【HPM视角下弧度制教学设计案例分析7000字】

PAGE25HPM视角下弧度制教学设计案例分析目录TOC\o"1-3"\h\u23289HPM视角下弧度制教学设计案例分析 172311.1课标与教材中的弧度制 151531.1.1课标中的弧度制 1241411.1.2教材中的弧度制 2316181.2HPM视角下弧度制的教学设计 8156561.2.1教学目标的确立 8181951.2.2教学设计 9114381.3HPM教学案例分析 13根据HPM教学设计理论框架，本研究的教学设计将在发生教学法思想、学生对弧度制概念的理解、弧度制的历史与重构、课标教材中的弧度制四个方面的基础上进行教学设计.为确保课例的质量，本章还将利用HPM课例评价框架对初步设计的课例进行分析评价.1.1课标与教材中的弧度制1.1.1课标中的弧度制《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准（2017年版）》）是数学课程的纲领性文件，促进了学生的全面发展，为教师教学指明方向，是评价教学质量的基础.其中，《标准（2017版）》在任意角与弧度制内容上的变化见下表1.1.表1.1课标中弧度制教学目标的变化《标准（实验）》REF_Ref31276\w\h[39]《标准（2017版）》变化了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.增加“体会引入弧度制的必要性”.新课标增加了“体会引入弧度制的必要性”这一教学目标.这确实也是教师在教学弧度制时容易忽视的，通过弧度制教学可以让学生感悟数学抽象的层次性，在这一变化中，可以看出新课标在培养学生数学核心素养方面的变化，在HPM视角下弧度制的教学设计中更应注意这一目标的实现.并且在教育建议部分《标准（2017版）》给出了案例3以帮助教师体会引入弧度制的必要性，在这个案例中，课标给出“对于三角函数的教学，为什么初中数学通过直角三角形讲述，而高中数学要通过单位圆讲述？”REF_Ref27008\w\h[1]这一问题，明白这一问题将利于学生进一步体会学习弧度制的必要性.1.1.2教材中的弧度制教材中所呈现出关于弧度制的第一部分见下图1.1.图1.1弧度制的教材呈现1——弧度制的引入教材通过类比长度、质量有不同度量单位，引出角度的不同测量，主题的引入非常简明.尽管使用类比法给了弧度制引入的“理由”，但此种引入方式并不能使学生产生认知矛盾，不能使学生具备足够的学习动机，因此教师还应探索更合适的课题引入.比如在弧度制的历史发展过程中，我们可以看到弧度制引入的必要性体现在两方面：统一进制、简化公式及计算.为此，我们可以在这两方面考虑主题的引入，借鉴历史来还原知识的发生过程.教材中所呈现出关于弧度制的第二部分见下图1.2.图1.2弧度制的教材呈现2——弧度制的探究教材让学生在同心圆中比较lr与l弧度制的探究是本节课的关键所在，学生应在这个过程中明白为什么突然开始在圆中讨论角、弧与半径之间的关系？为什么不是在三角形中？讨论角由在三角形转到在圆中的原因，是高中与初中讨论三角函数不同的关键所在.另外，在该环节中学生还应不局限于教材，通过发散思想给出多元的解决问题的方法.因此，在教学实施时，教师应注意结合历史，让探究过程自然发生，注意引导学生独立发现解决问题的方法.事实上，欧拉对于弧度制的发现过程与教材所给出的方法不尽相同.教材中所呈现出关于弧度制的第三部分见下图1.3.图1.3弧度制的教材呈现3——弧度制概念的得出在弧度制概念得出中，教材首先给出1弧度的角的定义以及弧度的符号表示；接着，给出单位圆定义以及认识单位圆中1弧度的角.最后探索圆中任意角的弧度表示：|α|=l教材中所呈现出关于弧度制的第四部分见下图1.1.图1.4弧度制的教材呈现4——联系旧知该部分教材介绍了弧度制与角度制的换算以及弧度制与实数集之间建立的一一对应关系.在练习换算公式时，教材所给出的互化表格只有度、弧度两行，笔者认为可以中间添加“弧长”这一行.因为角度制与弧度制都以弧长为中介进行定义，这样让学生在填写表格时不断进行特殊角的弧度与角度互化的操作，根据杜宾斯基等人的APOS理论，让学生在操作中形成“过程对象”，再从过程中抽象出角度制与弧度制的关系，将会对学生产生更深刻的印象.教材中所呈现出关于弧度制的第五部分见下图1.5、1.6.图1.5弧度制的教材呈现5——巩固练习图1.6弧度制的教材呈现5——巩固练习该部分教材呈现了一些经典例题.例4利于让学生认识非特殊角的弧度计算，突破常态思维；例5借助计算器计算，帮助学生善于利用现代技术进行学习；例6让学生进一步了解到学习弧度制的必要性：简化公式.该部分中的“例题”是值得借鉴的，因此，本研究的设计中将保留部分例题的呈现.不过，对于教材的课后习题仅局限在“换算公式”与“弧度公式”两个知识点，形成的概念表象形式单一，可以考虑创新弧度制与图形相结合的题目，加深学生对弧度制的直观理解，进一步理解弧度制概念的本质.总之，教材之中值得借鉴之处非常多.比如教材展示的知识点是丰富的，另外教材给出的弧度制的探索过程是值得参考的，还有部分例题也非常精髓，这都为本研究的教学设计提供指导.但教材中关于历史元素的呈现仅利用附加式呈现在课本上，若能以历史发展顺序为依据重构知识，学生接受起来将会更流畅.因此本研究将在教材展示内容的基础上，扬长避短地进行HPM视角下弧度制的教学设计.1.2HPM视角下弧度制的教学设计1.2.1教学目标的确立结合对课标与教材的研究，笔者认为在设计弧度制这节课的教学目标时应注意以下几个方面.在知识与技能方面，课标中给出要实现“了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化”的目标，在教材中我们还发现学生也应理解角的集合与实数集合间一一对应的关系.在过程与方法方面，要借鉴数学史中弧度制的探索过程，重构学生的探索过程，过程中要重视学生的自主探究学习.在情感态度与价值观方面，除了让学生体会本节课渗透的数学思想方法外，课标也强调了应注意让学生体会引入弧度制的必要性.前面在弧度制数学史分析中，我们了解到弧度制必要性体现在两方面：统一进制、简化公式与计算，因此，我们应在这两方面来让学生深刻体会弧度制的优势.最终，笔者确定了弧度制教学的以下教学目标，见表1.2.表1.2弧度制教学目标弧度制教学目标知识与技能（1）理解1弧度的角及弧度的定义；（2）掌握角度与弧度的换算公式；（3）理解角的集合与实数集R之间的一一对应关系.过程与方法（1）通过统一进制的需要体会引入弧度制的必要性；（2）通过数形结合的方法主动探索弧度制概念的生成；（3）比较两种度量角的方法探究角度制与弧度制之间的转化；（4）通过习题掌握弧长公式和扇形公式.情感态度与价值观（1）通过弧度制定义探索过程，培养学生主动探索、勇于发现的精神，渗透数形结合的思想方法体会引入弧度制的必要性；（2）通过弧度制与角度制之间的联系与转化，渗透辩证唯物主义思想；（3）通过简化扇形公式进一步体会弧度制优势.1.2.2教学设计在上述研究基础之上，笔者设计了HPM视角下的弧度制教学设计原型，形成以下最终的教学设计.教学环节教学过程设计意图（一）问题引入，揭示主题师：请同学们观察屏幕上学习过的函数，对比其自变量x的取值，找出最为不同的那个函数，并阐述理由.生：正弦函数f(x)=sinx最为不同.因为其他函数自变量的取值都是R，而正弦函数的自变量是一个角度.师：具体来说，角度和实数有什么不一样？生：进制不同.师：非常好.我们数学讲求对称美，然而在正弦函数中自变量x与因变量y进制却不同，违背了我们的数学美.并且在一个函数中使用不同的进制在解决问题时会产生不便.因此，本节课要解决的问题就是让这个式子变得对称.在历史分析中我们了解到弧度制引入的两个原因，其中，弧度制引入更重要的意义在于其对公式的简化，但其简便性更多体现在高等数学的微积分公式中，针对初等数学，仅限于弧长、扇形面积公式的简化，因此我认为这个引入的原因并不能使学生在现阶段感到深刻.相反，由于进制不统一使函数无法进行四则运算，或由于进制不一致使得三角函数左右不对称等，更能使学生体会到弧度制引入的必要与自然性并产生更大的学习动机.（二）追寻历史，探索新知师：要使x与y进制相同，那么我们应让x与y都是六十进制数或都为十进制数，大家想选哪种办法？生：第二种，现在人们习惯使用十进制数.师：大家的直觉非常准确.事实上，第一种办法已有数学家替我们走过.这个人叫做希帕霍斯，早于我们两千多年出生，那时人们习惯使用六十进制数，但随着十进制数的流行与使用，人们不得不开始探索第二种统一办法，但希帕霍斯进行统一的方法与思想仍值得我们借鉴.师：好了，现在我们要解决的问题是要将自变量x用十进制数来表示，自变量x是一个角度，也就是说，我们如何用一个十进制的数来度量角度呢？开动脑筋，大胆思考，你们有什么办法吗？生：将1°对应到实数1；2°对应到实数2……师：这种办法是否可以做到角度集合与实数集合间一一对应？生：可以！师：这不失为一种办法，此处应有掌声！师：但美中不足，这种办法仅从数的角度出发做了一个人为规定，好像不太严谨与合理.我们数学上有一种重要的思想叫数形结合，看能否从“形”上先进行统一，再实现对应的“数”的统一，最终实现进制一致？“形”在哪里？生：自变量x代表角，因变量y代表边，在“形”上将角用边表示，即可在“数”上实现将角用十进制数表示.师：太棒了！当务之急想办法用边来表示角.但单独来看角和边并不能找到它们的联系，我们应找到一个既含有角又含边的图形来进行研究.生1：三角形！生2：我认为应选择圆形.我们学习了任意角，而三角形中的角都小于180°，而圆中既有半径作为边的元素又有圆心角可以表示任意角.师：非常好.那么我们想用边表示角，能否用圆中的半径表示角？生：不可以，同心圆中相同的角所对应的半径不相同师：也就是没有实现角与实数间的一一对应（PPT展示），那圆中还有别的元素吗？生：弧长.师：是的，18世纪的欧拉也想到了“用角所对应的弧长来表示角”，那这种方法可行吗?生：不可行，仍不能实现一一对应.师：那怎么办呢？欧拉没有放弃，在形上行不通，他又在数上进行了分析.对比l与l’的弧长公式，我们发现，是什么影响了相同角的弧长？生：半径，应考虑消除半径的影响.师：如何消除半径的影响？给大家三分钟小组讨论.生1：根据几何意义l2πr=n360，这样角度生2：lr=nπ180，这样角度师：大家的想法有很多，并且都是合理的，但实践证明第2组同学的方法是最简洁对称且实用的，后面学习大家会慢慢体会，但大家积极动脑的精神值得表扬.师：现在老师用几何画板为大家直观的演示一下，看看当n固定时，在任意圆中lr生：α=师：但是还有个问题，lr是个正值，但α生：给α加绝对值师：那么当l=R时，α=？因此，我们有了1弧度角的定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.单位用符号rad.师：1935年，弧度被称为“弪”，意为圆心角的弧度数由弧长l与半径r共同决定，但在1956年版《数学名词》中废除了此字，定为“弧度”.以往的弧度制课堂仅呈现弧度制的最终形式，而了解其历史发展过程后发现，角与边在统一进制时不仅一种方式，二者既可以统一为六十进制，又可以统一为十进制，并且统一为十进制的方式实则也不止一种，之所以如今这样“规定”弧度制，只不过由于其特殊优势才在历史筛选中得以保留.因此，此环节是学生“火热思考”的过程，学生经历确定研究问题、研究方向，最终将本节课任务确定为使角度的度量用十进制数表示.在统一为十进制时，激励学生自己思考确定其十进制统一方式，在多种方式中最终体会弧度制本质与优势，真正经历知识发生过程，使知识发生的更加自然.本环节学生在探索环节最重要的思想方法是数形结合,这也是本节课的创新点.学生在仅仅用“数”解决问题时，解决方法并不合理；而数形结合后可以使解决办法更加严谨.在这个过程中，我们借助圆为工具，为学生摒弃使用直角三角形研究三角函数，代替以在单位圆中学习三角函数做铺垫.最重要的是学生在这个过程中将体会到“α=l另外，本环节中三次提及数学史，目的在于使学生感悟数学家在解决问题时遇到困难时的坚定的意志，同时也增强学生学习数学的自信心.（三）巩固新知，加深理解例1当AB弧的长度为2r、3r时，正角∠AOB为多少弧度？例2观察图中标出的角，请用弧度表示角的大小？例3利用弧度制证明下列关于扇形的公式：（1）l=αr（2）S=师：对比角度制与弧度制下的弧长、面积公式，体会公式简洁性，再给出弧度制与角度制下的高等数学中的一些重要公式，进一步体会弧度制的优越性.在探索出弧度制定义后，为了加深学生的理解，笔者选择三个例题进行练习.其中，在分析教材后我们保留了例3，并进一步拓展弧度制优势；另外由于多数学生靠死记硬背记住公式，缺少对应图形的理解，因此笔者增加例2.（四）联系旧知，同化新知师：学习了新知识，不能忘记旧知识.那角度制与弧度制间能否实现相互转化呢？请同学们来看一下：若一个半径为r的圆的圆心角为下列特殊角，你能填写表格吗？角度0°30°45°135°360°弧长弧度πππ师：同学们来观察一下，以前我们说30°的正弦值为12，式子表示为sin30°=12师：请同学们再思考：1°=_____rad在弧度制下将57.3°变为了1rad，将一个大数变成了小数，这样简化了计算，再一次印证弧度制的优越性例4−210°=______rad67这属于历史外的知识点，在以往的课堂中，不少教师把这部分当做本节课的重难点，但笔者认为，在经历了前面的教学过程后，该部分内容将自然发生，且学生接受起来会非常轻松.在这个过程不强调记忆公式，而是继续在公式中体会弧度概念的内涵.（五）归纳总结，梳理新知生：总结本节课所学内容师：希望大家能在生活当中提出问题并解决问题，在解决问题的过程中就是一个创新的过程.知识拓展：小明建造一个扇形的小花园，由于材料有限，最多只能围成周长为80米的扇形，那么该花园最大能建成多少面积？巩固本节课所学并回顾概念产生过程，体会数学思想与方法，感受弧度制在数学中所体现的对称美，感悟数学文化.最后的拓展题使学生体会弧度制简化公式的作用.1.3HPM教学案例分析（1）史料的适切性本节课选取的史料有古希腊数学家希帕霍斯与他的首张弦表、欧拉与弧度制的发明、“弧度”的由来.三则史料皆符合史实，有确切依据，且涉及数学背后的故事，符合科学性原则与趣味性原则；三则史料由前到后介绍了弧度制的产生过程，便于学生了解弧度制本质，从而实现教学目标，具有有效性；三则史料选自发展过程中具有代表性的史实，希帕霍斯的首张弦表因理解难度大，仅展示其统一进制的数学思想，各史料符合学生认知基础，具有可学性；希帕霍斯与他的弦表教材中虽未涉及，但可以体现统一进制的思想，笔者在课上进行了补充，也为弧度制产生进行过渡，另外，欧拉与弧度制的产生这段数学史采用学生亲身经历并探索的方式进行学习，在新颖性上比较突出.（2）方式的多元性本教学设计意在通过重构弧度制的历史，让学生通过探究活动经历弧度制产生过程.本节课的