专题18 一次函数与方程（组）、不等式的九类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版八年级下册（原卷版）

1/10专题18一次函数与方程（组）、不等式的九类综合题型目录TOC\o"1-2"\h\u典例详解类型一、由直线与坐标轴的交点求一元一次方程的解类型二、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点类型三、两直线的交点与二元一次方程组的解类型四、利用图象法求方程（组）的解类型五、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集类型六、根据两条直线的交点求不等式的解集类型七、一元一次不等式与一次函数实际综合问题类型八、一次函数与一元一次不等式、方程的综合问题类型九、含绝对值的函数与一元一次不等的综合问题压轴专练类型一、由直线与坐标轴的交点求一元一次方程的解方法总结1.找交点：一次函数y=kx+b与x轴交点(-bk,0)满足kx+b=02.对应方程解：该交点的横坐标即方程kx+b=0的解。解题技巧1.令y=0：直接求x值即为方程的解。2.图象辅助：在坐标系中画出直线，与x轴交点的横坐标一目了然。例1．（25-26八年级·上海·假期作业）已知一次函数的图象经过点和点，那么关于的方程的解为__________．【变式1-1】（25-26八年级上·山东烟台·期末）一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，则关于的方程的解是_____．【变式1-2】（25-26八年级上·贵州·期末）如图，直线与x轴的交点是，则关于x的方程的解是______．【变式1-3】（25-26八年级上·广西梧州·期末）如图，已知一次函数的图象分别与、轴交于、两点，已知，，则关于的方程的解为____________．类型二、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点方法总结1.方程对应函数：一元一次方程kx+b=0的解对应一次函数y=kx+b与x轴交点的横坐标。2.交点坐标：交点即为(-bk,0)，其中-b解题技巧1.解即横坐标：方程的解x0就是直线与x轴交点的横坐标。2.画图验证：在坐标系中画出直线，检查交点横坐标是否等于方程解。例2．（24-25八年级下·贵州贵阳·月考）直线与轴的交点的坐标是，则关于的方程的解是______．【变式2-1】（24-25八年级上·陕西西安·月考）若关于的方程的解为，则直线一定经过点_______．【变式2-2】（25-26八年级上·宁夏银川·期中）直线上有一点的坐标是，则关于的方程的解是_______．【变式2-3】（24-25八年级上·陕西·期中）已知关于x的方程的解为，则一次函数的图象与x轴的交点坐标为______．类型三、两直线的交点与二元一次方程组的解方法总结1.对应关系：两条直线的交点坐标即为联立两直线方程所得二元一次方程组的解。2.求解方法：解方程组得(x0,y0)，即交点坐标。解题技巧1.代入法：用代入或加减消元解方程组，求交点。2.图象法：在坐标系中画出两直线，交点坐标即为解。例3．（24-25八年级下·重庆·期中）直线与直线相交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解为______．【变式3-1】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解是，则一次函数与（k是常数，）的图像的交点坐标是______．【变式3-2】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）在同一平面直角坐标系中，直线与（为常数）相交于点，则关于x，y的方程组的解为__________．【变式3-3】（25-26八年级上·山东青岛·期末）已知一次函数与图象的交点坐标是，则关于，的方程组的解为_______．类型四、利用图象法求方程（组）的解方法总结1.方程化函数：将方程（组）转化为函数（组），如y=kx+b与y=mx+n。2.找交点坐标：在同一坐标系中画出函数图象，交点横坐标即方程的解，交点坐标即方程组的解。解题技巧1.画准直线：取两点确定直线，确保图象准确。2.估算交点：若交点非整数，通过坐标轴刻度估算近似解。例4．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）如图是一次函数的图象，则关于的方程的解为___________．【变式4-1】（25-26八年级上·山东青岛·周测）根据一次函数的图象，写出下列问题的答案：（1）关于x的方程的解是______；（2）关于x的方程的解是______；【变式4-2】（25-26八年级下·甘肃兰州·开学考试）如图，函数和的图象交于点，则方程组的解是_____．【变式4-3】（25-26八年级上·山西运城·期末）如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是________．类型五、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集方法总结1.找交点：求出直线y=kx+b与x轴交点(-bk,0)和与y轴交点(0,b2.数形结合：根据不等式（如kx+b>0）对应直线在x轴上方部分，结合图象写出解集。解题技巧1.先画草图：画出直线的大致位置，直观判断不等式对应的x范围。2.注意k符号：k>0时，kx+b>0解集为x>交点横坐标；k<0时相反。例5．（25-26八年级下·全国·期中）如图，一次函数的图象经过点与，则关于的不等式的解集是．【变式5-1】（24-25八年级上·浙江温州·月考）如图是一次函数的图象，当时，x的取值范围是．【变式5-2】（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，直线（k，b为常数，且）经过和两点，则关于x的不等式组的解集为．

【变式5-3】（25-26八年级上·上海·期中）如果直线过第二、三、四象限，与x轴的交点为，那么关于x的不等式的解集是．类型六、根据两条直线的交点求不等式的解集方法总结1.找交点：联立两直线方程求出交点坐标(x0,y0)。2.图象定范围：画出两直线草图，根据不等号方向（如y1>y2）确定对应图象的上下关系，写出x的取值范围。解题技巧1.画图辅助：在坐标系中画出两直线，交点处比较函数值大小，直观确定范围。2.分清谁上谁下：y1>y2表示直线l1在l2上方部分对应的x。例6．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集是．【变式6-1】（25-26八年级上·安徽·期末）一次函数与的图像如图所示，则不等式组的解集为．【变式6-2】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图所示，一次函数与的图象交于，则关于的一元一次不等式的解集是．【变式6-3】（25-26九年级上·四川南充·期末）在直角坐标系中，直线与直线的图象如图所示，两条直线的交点坐标为，那么不等式的解集为．类型七、一元一次不等式与一次函数实际综合问题方法总结1.建模列式：设自变量，根据题意建立一次函数关系式，并将比较大小、范围问题转化为不等式。2.数形结合：画出函数图象，利用交点、高低关系求解不等式，结合实际背景确定答案。解题技巧1.找临界点：两函数值相等时的x值是关键分界点。2.结合实际：答案需考虑x的实际意义（如非负整数、范围限制）。例7．（25-26九年级上·陕西宝鸡·期末）人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近年来得到了迅猛发展．某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校计划购买A、B两种型号的机器人模型共40个，A型、B型机器人模型的单价分别为400元/个、240元/个．设学校购买A型机器人个，购买这两种机器人模型共花费元．(1)求与之间的函数关系式；(2)若购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，问购买A型机器人模型多少个时花费最少？最少费用是多少？【变式7-1】（2026八年级上·陕西西安·专题练习）学校准备购进一批节能灯，已知只型节能灯和只型节能灯共需元；只型节能灯和只型节能灯共需元．(1)求一只型节能灯和一只型节能灯的售价各是多少元；(2)学校准备购进这两种型号的节能灯共只，并且型节能灯的数量不多于型节能灯数量的倍，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．【变式7-2】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）近年来，“新能源换电站”成为城市绿色基建的重点项目．某城区计划建设、两种换电站共座，已知建设座种换电站需投资万元，座种换电站需投资万元．设建设种换电站座，总投资为万元．(1)求关于的函数表达式；(2)如果要求种换电站的数量不超过种换电站数量的倍，那么建设多少座种换电站可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？【变式7-3】（24-25九年级上·黑龙江大庆·开学考试）福鼎市某商店准备购进两种商品，种商品每件进价20元，种商品每件进价15元．将种商品的每件售价定为65元，种商品的每件售价定为45元．(1)商店计划用不超过700元的资金购进两种商品共40件，请问：种商品的进货数量不超过多少件？(2)“五一”期间，商店决定开展优惠活动，准备对每件种商品的售价优惠（）元，但种商品售价不变；已知种商品的进货数量不低于16件，在（1）的条件下，求销售这40件商品商店获得利润最大时的进货方案．类型八、一次函数与一元一次不等式、方程的综合问题方法总结1.数形结合：一次函数与x轴交点对应方程的解；图象上、下部分对应不等式的解集。2.转化统一：将方程、不等式问题转化为函数图象的位置关系问题，利用交点求解。解题技巧1.画图分析：画出函数图象，方程解即交点横坐标，不等式解即图象在某区域对应的x范围。2.联立求交点：方程组的解对应两直线交点坐标，是解决综合问题的关键。例8．（24-25九年级上·山东临沂·开学考试）在如图所示的坐标系下，(1)画出函数与的图象，并利用图象解答下列问题：(2)求方程组；(3)不等式【变式8-1】（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，直线：与直线：相交于点．(1)求的值；(2)写出方程组的解；(3)写出时，的取值范围．【变式8-2】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，一次函数的图象与轴分别交于两点，与正比例函数交于点．(1)关于的方程的解是________；(2)关于的二元一次方程组的解为_______，关于的不等式的解集为_______；(3)关于的不等式的解集为_______，不等式的解集为_______．【变式8-3】（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，直线：与直线：相交于点，与x轴分别交于A，B两点．(1)求b，m的值，并结合图象写出关于x，y的方程组的解；(2)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集；(3)求的面积；(4)垂直于x轴的直线与直线，分别交于点C，D，若线段CD的长为3，直接写出a的值．类型九、含绝对值的函数与一元一次不等的综合问题方法总结1.分段讨论：根据绝对值内代数式的零点，将函数定义域分段，写出各段函数解析式。2.数形结合：画出分段函数图象，根据图象高低或交点位置，求解不等式。解题技巧1.零点定界：先求出绝对值内代数式等于0的x值，作为分段点。2.分段求解：在每个分段区间内，去掉绝对值转化为普通不等式，再综合各段解集。例9．请用描点法研究函数图象与性质，并用它完成下列各题．①列表：…01234……023210…②描点③连线．(1)_______，并画出函数的图象；(2)当时，最大值_______，最小值_______；(3)求出函数与函数的交点坐标；(4)直接写出的解集．【变式9-1】某校八年级学生在数学的综合与实践活动中，研究了一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系这一课题．在研究过程中，他们将函数确定为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解了一元一次不等式与函数的关系．请你根据以下探究过程，回答问题．(1)作出函数的图象．①列表：x…01…y…0m210…其中，表格中m的值为________；②描点：根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点；③连线：画出该函数的图象．(2)观察函数的图象，回答下列问题：①当________时，函数有最大值，最大值为________；②方程的解是________．(3)已知直线，请结合图象，直接写出满足不等式的x的取值范围________．【变式9-2】在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合函数图象研究函数性质及其应用的过程．下面，我们对函数展开探索，请补充完整以下探索过程：(1)列表：02468525直接写出的值，______，______．(2)在给出的平面直角坐标系中，利用表格中的数据描点、连线画出该函数图象．(3)已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，则不等式的解集为______．一、单选题1．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）由于直线与平行，则方程组的解的情况是（

）A．有唯一解 B．无解 C．无数解 D．有限解2．（25-26八年级下·安徽安庆·开学考试）如图，已知一次函数为常数，且的图象与轴、轴分别交于点，，有下列结论：①图象经过点；②关于的方程的解为；③关于的方程的解为；④当时；其中正确的结论有（

）A．个 B．个 C．个 D．个3．（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）如图是函数与的图象，下列结论正确的是（

）A．关于x的方程的解为B．关于x的方程组的解为C．关于x的不等式的解集为D．当时，4．（2026·山东滨州·一模）已知函数的图象如图，根据图象，下列结论正确的是（

）A．点A的坐标为 B．直线的解析式为C．不等式的解集为 D．当时，y随x的增大而减小二、填空题5．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，已知函数和的图象交于点P，根据图象可得关于x，y的二元一次方程组的解是______6．（25-26八年级上·安徽·期末）一次函数与的图像如图所示，则不等式组的解集为______．7．（25-26八年级·上海·假期作业）如图，已知一次函数与图象的交点坐标为，现有下列四个结论：①；；②方程的解是；③；④若，则；其中正确的结论是_______（填写序号）．8．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．(1)的值为___________；(2)当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，请写出的取值范围___________．三、解答题9．（25-26八年级下·全国·课后作业）在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个平面直角坐标系中分别作出了一次函数和的图象，分别与x轴交于点A，B，两直线相交于点C．已知点，，观察图象并回答下列问题：(1)关于x的方程的解是，关于x的不等式的解集是；(2)求关于x的不等式组的解集．10．（25-26八年级上·河北张家口·期末）如图，直线与x轴交于点，直线与y轴交于点，与直线交于点C．(1)求k，b的值；(2)关于x，y的方程组的解为；(3)若直线平行于x轴，且到x轴的距离为1，求直线被，所截得的线段长．11．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）定义运算：当时，；当时，．如：，，．根据该定义运算完成下列问题：(1)__________，当时，__________；(2)若，求的取值范围；(3)如图，已知直线与相交于点，若，结合图象，直接写出的取值范围是__________．12．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）我们已经学过一次函数，下面我们参照学习一次函数的过程与方法，探究函数的图像与性质．【操作发现】（1）下表是该函数部分的对应值，请在直角坐标系中画出函数的图像．……012…………6420246……结合函数图像，下列说法错误的是：____________；（填写序号）①函数有最小值，没有最大值；②当时，随的增大而减小；③图像为轴对称图形；④直线与图像有两个交点．【尝试应用】（2）在（1）的条件下，当函数值时，自变量的取值范围为_____________________；【拓展提高】（3）①若关于的方程有两个不同的解，请求出的取值范围．②将函数图像进行平移后得到新函数，新函数的图像记为，直线与交于、（点在点左侧）两点，轴上是否存在一点使得的周长最小，若存在，请求出的周长，若不存在，请说明理由．综合训练一、选择题1.下列各图象分别给出了x与y的对应关系,其中y是x的函数的是()2.下列函数:①y=x6;②y=-4x;③y=3-12x;④y=3x2-2;⑤y=x2-(x-3)(x+2);⑥y=6x.A.5个 B.4个 C.3个 D.2个3.某公司市场营销部的个人收入与其每月的销售量成一次函数关系,如图,由图中给出的信息可知,营销人员没有销售时(最低工资)的收入是()A.3100元 B.3000元C.2900元 D.2800元4.下列关于一次函数y=kx+b(k<0,b>0)的说法,错误的是()A.该函数图象经过第二、第一、第四象限 B.y随x的增大而减小C.该函数图象与y轴交于点(0,b) D.当x>-bk时,y>5.一次函数y=kx+b(k≠0,b为常数)的部分对应值如下表:x…012…y…12a2a+3…则该一次函数的解析式为()A.y=x+1 B.y=2x+1 C.y=3x+1 D.y=4x+16.如图,已知点A的坐标为(2,2),点B的坐标为(0,-1),点C在直线y=-x上运动,当CA+CB最小时,点C的坐标为()A.25,-25 BC.-25,25 7.已知一次函数y=32x+m和y=-12x+n的图象都经过点A(-2,0),且与y轴分别交于B,C两点,则△ABC的面积等于(A.2 B.3 C.4 D.68.已知小强家、体育场、文具店在同一直线上,右面的图象反映的过程是:小强从家跑步去体育场,在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔,然后散步走回家.图中x表示时间,y表示小强离家的距离,则下列结论不正确的是()A.小强从家到体育场用了15min B.体育场离文具店1.5kmC.小强在文具店停留了20min D.小强从文具店回家用了35min二、填空题9.已知一次函数的图象过点(3,5)与(-4,-9),则该函数的图象与y轴交点的坐标为.

10.设正比例函数y=mx的图象经过点A(m,4),且y的值随x值的增大而减小,则m=.

11.请写出符合以下两个条件的一个函数解析式.

①过点(-2,1),②在第二象限内,y随x的增大而增大.12.已知直线l1,l2的解析式分别为y1=ax+b,y2=mx+n(0<m<a),根据图中的图象填空:(1)方程组y=ax+(2)当-1≤x≤2时,y2的范围是;

(3)当-3≤y1≤3时,自变量x的取值范围是.

三、解答题13.我们知道,海拔高度每上升1km,温度下降约6℃.某时刻,益阳地面温度为20℃,设高出地面xkm处的温度为y℃.(1)写出y与x之间的函数解析式.(2)已知益阳碧云峰高出地面约500m,求这时山顶的温度大约是多少摄氏度?(3)此刻,有一架飞机飞过益阳上空,若机舱内仪表显示飞机外面的温度为-34℃,求飞机离地面的高度约为多少千米?14.已知一次函数y=kx-4,当x=2时,y=-3.(1)求一次函数的解析式;(2)将该函数的图象向上平移6个单位长度,求平移后的图象与x轴交点的坐标.15.在一次运输任务中,一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地,到达乙地卸货后返回.设汽车从甲地出发x(单位:h)时,汽车与甲地的距离为y(单位:km),y与x的函数关系如图.根据图象信息,解答下列问题:(1)这辆汽车的往、返速度是否相同?请说明理由.(2)求返程中y与x之间的函数解析式.(3)求这辆汽车从甲地出发4h时与甲地的距离.16.如图,过点A(2,0)的两条直线l1,l2分别交y轴于点B,C,其中点B在原点上方,点C在原点下方,已知AB=13.(1)求点B的坐标;(2)若△ABC的面积为4,求直线l2的解析式.17.某镇组织20辆汽车装运完A,B,C三种脐橙共100吨到外地销售.按计划,20辆车都要装运,每辆汽车只能装运同一种脐橙,且必须装满.根据下表提供的信息,解答以下问题.脐橙品种ABC每辆汽车运载量/吨654每吨脐橙获利/百元121610(1)设装运A种脐橙的车为x辆,装运B种脐橙的车为y辆,求y与x之间的函数解析式.(2)如果装运每种脐橙的车都不少于4辆,那么车辆的安排方案有几种?并写出每种安排方案.(3)若要使此次销售获利最大,应采用哪种安排方案?并求出最大利润的值.综合训练一、选择题1.A确定函数的标准为“如果给出了一个x值,相应地就确定了一个y值”,选项B,C,D的图形中,对于x的一个值,y都有多个值与之对应,不符合函数的定义.2.C3.B4.D5.C根据题意得b=1,k+b=2a,6.A连接AB交直线y=-x于点C,此时CA+CB最小.设点A,B所在直线的解析式为y=kx+b(k≠0).将A(2,2),B(0,-1)代入y=kx+b,得2k+∴点A,B所在直线的解析式为y=32x-1联立两直线解析式,得y=-∴当CA+CB最小时,点C的坐标为257.C8.B解析对于A,小强从家到体育场用了15min,故A选项正确;对于B,体育场离文具店2.5-1.5=1(km),故B选项错误;对于C,小强在文具店停留了65-45=20(min),故C选项正确;对于D,小强从文具店回家用了100-65=35(min),故D选项正确.故选B.二、填空题9.(0,-1)10.-211.答案不唯一,如y=x+312.(1)x=2,y=3(2)0≤y2≤3(3)0三、解答题13.解(1)y=2