2027年高考数学一轮复习资料 专题18 抛物线及其应用

专题 抛物线及其应理·盘·破·辨·点·Fl(lF)Fl叫做抛物线的准线．x2p=（ x22pyp>0)ypA到C的焦点的距离为4A到准线的距离也为4Ax轴的距离为2AAxp，即2p4 对2p4p422p4. y22pxp0)y22pxp0)M(xyx0yRy轴的右侧，开对称性：以yyy22pxp0)xy22px(py22px(px22py(px22py(px0,yx0,yy0,xy0,xyxFp,0 Fp, F0,p 2 F0,p 2 xxyyO0,e2y22pxp0M(xyF，准线为lMF M作准线lMHMFMHxp ①抛物线y22px(p0)，MFx xp ②抛物线y22px(p0)，MFx xp ③抛物线x22py(p0)，MFy yp x22pyp0

y0

p【真题实战】（2025·全国二卷·高考真题）设抛物线Cy22pxp0FACA作CB．BFy2x2，则|AF|（） 【解析】对lBF:y2x2y0x1，F10p2即抛物线Cy24x，x1，B14yA4，代入抛物线Cy24xxA4

ABxA

p415.y22pxp0kxa，a0，直线与抛物线有两个交点；a0，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点；a0，直线与抛物线没有交点.k存在设直线l:ykxby22pxp0ykx直线与抛物线的交点的个数等于方程组y22pxk2x22(kbp)xb20（k2y22py2bp0）k0则当0时，直线与抛物线相交，有两个公共点；当01个公共点；当0时，直线与抛物线相离，无公共点．k0yby22pxp0ABy22pxp0A(xyB(xyABM(xy1 AB

x

y

（kABk01k11k1k中点弦斜率：kAB 推导：由题意，知y22px y22 由①-②，得(yy)(yy=2p(xx)，故y1y2 p

x

y

1 AByyp(xxABy22pxp0FA(xyB(xyABM(xy1 AFAA1BFBB1ABAFBFAA1ABAFBFAA1BB1.MM1AA1B1BABAA1BB12MM1，AB为直径的圆必与准线l相切AB2xp(焦点弦长与中点关系 2 ABx1x2pAB的倾斜角为AB

2p

4，y1y2p（6）

2【真题实战】（2025·湖南·一模）已知抛物线Cx22pyF0,1F3的直线l物线C于A,B两点，则线段AB的长 p1,p2抛物线Cx24y直线ly3x1x24联立

x26x40yx AxyBx

，则x1x2x1 x 1 1 x 4x 12

1

9 41 6

AByyp3xx2213 01

1】（2025·安徽合肥·模拟预测）yA02x轴､y轴分别交Bx0,C0,y两个不同的动点.直线lEP,QH22PH与QH的斜率分别为k1k2，且k1k22，求证：直线l过定点.【答案】(1x22yy0;(2) y2【解析】（1）AC中点G0,2，点G即为动圆圆心GBGA

x2y2 x2y2 yBCy0Ex22yy0ACABCBABCB0，ABx2,CBxyx22y0，BCy0Ex22yy0x22联立ykx

x22kx2m0则Δ4k28m0xx2kx

1y

1

x

kx2

2 1 ，同理2 x x 因为

x12x22x1x22x1x2

所以2m4k42，即m2k6所以直线lykx26，因此直线l过定点262】（25-26高三上·河南新乡·开学考试）已知抛物线Cy22pxp0A1(2,22),A2(3,6),A3(3,

6)中的一点求C过CFCEHMNEHMNP,Q，PQ过定点.【答案】(1)y24x；(2)证明见解析 【解析】（1）抛物线C:y22pxxA(3,6A(36)x A2A3之一在抛物线C上，则另一点必在该抛物线上，不符合题意，A(222)必在抛物线C(22)22p2p2，所以抛物线Cy24x（2）由（1）知，抛物线CF(10EHMNEHxty1MNx1y1由xty1xy24ty40ExyHxyy24

1 y1y24tEHP(2t212tMN的中点Q212，当t21PQ斜率k

2tt t

2t2t

t2PQy2t

t2

(x2t21y

t2

(x3PQ过定点(30当t21P(32Q(32P(32Q(32PQ:x3过定点(30)，PQ过定点.02 3 【典例1】（25-26高三上·四川成都·月考）已知点Pp,

在抛物线C

2pyp0M0,1lCA，B两点，设直线OAOB的斜率分别为k1k2，O为坐标原点，求k1k2的值．【答案】(1x22y；(2kk1 3【解析】（1）∵点Pp,

Cp22p23p23p40p1（负值舍 2 Cx22y（2）l存在斜率，设直线lykx1Ax1y1Bx2y2x22联立ykx1yx22kx202k2424k280xx21x21∴k

2y1y222x1x211 2】（24-25高三上·重庆·月考）Ey22pxp0FF作倾斜角为直线lEA，B两点.当60AB16点M30AME交于另一点CBMEDABM与CDM的面积【答案】(1y24x；(2)证明见解析；(3)【解析】（1）根据题意直线l0，可设直线lxtypAxyBxy 1 y22pxy22ptyp201 y 4y 1 1 y 4y 1

2pt，y1

p2AB

1y11

2pt21当60t

3，AB8p16 p2Ey24x证明：由（1）y1y2p24

p2 x1x21

2p2 4 OAOBx1x2y1y2413ACxmy3BDxny3由xmy3y24my120y24y1y312y2y412由（2）y1y24y3y436y3yy3yS

1

MCMDsin

1】（24-25高三下·广东广州·月考）y22pxp0P12，作两条直线分Ax1,y1B(x2,y2)PAPB的斜率存在且倾斜角互补时，y1y2【答案】(1y1y24；(232【解析】（1）y22pxp0P12p2，PA的斜率为kPAPB的斜率为kPB，PAPB倾斜角互补可知

y12y22

x xy24xy24xy

4 （2）AB的斜率为kABy24xy24x，得

y2y1

x

y 由（1）y1

4，将其代入上式得kAB

y1

AByxby24由

yx22b4xb20yx由Δ2b424b20，得bxx2b4x

b2x x 4x 1bAB

2

42 33 1AB·d1

f(x)x13x2x1fx3x210x30x1x3x11fx0fx 3 x13fx0fx fxf1256，故ABP

的最大值为

323 f1f13x11．F20作两条互相垂直的直线l1、l2，直线l1EA、B两点，直线l2E交于C、D两点，求AB2CD2的最小值．【答案】(1y28x；(2【解析】（1）EF20x11．EF20x2的距离相等，EF20x2为准线，p4y28x.设直线l1ykx2)Ax1y1Bx2y2y28x，得k2x2)28x，k2x24k28x4k20.4k2

4 所以|AB|xxp48488 k k用1代替kCD88k2

2CD

8

8

88k2

64

1

2

1 k2

k2

k2设tk2k

，则tk2k

2，当且仅当k21时取等号k2k则.AB2CD28888k2264t22t64t12164321k2k k2 1】（24-25高三上·海南·期中）yx与抛物线Cx22pyp0交于OE两点（O标原点），且OE 求CE关于lP若l与CA，B（EEA，EBy4交于点M，NOMON【答案】(1x24y；(2x2y4216；(3)a2OE4a2

，解得a4E44，将其坐标代入抛物线的方程得422p4p2，所以Cx24y.EP关于llD04DPDE4当lDDPD旋转，PD为圆心，4为半径的圆，Px2y4216. x2 x2Ax11Bx22MxM4NxN4，直线lykx4 4 4由题可知直线lE，则k0ykx联立得

24

yx24kx16016k2640x1x24kx1x216

1

yx14x4 y4 y4x4x116M4x1164 x1 N4x2164x2

4x1164x2

16x1x264x1x2所以OMON 16 1616644k25616161601644k因此OMON2（2025·陕西西安·二模）已知平面上动点Q(xyF(0,1的距离比Q(xy到直线ly21，记动点Q(xy的轨迹为曲线C求曲线CP的坐标为(01P作曲线CA（A在第一象限），P的直线mCM，NAFMAFN【答案】(1x24y；(2)x2x2y

y2x2yx2yx2yx2y

y1x24yy3x28y1x28y10y1，不合题意，舍去，综上，曲线Cx24y；（2）A

t2t0y

1x2，所以y

1

t2tPA

1t1t11t，解得t2

t F0,1AFx轴，要使AFMAFN，只需kFMkFN0，当直线m1个交点，不合要求，设直线mykx1x24yx24kx4016k2160，解得k1或k1则

y11y21x2y11x1y21x2kx12x1kx22

2k2x1x22k

【答案】(1)y24x；(2)存在，【解析】（1）Ex=1y22pxp0)，则p1p2Ey24x （2）ABxmy1A1y1B2y2F10 联立抛物线有xmy1y24my40y

4m,y

4y2

1y22px在点x0,y0处的切线方程，y00yy0kxx0k0，xyy0与抛物线方程联立有 y22

ky22py2

02

0则Δ4p24k2

2pkx0p

2k2

0又2

y2

k2

k即p2ky2k2x0p2ky 00， yykxxyyy2pxpxyypxx y00x0y22px在点x0y0y0ypxx0EAyy2x1

y1

y2Byy2x2，所以C

,D

2 2

x

ylCF:y 则

:yy2y2

x

yy2

y4直线CF,DF分别与抛物线方程联立有 y2

y4

y

M3,

,N4,

3 4

y

MN

311

y

4yy 4，1 1PQ414

1 2 又y1y24，所以 11

4 4y 4y2 44y24 MNPQ4MNPQ所以存在实数4MNPQMNPQ恒成立2】（24-25高三下·浙江·月考）已知抛物线Cy22pxp0F为C的焦点，l为CABC上两点，且OAOB（O为坐标原点），过O作ODABDD的坐标为(623CCPFCS，TlMPSPMPT的斜率均成P的坐标；若不存在，说明理由. 3，所以 3 所以直线AB的方程为：y2 3x6，设Ax1,y1,Bx2,y2，xy223py16p0y

16p,y

23p1

所以x1x212 2 2 4因为OAOBx1x2y1y204

16p0p4y2由（1）F20Px0y0满足题意，Fxmy2，x2M24Sxy,Txy m

y2联立xmy2xy28myy2y3y416y3y48m直线PS得斜率为y0y3 ，直线PT得斜率为y0y48 ，x0

y0

x0

y0y m

y m8my0PM

x0

0

my216mPSPMPT

82y0y3y4

82

3 所以 3 my2 y y y2yyyy y28my y216m2y2160，对任意m y2160y4y4，此时x2 已知“抛物线过某点”或“焦点在某轴上”时，未考虑开口的不同方向（x轴上的抛物线，可1】（2025·甘肃平凉·模拟预测）x2y40 y216xx2x0y2y0x4，所以抛物线的焦点为40或02当焦点为40y216x；焦点为02x28y【典例2】顶点在原点，且过点(2,4)的抛物线的标准方程 x2yy2y22pxp0x22pyp将(24p4p1y28xx2y设直线方程前，先明确“是否需要分斜率存在/不存在两类”，尤其涉及“垂直于对称轴的直线”时，必xtym可规避讨论．【典例1】M(0,1y22x只有一个公共点的直线有（A．1 B．2 C．3 D．0设直线l的斜率等于k，则当k0时，直线lyy22x仅有一个公共点，当k0时，设直线lykx1，k2x22k2x10有2k224k20，解得k1y1x x0y22x相切，【典例2】（2025·全国·模拟预测）y22pxp0F，直线l与lF AB与CD四点AB2p若2ABCD，求直线l2的倾斜角的取值范围, 4 【解析】（1）ABAB2pAB斜率存在时，设kABk1AB

ykxp 2

p2k

2px，化解得k1

2,xAxAxB,ABxAxBpAB2p

p2p（2）因2ABCD，由（1）知，直线CD斜率存在，设kCDk2CD2p2pAB2p2p4p，所以k21 AB2p2p22p2p k2

1k

11，0k2 于是0k211

0，或0k2所以直线l的倾斜角的取值范围为0π3ππ 4 辨析：联立方程后，未先判断方程类型（一元一次或一元二次），直接用一元二次方程的判别式；若得到一元一次方程（直线平行于抛物线对称轴），此时无意义，却误判为“无交点”．1】（2025·天津·二模）“k

1”是“ykx1y22x只有一个公共点”的（ ykx1y22x只有一个公共点，则方程(kx1)22x只有一个解，即方程k2x22k2)x10只有一个解，当k02x10恒有一个解；当k0(2k2)24k20，得k

ykx1y22xk0或k1故“k

1”是“ykx1y22x只有一个公共点”明确三要素：必须同时满足“一个定点（F）”“一条定直线（准线l）”“定点不在定直线上”P（|PF|区分定义与方程：定义是几何本质，抛物线方程（y22px）是定义在特定坐标系下的代数表达，抛物线CAF3OFp（

Fp0 AF3OFxp3pxp 则Ap,2，代入y22px，得42p2，又p0，解得p 2】（25-26高三上·广东·月考）已知抛物线Cy24xF，准线为lP为lxA为CAP//xAF4P的纵坐标为（

【解析】抛物线Cy24xF，准线为lx1P为lP1mm0， AP//xAPAFA4m 又AF4

3又m0，所以m

的距离（d）PFd1】（2025·甘肃武威·模拟预测）P为抛物线Cy24mxm0Amm，Bm0 【解析】根据题意2p4mp2m所以抛物线C的焦点坐标为m0Bm0xm，如图所示.故ABPABPAPBABm为定值，PDPBAPDPAPD取得最小值2mABPAPBABPAPDm2m18，解得m62（2025·湖南郴州·一模）已知点M12Py212x上运动，点Q在圆(x3)2y2PMPQ的最小值为（ x1y212xy21222，M12y212x里面，圆(x3)2y21的圆心记为C230， PQPC1，而Cy212x的焦点，Px3P1， PC2PP1PMPQPMPP11的最小值，MPP1PMPP1MP1，PMPP11MP111313的距离（d）PFdM的轨迹方程 y2M满足到定点20x2p2p4y28x【典例2（24-25高三下·湖南长沙·月考F10MxNyMNNPMNNF0，NyP的轨迹方程为（）y21

y21

y2

y2PxyMNNPN为MPNyN

yMx022 y y又F1,0，则MNx,，NF1, 2 2 MN·NFx

y20,

4xPy24x.x2myy2mx；1】（2025·山东济南·模拟预测）y2为准线的抛物线的方程为（A．x24yC．x24y

B．x24yD．x22yx2PPyx2

y2x244yx24y4.【典例2】（2025·福建厦门·三模）已知抛物线C：2x2my0恰好经过圆M：x2y22x4y40的圆心，则C的准线方程为 yx2y22x4y40x12y221则圆心为12，将12代入2x2my0，可得22m0m2x2y0x21yy1 xx0）Ax2BxC0（Ay2ByC0）B24AC，通过1】（24-25高三下·安徽·月考）已知抛物线C:y22x，直线lP0,1且与抛物线C有且仅有一个公共点，则直线l的条数是（） P0,1在抛物线CP可作两条直线与CP可作一条与C的对称轴（x轴）平行的直线，它与C也只有一个公共点.所以满足条件的直线l3条，故选：C.2（24-25高三上·广东·月考）已知抛物线Cy2mx(m0)FF和C43求C讨论过点2,1的直线l与C【答案】(1)y24x；(2)【解析】（1）Fm0xm 以焦点和C43FAB313

2

2，解得m4（负值舍去所以Cy24x（2）若直线l的斜率存在，设ly1kx2由方程组y1kx2可得ky24y42k10y2当k0x1y1l与C当k0时，方程的根的判别式为Δ162k2k1由Δ0，解得k11l与C由Δ0，解得1k0或0k1l与C由Δ0，解得k1，或k，此时方程没有实数解，l与C没有公共点若直线l的斜率不存在，则直线lx2，易知l与C综上，当lx2或l的斜率k1或k1l与C当l的斜率k0或111l