∴，∴，∴，∴，∴当的值最小时，的值最大，如图4中，过点C作，使得，作点K关于直线的对称点J，连接交于E，在上截取，连接，连接交于T，则四边形是平行四边形，，则，此时的值最小，最小值的长．由图3可知，在中，∵，∴，∴的最小值，∴的最大值．9．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）四边形为正方形，E为对角线上一动点，连接．过点E作交直线于点F，以为邻边作矩形．(1)求证：矩形是正方形；(2)若，，求正方形的边长；(3)点E关于的对称点为P，连接，若的最小值为，①求的长为_______；②正方形的面积的最小值为_______．【答案】(1)见解析(2)(3)①；②【分析】（1）过E作于M，于N，证明四边形是矩形，得到，进而得到，证明得到，然后根据正方形的判定可得结论；（2）先证明得到，过G作于H，则是等腰三角形，进而可得，，在中，利用勾股定理求得即可求解；（3）①作D关于的对称点K，则K在的延长线上，连接交于P，连接交于M，连接，此时值最小，最小值为的长，则，由轴对称性质得到，则，利用勾股定理求解即可；在中，由得，②利用垂线段最短知，当时，取得最小值，此时正方形的面积最小，进而求解的最小值即可．【详解】（1）证明：如图，过E作于M，于N，则，∵四边形是正方形，∴，，∴四边形是矩形，，∴，则，∵四边形是矩形，∴，则，∴，在和中，∴，∴，∴四边形为正方形；（2）解：如图，过G作于H，∵四边形为正方形和四边形是正方形，∴，，，∴，∴，∴，过G作于H，则是等腰三角形，又，∴，∴，在中，，∴正方形的边长为；（3）解：①∵，∴点E关于的对称点P在上，，作D关于的对称点K，则K在的延长线上，连接交于P，连接交于M，连接，此时值最小，最小值为的长，则，由轴对称性质得，则，在中，由得，解得（负值已舍去），故答案为：；②在中，，则，∵点E为上一点，∴当时，取得最小值，∵，，∴的最小值为，∵是正方形的边长，∴正方形的面积的最小为，故答案为：4．【点睛】本题考查正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、轴对称性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短、角平分线的性质等知识，综合性强，涉及知识点较多，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加适当的辅助线构造全等三角形和等腰直角三角形是解答的关键．10．（24-25八年级下·福建·期中）如图，在菱形中，、交于点．(1)若为对角线上一动点，是的中点，请在图中画出当取得最小值时的点，简单写出点的做法，不需要证明；(2)如图，为对角线上一动点，为边上一动点，若的最小值为，这个值恰好与（1）中的最小值相等，求菱形的边长要求画出必要的图形；(3)在（2）的条件下，如图所示，若点是的中点，点为线段上的动点，在绕着点旋转过程中，点的对应点是，直接写出、两点间的距离的最大值和最小值．【答案】(1)见解析(2)(3)、两点间的距离最小值为；、两点间的距离最大值为【分析】（1）连接，交于，当点在处时，最小；（2）作于，交于，此时最小，最小值是的值，由（1）知，是的中点，，根据四边形是菱形得出，从而得出是等边三角形，进一步得出结果；（3）作于，以为圆心，和为半径画圆，则在圆环内运动（包括在大圆和小圆上），进一步得出结果．【详解】（1）解：如图，连接，交于，当点在处时，最小；（2）解：如图，作于，交于，此时最小，最小值是的值，由（1）知，是的中点，，四边形是菱形，，是等边三角形，，；菱形的边长为；（3）解：如图，作于，以为圆心，和为半径画圆，则在圆环内运动（包括在大圆和小圆上），由（2）知，，，当点在处时，、两点间的距离最小，距离为：，当点在点处时，、两点间的距离最大，最大为：．综合训练一、选择题1.已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论错误的是()A.当∠ABC=90°时,它是矩形 B.当AC⊥BD时,它是菱形C.∠ABC=∠ADC D.AC=BD一定成立2.下列结论中,矩形具有而菱形不一定具有的性质是()A.内角和为360° B.对角线互相平分C.对角线相等 D.对角线互相垂直3.在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且AC+BD=10cm,AB=4cm,则△COD的周长为()A.14cm B.9cm C.7cm D.5cm4.如图,AD是△ABC的中线,四边形ADCE是平行四边形,增加下列条件,能判断▱ADCE是菱形的是()A.∠BAC=90° B.∠DAE=90°C.AB=AC D.AB=AE5.如图,▱ABCD与▱DCFE的周长相等,且∠BAD=60°,∠F=110°,则∠DAE的度数为()A.55° B.25°C.30° D.35°6.将一张正方形的纸片按下图所示的方式三次折叠,折叠后再按图所示沿MN裁剪,则可得()A.多个等腰直角三角形 B.一个等腰直角三角形和一个正方形C.四个相同的正方形 D.两个相同的正方形7.如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,对角线AC,BD相交于点O,点P是AD上一动点(不与A,D重合),过点P作AC和BD的垂线,垂足分别为E,F,则PE+PF=()A.125 B.C.35 D.8.将一边长为2的正方形纸片折成四部分,再沿折痕折起来,恰好能不重叠地搭建成一个三棱锥,则三棱锥四个面中最小的面积是()A.1 B.32 C.12 D二、填空题9.如图,在菱形ABCD中,点A在x轴上,点B的坐标为(8,2),点D的坐标为(0,2),则点C的坐标为.

10.如图,以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC,则∠FAB=.

11.如图,∠ACB=90°,△ABF的中位线DE经过点C,且CE=13CD,若AB=6,则BF的长为.12.如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=12,点P在对角线BD上,且BP=BA,连接AP并延长,交DC的延长线于点Q,连接BQ,则BQ的长为.

三、解答题13.如图,在▱ABCD中,点E在AB的延长线上,点F在CD的延长线上,满足BE=DF.连接EF,分别与BC,AD交于点G,H.求证:EG=FH.14.如图,A,B,C三点在同一条直线上,AB=2BC.分别以AB,BC为边作正方形ABEF和正方形BCMN,连接FN,EC.求证:FN=EC.15.如图,在▱ABCD中,AB=3cm,BC=5cm,∠B=60°.G是CD的中点,E是边AD上的动点,EG的延长线与BC的延长线交于点F,连接CE,DF.(1)求证:四边形CEDF是平行四边形;(2)①当AE=cm时,四边形CEDF是矩形;

②当AE=cm时,四边形CEDF是菱形.

(直接写出答案,不需要说明理由)16.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线BD的垂直平分线与AD,BC分别相交于点M,N.(1)求证:四边形BNDM是菱形;(2)若BD=24,MN=10,求菱形BNDM的周长.17.如图①,有一张菱形纸片ABCD,AC=8,BD=6.图①图②图③图④(1)请沿着AC剪一刀,把它分成两部分,把剪开的两部分拼成一个平行四边形,在图②中用实线画出你所拼成的平行四边形;若沿着BD剪开,请在图③中用实线画出