2027年高考数学一轮复习资料 专题17 双曲线及其应用

专题 双曲线及其应理·盘·破·辨·点·双曲线的集合表示：PMMF1MF22a,02aF1F2PF1PF22aF1F2（a0）F2PF2PF12aF1F2（a0）F1aPF1PF22aF1F2aPF1PF22aF1F2【真题实战】（2025·山东泰安·三模）Cx2y21F1F2，PC上一动PyPF1F2距离之和的比值（）A．恒为定值C．不为定值但有最小值

B．恒为定值D．不为定值但有最大值x22yPx22y

x22x22

2,0，

xx22y2x22y x22y2x22yx22y2x22y x22y2x22y42 4PC

x

44

2，为定值.yx2y2 1 y2x2 1 F1c0F2cF10cF20abcc2a2 x≤－ay≤－ay＝± 倍，则C的离心率为（

【解析】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为2a2b2cb7a于是a2b2c2a27a28a2，则c22a，即ec22.故选：D

l:ykx

b2a2k2x22a2mkxa2m2a2b20当b2a2k20，即kb，直线l与双曲线的渐近线平行，直线l当b2a2k20，即kb，设该一元二次方程的判别式为若0，直线与双曲线相交，有两个公共点；若0，直线与双曲线相切，有一个公共点；若，直线与双曲线相离，没有公共点；l:ykx

x2y2

b

Ax,y

Bx,y

1k1k

1（ 0

11

211

x1

AB

y1

（k0 【真题实战】（2025·浙江金华·三模）双曲线C:a2b21(a0b0的离心率为3Fl与双曲线的左支、右支分别交于点A,B，当直线l与y轴垂直时，AB 求双曲线C【答案】(1

72 72 【解析】（1）由直线lyAB

，故2a

，故a3又离心率为3，则c3a3，所以b2c2a26双曲线Cxy1 xty由2x2y2

得2t21y212ty120y1

12t2t21

2t2因为

5y

t所以6y12t21，5y12t21，消去y1得 32t21，解得t3它满足2t2100y 4yy 4y 12t22t2

8

51t故O到直线AB的距离为d1t

ABd11633123

SAOB

,SOABC24SAOF372∣F∣ 372

21a0b02F 条渐近线的距离为3B证明：直线l过定点. 【答案】(1)x 1；(2)证明见解【解析】（1）因为双曲线CFc0，渐近线方程为bxay0a2a2因为双曲线的离心率为2c2

c2

a，解得b a2a2

c 所以双曲线C的方程为x ykx联立x2

，得3k2x22kmxm230

m2则Δ12m2k230x1x23k2x1x23k2 3m23ky1y2kx1mkx2mkx1x2kmx1

3kyykxmkxmkxx2m 6m

3kPAPBx11x21y1y20x1x2x1x21y1y20m2 3m23k3k

3k2

3k

0化简得m2km2k20，即m2kmk0，因为k0m0，所以m2k，所以直线lykxmkx2kkx2所以直线l过定点20x2y2

2】（2025·湖北黄冈·三模）已知双曲线C

0)

为3.F

l:x

MNPNxAPGGNGGH求C 【答案】(1)x 1；(2)证明见解【解析】（1）C的一条渐近线方程为bxy0 b2 =b2 所以b23C

x （2）CF20PF0，PFxmy2，PF与双曲线左，右两支分别交于MN 3 所以

3

Mx,y,Nx,y

2y2 1

PF

1得到3m21y212my90yy

，yy

，所以my

3yy 3m2

1 3m2

1 PFxmy2，又直线lx

，联立可得P(,3)APy1x1

又直线GNyy2，联立可得G1my2y2，NGGHH的坐标是2x22my2,y2，MHyy1

2

y2

xxx1 y0x1my12x2my22x4my1y22y24y13y1y22y24y1y1y2y2MH过定点10

y2

y2 1】（2025·云南楚雄·模拟预测）Ea2b21a0,b0的左､右焦点分别是1，2双曲线E上一点P满足PF1PF26，且点F2到E的一条渐近线的距离为若MNEPMNPMPNk1k2，求k1k2的值

1；(2)【解析】（1）E的半焦距为cPF1PF22a6，即a3b2F2c0到渐近线bxb2

b，故b2E

1； 易知

y1y2，x1y2

y1y2x1x2k1k2x2

11，222

2x2

2

2

2

1，

2

1b

1

2k1k2

x2

b2由（1）a29

43 3 求动点MPyxABAOB的面积是定【答案】(1)xy1；(2)x32x322xx322y

2

x3 将上式两边平方，得x322y2

32 2 2 x262x18y22x262x9x2y29 （2）M坐标为x0y0Myy0k(xx0与双曲线方程联立yy0kxx0yx2k(xxy29x2y2 0 整理得1k2x2 0

2kyxk2x22ky

y290所以1k20且2k2x2ky241k2k2x22kyxy290 0 解得ky0yyk(xxyyy2xxx2 x0xy0y9yxxAx

yxxBxy x2 2x2x x2 △ 1】（2025·甘肃白银·三模）已知双曲线Ca2b21a0,b0y焦距为23求双曲线C

若直线l:ykxtkt0与双曲线CP,QP,Q与M0,1

2；(2),3∪0,1 3

2x,a22b2又a2b2c23,a2b双曲线C

x2

（2）直线l与双曲线CP,Q由

y2

，得12k2x24ktx2t220ykxΔ16k2t2412k22t220，且12k20t212k2，且k2Px,y,Qx,y

2t2 1

4k

12k2

12ky1y2kx1tkx2t12k22t12k2PQ的中点坐标为

2kt 12k212k2

1x2kt，即y1x 12k k 12k2

12k 1t,1

12k2

,12k23t又t212k2k23t1且t23t0，解得t3，或0t1实数t的取值范围是301 3

F,【典例2（2025·山东·一模）已知双曲线E:a2b21(a0,b0)的左、右焦点分别为 MEMF2xE的方程

3 【答案】(1)x ec

c 【解析】（1）由题知

b

又MF2x

3有M2a3

1解得a21b23 则双曲线E的方程为：x 1

1(x1x得(3m21y212my90则12m)236(3m2136m236y1

3m2

y 4yy 4y 112m3m43mm21

y1

3m2

0,3m21

令t

m21,1t ，则m2t2122

43t

2

23 设ft3t(1t

3，则该函数在1,

f(t)max13 )y

5x求双曲线C设双曲线CA、B(40的直线l交双曲线C于M、N两点.BMx【答案】(1)xy1；(2) 【解析】（1）由题意知a2且b 5 所以b ，所以C的方程为xy 当直线l的斜率为0ly0，此时N三点共线显然成立，当直线l的斜率不为0时，设lxmy4Mx1y1Nx2y2，xmy

可得5m24y240my600

24

由题意得5m240Δ40m22405m24805m2120y1

5m2

5m2BMy

x12

x2y

y1x1

x2，所以G1x2，所以

y1x1

12 3x2因为

x所以

y1x223y2x12

3x2 x 3x2

2 y1my263y2my12

4my1y26y1y2

4m 640m 5m2 5m243x12x22

3x12x22

3x12x2所以kAGkAN，故N三点共线，N三点共线.

y2

近线将圆

x2y2r2r0分为四段弧长分别为6π

6π

6π

求C1与C2过C2上一动点T作C2的切线交C1P,QOPOQ

【答案】(1)双曲线C1：x 1；圆C2：x

；(2)证明见解【解析】（1）圆Cx2y2r2r0的圆心为O00，半径为r 由题意可知：圆C2的周长为2πr 6π，解得r 所以圆Cx2y23

y=

2ππ2π ,333又因为双曲线C1:xb21的渐近线方程 ybx的斜率为b1，倾斜角π可得22π，即π，b 所以双曲线1的方程为x xnn6xx

y

2y2

3y2

y2可知

， 1

1，可得 2因为OPOQxxyyn2y201 1

kk2

，可得2m23k21ykx联立方程x2

y可得3k2x22kmxm230

m2在

x1x23k2,x1x23k2则OPOQx1x2y1y2x1x2kx1mkx2m1 k21

kmxxk21m2

2k

2m23k2 m2 03k

3k

3kOPOQ0，所以OPOQ05

3B(0,3E上的点MAB两点的连线的斜率分别为和kBM，且

AM

3是否存在一条直线lEP,QPQ为直径的圆经过坐标原点OOPOQOPOQ

【答案】(1)

|OQ 【解析】（1）M的坐标为(xy，则

y

yy

3

1，yy yy

（2）（ⅰ）若直线l的斜率存在，设l:ykxmykx由

2

，得4k23x28kmx4m2120 则Δ64k2m244k234m2120，即m24k230设Px1y1

，Qx2,y2

8km，xx4k2 1

4m24k23PQ为直径的圆经过原点O，所以OPOQx1x2y1y20，x1x2kx1mkx2m0，整理得12(1k2m2，|OP

|OQ

|OP|2|OQ|OP|2|OQ

|PQ|OP|2|OQ设h为点O到直线l的距离，则|OP||OQ||PQ|h

|OP

|OQ

h2h |m

1k211k

，所以|OP

（ⅱ）若直线l的斜率不存在，则kOP1 不妨设 1，则xy，代入方程yx，得x212 所以OP|2OQ|224，则 121|OP |OQ 综上，存在这样的直线lEPQ

1求双曲线C若过点M10的直线l与双曲线CABxNNA

x2y2

1；(2)

N2,【解析】（1）双曲线Cxy0，x2y20又双曲线CP3,1，则代入得2双曲线Cxy1； x2y2联立方程组 1，消去y得：1k2x22k2xk220ykx由题意知

，即k211,11,2kx1x21k2x1x2

k221k2则 x x xxxxx 1 k2

2k2 k x0 2x0 2 1 1k k2x040，k2x401k上式对k

2,11,1

恒成立，x02N20，使kANkBN0NANBx轴对称01辨析：双曲线的定义是“平面内与两焦点距离之差的绝对值等于2a(02aF1F2”，若漏掉“绝对值”，轨【典例1】（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）A(02B(02PPAPB2P的轨迹是（） A(02B(02AB4PAPB2ABP的轨迹为双曲线的一支.

MF1

是“M的轨迹是双曲线”的MF1MF20MF1MF2MF1F2所以，“MF1MF2为定值“M的轨迹是双曲线MMF1MF2所以，“MF1MF2为定值”“动点M的轨迹是双曲线因此，“MF1MF2为定值”是“M的轨迹是双曲线”的必要不充分条件.02遇到非标准形式时，直接套用顶点在原点的性质，忘记焦点、顶点等坐标需要结合“中心平移”来计【典例1】（2025·河南·三模）双曲线16y29x2144的焦点到其渐近线的距离

1，可知a3b4,c

a2+a2+ F05y3x，即3x4y0再由点到直线的距离公式可知焦点到其渐近线的距离d

16 16【典例2】（25-26高三上·河南南阳·开学考试）A，B为实数，则AB0”是Ax2By21为双曲线方程”的（） Ax2By21ABx2y2 1010,A0B0,AB y2x2 1010,A0

0,ABAB0A0B0Ax2By21xA0B0Ax2By21y轴上的双曲线所以AB0”是Ax2By21为双曲线方程”03辨析：联立双曲线与直线方程时，只关注一元二次方程的判别式，忽略直线与渐近线平行的情况——此时1】（2025·福建·模拟预测）

l:ykx2

与双曲线C 【答案】

7或

k2(xyk(x2

1

展开整理得(79k2x236k2x36k2630当79k20时，即k

7当79k20时方程(79k2x236k2x36k2630是二次方程，则判别式(36k224(79k236k263)0展开得到：1296k41296k41260k217640进一步化简为1260k217640，则k2176449 解得k

352（25-26高三上·四川·月考）k1”是“ykx1

x2

1只有一个公共点”（ B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条ykx y【解析】联立方程x y

，整理可得14k2x28kx80当14k20时，即k1当14k2064k23214k20，解得k2 所以直线ykx1与双曲 y21只有一个公共点时，k或k 所以“k”是“直线ykx1与双曲 y1只有一个公共点”的充分不必要条件，故选 01对双曲线定义的理解及应用1】（25-26高三上·贵州·月考）Mx2y2FF【答案】

a1,c

MFMF【解析】因为双曲线为x 1，

MMF13MF2MF12MF25；MMF1ac5MF13矛盾，MF25A，BBF22F2AABAF1，则双曲线的渐近线方程为（y23

y6

y

10

y

30 1，因为双曲线C的焦点为F

70F270，所以c7

2F2A,ABAF1

2F2A2tABAF13tAF1AF23tt2t2a，所以ta,BF14a在△BAF1ABAF13a,BF14acosF1AB

(3a)2(3a)2(4a)2123a 在FAFFF2FA2FA22FAFAcosFAF 1 即289a2a223a21，解得a23b2c2a24x2y2 2所以双曲线C的方程为

1，双曲线的渐近线方程为：y xBF22F2A,ABAF1ABAF1综合（1）（2）y23x02双曲线的焦点三角形问题PF1PF22aPF1PF2S2PF1PF2sinF1PF2S2F1F2ypb若双曲线中焦点三角形的顶角

S

C

P是

π，则点P到x轴的距离 【答案】16316 【解析】由双曲线方程知：实轴长2a6，虚轴长2b8F1F22c10PF1mPF2nmn2a6在FPFFF2m2n22mncosFPFmn2mn36mn100

11mnsinF

FF

5y

1 5y y163 Px轴的距离为163【典例2】（2025·上海崇明·二模）已知双曲线x2y2 的左、右焦点为F,F，以O为顶点，F 焦点作抛物线交双曲线于P，且PF1F245，则b2 【答案】2b2【解析】由题意可知，F1F2pb2PDPDp则cosPF

p

21

2PF2F

22PFF

cos1 1 1 2p2p222p2

2p2

pPF1

1p2，得p2 则b 12 【典例1】（2025·河北沧州·模拟预测）已知F是双曲线C:x 1的右焦点，P是C右支上一点，若A5,5，则APPF的最小值 【答案】【解析】双曲线Cx2y21(25)(25)2(

5,0，设CF1

50AF1

P是CPFPF12aPF12APPFAPPF12AF12APF1三点共线（PAF1之间）APPF的最小值为32】（2025·贵州安顺·模拟预测）F是双曲线C:xy1P是C左支上一点，M 圆D:x2(y23)22上一点，则|MP||PF|的最小值 【答案】 ，PF2aPF122PF1则MPPFPDPF 2PD 222PF1PDPF1 OF2OD6P，DF1|MPOF2OD6

421】（24-25高三下·江苏盐城·月考）已知等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为02，则双曲线的方程是（）

ab,且c2因为a2b2c2，所以a2b22

1 2】（2025·湖北十堰·三模）设双曲线C1a2b21a0b03，实轴长为6C2上的点到双曲线C1的两个焦点的距离之和为26，则曲线C2的标准方程为（ 4232

c2【解析】因为双曲线C1的实轴长为6，所以ac2因为双曲线C1

5，所以c5，则b

4 所以，双曲线C1的方程 因为曲线C2上的点到双曲线C1的两个焦点的距离之和为26由椭圆的定义可知，曲线C2是以双曲线C1的两个焦点为焦点，长轴长为26设椭圆C2的方程为

21mn0，则m13n

m2m2

12 因此，椭圆C2

132132 1.x2y2

1mn0m0n0x轴上的双曲线；m0n0yx2y2

1mn0当m0n0x轴上的双曲线；m0n0y1】（2025·安徽黄山·一模）m1”是

m1

1为双曲线方程”的（

x2

m1m2

，解得

1或

2故m1是

m1

2】（25-26高三上·江西·月考）t9”是方程

x2t

t

1”表示双曲线的（

x2t

t

1表示双曲线，则满足(t9)(t7)0，解得t9或t7所以t9”是方程

t

t1（24-25高三上·云南·月考AB两点的坐标分别为30，(30)AMBMM2M的轨迹方程为（1 1 x2y2 x2y21 1 1 1 y2x2 x2y21 1 MxyAM

BM

x3故y

2x3x

x 2】（25-26高三上·河南南阳·月考）F120F220N是圆Ox2y21上任意一点，F1N的对称点为MF1MF2MPP的轨迹方程是（） A．7x 1

x y2 y2 F1NMNMF1中点，而点OF1F2的中点，则|F2M|2|ON|2，PNMF1PF1PMPF2F2MPF22PF2PF12F1F24PyPF1PF22F1F24PF1PF22F1F2F,

所以点P的轨迹是以 2为焦点，实轴长为2的双曲线，对应的方程为x 1.故选利用a,c求：若可求得a,c，则直接利用e得解11ab abab，则直接利用e

acpc2qacra20（pqrp0则转化为关于epe2qer0F,

2是双曲线C:a2b21a0,b0的左、右焦点，M在CMF1MF2sinMF1F2

10，则C的离心率 【答案】MFMF，且sinMFF

10

1 11sin2MF1

310在直角△MF1F2F1F22cMFFFsinMFF10cMFFFcosMFF310c 1 1 1 1 MF1MF2MF1MF22a310c10c2a 即a10c，所以双曲线C的离心率为ec510 F, 【典例2】（25-26高三上·上海·月考）已知 2分别是双曲线C：221a0,b0的左、右焦点， 于原点对称的两点P,Q均在C上，PF1QF16a，且PF1F2是锐角三角形，则C的离心率的取值范围 【答案】3,5PF1QF2QF1PF2PF1QF16a，PF1PF26aPPF2PF12aPF24a,PF12a△PF1F2PF24aPF12aF1F22cPF2FF2PF 4a24c2 c2PFF90：cosPFF 1 2 01 1

2PFF

22a

则c23a2ec

1PF2FF2PF

16a24c2

12a2PFF90：cosPFF 1 1 02 2

2PFF

24a

1

PF2

2FF

4a216a2

5a2FPF90：cosFPF 12 0

2

22a

4a则c25a2ec 双曲线C的离心率的取值范围为：

3,5．1】（24-25高三下·北京朝阳·月考）y2xx2y2

2y2有a1b

mm0,c

11故双曲线离心率为ec1y2x代入双曲线方程得m4x2m0当m4时，有40y2x当m4

y

1所以方程m4x2m0x2

m

0m0（舍去）或m41故双曲线离心率ec1

5

中，已知双曲线C:x 1，过左焦点F且率为kk0的直线l与双曲线C交于A,B两点，设线段AB的中点为M，若OM2，则实数k的值 【答案】a2【解析】由双曲线Cx2y2，可得a21ba2 c 所以双曲线CF(20F且斜率为kk0的直线l的方程为yk(xyk(x

，整理得(3k2)x24k2x(4k23)0，其中k不等 x2 x1x2

4k

xx1x2

2k3k yk(x

2)

2k 可得

3k2M(3

k2

2)

4k436k 2k3k 3k)22k3k 3k)2

15

2

4，解得k2