备战2027年高考数学（2026年）真题分类汇编(全国)专题10计数原理与概率统计（原卷版）

专题10计数原理与概率统计考点分类2026年高考命题解读创新考法考点01统计侧重基础统计量（中位数、平均数）的计算与频率分布直方图的应用。强调利用样本数据估计总体特征，如通过频率估计概率。数据情境生活化：引入学校学生成绩、电子元件故障时间等真实数据，考查学生从实际表格中提取信息的能力。考点02计数原理重点考查分组分配问题中的“特殊元素”处理（如甲乙在一起）及二项式定理求特定项系数。逻辑约束复杂化：不再单纯考查排列组合数计算，而是增加了“必须在一起”、“不能在一起”等多重逻辑限制条件，考查分类讨论的严谨性。考点03概率考查互斥事件、对立事件、独立事件的概率计算，以及条件概率的定义与应用。多事件关系综合判断：如上海卷真题，将独立性、互斥性与集合运算结合，考查学生对抽象事件逻辑关系的理解，而非单纯数值计算。考点04随机变量及分布列重点考查离散型随机变量的分布列、数学期望，以及二项分布的实际应用。模型选择与决策：给出不同回归方程（如指数与线性），要求学生通过计算残差绝对值来判断哪个模型预测更精准，体现数据分析的决策导向。考点01统计1．（2026·新课标全国Ⅰ卷·高考真题）样本数据的中位数为（

）A．5 B．6 C．8 D．92．（2026·北京卷·高考真题）现从全校学生中随机抽取200人统计数学成绩，成绩分组及对应人数如下：成绩分组人数406060328以频率估计概率，完成下列问题：(1)求数学成绩低于120分的概率；(2)从学校随机抽取4人，求2人不低于120且2人小于94的概率；(3)每组数据取左端、中间、右端，比较、、的大小关系．考点02计数原理1．（2026·新课标全国Ⅱ卷·高考真题）现有甲、乙、丙、丁等8人分成A、B两个技术小组，要求每组4人，且甲、乙必须在一起，丙、丁不能在一起，则不同的分配方案有（

）A．10种 B．12种 C．16种 D．24种2．（2026·北京卷·高考真题）已知的展开式中的的系数是280，则（

）A．2 B．-2 C．1 D．-13．（2026·上海卷·高考真题）的二项展开式中，的系数为____________.4．（2026·上海卷·高考真题）在5个人中选3个人去演讲，若甲一定去，则一共有____________种选法.5．（2026·天津卷·高考真题）展开式中的系数为__________．考点03概率1．（2026·上海卷·高考真题）事件和事件相互独立，“和至少一个发生”的对立事件是（

）．A． B． C． D．2．（2026·上海卷·高考真题）已知事件，互斥，，，则__________．3．（2026·天津卷·高考真题）箱子里有一个红球，两个黄球，三个白球，有放回的取三次，三次都没取到黄球的概率是__________；在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是__________．4．（2026·上海卷·高考真题）某兴趣班共150人，年龄分布及兴趣爱好统计如下：年龄剪纸摄影画画人数8451055650(1)现采用分层抽样抽取30人，其中抽到年龄在岁的有多少人？(2)该兴趣班150人的平均年龄是多少？(3)现从150人中任意抽选1人，记抽到的学员年龄在为事件，记抽到学员爱好摄影为事件.事件与是否独立？请说明理由.考点04随机变量及其分布列1．（2026·新课标全国Ⅰ卷·高考真题）设为空间中64个点构成的集合，点，记样本空间，从中随机取一个点，定义随机变量如下：对中的每个点，令，则的数学期望值为（

）A． B． C．0 D．2．（2026·上海卷·高考真题）已知随机变量的分布为，且，则__________．3．（2026·新课标全国Ⅰ卷·高考真题）设整数．某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮次，当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习．设该同学每次投中的概率为，各次投中与否相互独立．记为停止练习时该同学的投篮次数．(1)当，时，求的分布列；(2)设，均为自然数．（i）当时，求；（ii）当时，证明：．4．（2026·新课标全国Ⅱ卷·高考真题）某工厂抽取一批电子元件检测，记录第一次出故障的时间（天），然后绘制出如下有关于“首次故障时间”与“对应频率”的频率分布直方图：(1)求第一四分位数和中位数；(2)设为首次故障时间小于365天的概率估计值．（ⅰ）求；（ⅱ）已知该工厂向某用户销售了100件电子元件，X为这100件产品首次出现故障时间小于365天的件数，若X~B100,p，求和．考点05统计案例1．（2026·天津卷·高考真题）调查候鸟和温度的关系，在不同温度下统计候鸟的数量，所得数据如图所示，其中相关系数，根据最小二乘法算得：，下列说法正确的是（

）A．与负相关 B．当时，一定为1359C．当时，一定小于1359 D．两变量无线性关系2．（2026·上海卷·高考真题）某工厂为进行环境保护和改善，对2023年前九年间空气中颗粒物密度和二氧化硫密度进行了监测和记录，数据如下：颗粒物密度101.0287.0257.4721.8511.768.865.034.633.86二氧化硫密度119.4781.9453.209.166.604.403.313.353.86(1)为进一步研究，从这9年间随机抽取一年，该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率是多少？(2)为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性，该工厂应选取茎叶图、扇形图、散点图中的哪一种进行分析，并请你判断相关系数在，，哪个区间内？（直接写结论）(3)2023年前9年的年份()的平均数为2018，(颗粒物密度)关于(年份)的回归方程拟采用，或.已知2023年实际颗粒物密度为3.88，则哪个回归方程对于2023年的预测值与实际值的差值绝对值更小？参考数据：一、单选题1．（2026·湖南长沙·三模）一组数据升序排列为：，已知这组数据中位数是，的值为（）A．5 B．6 C．7 D．82．（2026·浙江绍兴·模拟预测）在的展开式中，含有项的系数为（

）A． B． C． D．3．（2026·山东泰安·模拟预测）5名同学站成一排拍照，其中甲、乙两人必须相邻，则不同排法种数为（

）A．24 B．48 C．72 D．964．（2026·江苏无锡·模拟预测）已知为两个随机事件，，，则下列结论错误的是（

）A．若，则 B．若独立，则C．若独立，则 D．若互斥，则5．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若随机变量，已知，则为（

）A．1 B．2 C．4 D．86．（2026·湖南常德·一模）已知变量和有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为y=2.2x+a，则（

）235657915A．经验回归直线必过点 B．C．对应的样本点的残差为 D．当时，预测值y=15.67．（2026·山东东营·模拟预测）已知随机变量X服从正态分布，若，则的最大值为（

）A． B． C．1 D．28．（2026·上海杨浦·模拟预测）一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图），现用红蓝两种颜色对小矩形的边进行染色，若要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝色边，则不同染色的方法数为（

）

A．32 B．48 C．64 D．82二、多选题9．（2026·湖北武汉·三模）关于多项式的展开式，下列结论正确的是（

）A．各项系数之和为32 B．常数项为80C．项的系数为 D．展开式一共有21项10．（2026·山西忻州·模拟预测）有一组样本数据，，…，，其平均数为，方差为（）．现向这组数据中加入两个新数据，（），得到一组新的样本数据，其平均数为，方差为，则下列说法正确的是（

）A．B．新样本数据的中位数一定等于原样本数据的中位数C．若，则D．11．（2026·江苏南京·三模）已知，当时，可以认为，如果，当，可以认为.某校高中有学生人，近视人数有人.从中随机抽取人，记这人中近视人数为随机变量；若从中有放回的一个一个的抽查人，这人中近视人数为随机变量.则（

）附：若随机变量ξ服从正态分布，则，，．A． B．C．随机变量的取值在之间的概率大于0.6826 D．12．（2026·河北保定·三模）某科技公司推出了一项全民互动体验项目，该项目利用AI技术为用户生成个性化数字人形象.已知每位用户生成的数字人形象相互独立，且遵循以下生成规则：①风格类型分为国风、科技风、萌趣风三类，每种类型生成的概率分别为②动作特效分为抱拳、奔跑、比心三类，动作特效的生成概率与风格类型相关，其规律如下，若生成的风格类型为国风，则生成的动作特效为抱拳、奔跑、比心的概率分别为；若生成的风格类型为科技风，则生成的动作特效为抱拳、奔跑、比心的概率均为；若生成的风格类型为萌趣风，则生成的动作特效为抱拳、奔跑、比心的概率分别为③隐藏款判定，若生成的数字人形象的风格类型与动作特效满足国风配抱拳或科技风配奔跑或萌趣风配比心，则该数字人形象为隐藏款，否则为普通款.下列说法正确的是（

）A．随机抽取1位用户，则事件“数字人形象风格类型为科技风”与事件“数字人形象动作特效为奔跑”相互独立B．随机抽取1位用户，则该用户的数字人形象为隐藏款的概率是C．随机抽取9位用户，记生成的数字人形象为隐藏款的人数为随机变量，则最大D．随机抽取2位用户，记生成的数字人形象为隐藏款的人数为随机变量，另外随机抽取3位用户，记生成的数字人形象为普通款且动作特效为奔跑的人数为随机变量η，则三、填空题13．（2026·山东聊城·模拟预测）已知，则___________．14．（2026·陕西西安·模拟预测）某AI公司有男性30人，女性10人，在一次知识竞技团建中，男性平均成绩为110分，方差为55，女性平均成绩为130分，方差为95，则在这次团建中，该公司的平均成绩为__________分，方差为__________．15．（2026·福建泉州·模拟预测）为弘扬志愿服务精神，学校鼓励同学们积极参与志愿服务活动.现安排甲、乙、丙、丁共四名同学参加某日早上、中午、晚上三个时段的志愿服务，每个时段需安排2名同学，分别负责接待和登记.若每位同学至少安排一个时段，且甲不能排早上，乙丙不能排同一时段，则安排方法总数为__________.16．（2026·山东日照·模拟预测）若甲、乙两名同学进行投篮游戏，甲投球入篮的概率为，乙投球入篮的概率为.经过两人约定，游戏规则如下：若甲投球未入篮，则下一球由乙投球；若乙投球未入篮，则下一球等可能地由甲、乙投球，如此循环，直到一名同学投球入篮，则该学生获胜.通过硬币裁定，由甲先进行投篮.若甲、乙两名同学的投篮次数不限，则最终乙获胜的概率为________.四、解答题17．（2026·湖北·模拟预测）台灯是夜晚学习的好搭档，台灯照射的光通常为两类：白光和黄光.白光的亮度通常高于黄光，而黄光能够有效地保护视力.某校对学生的近视情况与夜晚台灯光照的颜色进行问卷调查，得到下表：白光黄光近视8060不近视4060(1)根据小概率值的独立性检验，分析学生的近视情况是否与夜晚台灯光照的颜色有关；(2)用频率估计概率，从使用发出白光的台灯的学生中抽取3名，求他们中近视人数为2的概率.附：，0.050.010.0013.8416.63510.82818．（2026·山西运城·模拟预测）设某幼苗从观察之日起，第天的高度为，测得的一些数据如下表所示：第度0479111213作出这组数据的散点图发现：（）与（天）之间近似满足关系式，其中，均为常数．(1)试借助一元线性回归模型，根据所给数据，用最小二乘法对，作出估计，并求出关于的经验回归方程；(2)在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的3个点，记这3个点中幼苗的高度大于的点的个数为，其中为表格中所给的幼苗高度的平均数，试求随机变量的分布列和数学期望．参考数据：令，，，，．参考公式：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，．19．（2026·陕西·一模）年被业界公认为“具身智能元年”，得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言-动作大模型的成熟，人工智能已经不再是概念和愿景，而是开始真实地走进企业和家庭，重新定义人类的工作和生活．新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞赛活动，活动分两轮进行．第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格．已知小明、小华、小方3位同学通过第一轮的概率均为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为，假设他们之间通过与否相互独立．(1)求这3人中至多有2人通过第一轮的概率；(2)从3人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率；(3)设这3人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望．20．（2026·陕西西安·模拟预测）一个袋子中装有个大小相同的小球，编号分别为，且，.进行两次实验：第一次：从中不放回地随机取出个球，记所取球的编号组成的集合为；第一次实验完成后，将球放回袋中，再进行第二次实验；第二次：从中不放回地随机取出个球，记所取球的编号组成的集合为.设随机变量表示的元素个数.(1)