上海海事大学《线性代数》2023-2024学年第一学期期末试卷

上海海事大学《线性代数》2023-2024学年第一学期期末试卷

考试课程：线性代数

考试时间：120分钟

专业：所有专业适用

总分：100分

一、单项选择题（每题2分，共20分）

1.若矩阵A为mxn矩阵，且m<n,则以下说法正确的是：

A.A不可能是满秩矩阵

B.A的列向量组一定线性无关

CA的行向量组一定线性相关

D.A的秩等于m

2.若A是一个n阶可逆矩阵，则以下说法正确的是•

A.A的行列式为0

B.A的特征值全为0

C.A的逆矩阵不存在

D.A的行列式不为0

3.线性方程组Ax二b有唯一解的充要条件是：

A.矩阵A的行列式不为0

B.矩阵A的行数等于列数

C.矩阵A的秩等于矩阵A的行数

D.矩阵A的秩等于矩阵A的列数

4.矩阵A和B可交换乘积，即AB=BA,则以下说法正确的是：

A.A和B一定是方阵

B.A和B的行列数相等

CA和B一定可逆

D.A和B的特征值相同

5.若向量组｛vl,v2，…,vn｝线性无关，则以下说法E确的是：

A.向量组的秩小于n

B.向量组中任意一个向量都可以由其余向量线性表示

C.向量组中任意一个向量都不可以由其余向量线性表示

D.向量组的秩大于n

6.矩阵A的特征值是：

A.A的所有行列式值

B.A的所有行列式的特征根

C.A的伴随矩阵的行列式值

D.满足|A■入1|=0的所有人

7.若矩阵A为对称矩阵，则以下说法正确的是：

A.A的特征值都是实数

B.A的特征值都是虚数

CA的特征向量都是实数

D.A的特征向量都是虚数

8.若矩阵A的秩为r,则以下说法正确的是：

A.A的列向量组线性相关

B.A的行向量组线性相关

C.A的列向量组的极大线性无关组有「个向量

D.A的行向量组的极大线性无关组有r个向量

9.若A为n阶矩阵，则A可对角化的充要条件是：

A.A是可逆矩阵

B.A有n个线性无关的特征向量

C.A的秩等于n

D.A的行列式不为0

10.矩阵A的行列式等于0,则以下说法正确的是：

A.A一定可逆

B.A的列向量组线性无关

C.A的秩小于矩阵的行数或列数

D.A的特征值全为0

二、判断题(每题2分，共20分)

11.任何两个同阶矩阵都可以相乘。()

12.如果矩阵A的行列式为零，则矩阵A一定不可逆。()

13.线性方程组Ax二b有解的充要条件是矩阵A的秩等于增广矩阵的秩。()

14.对称矩阵的特征值一定是实数。()

15.若矩阵A是奇异矩阵，则存在矩阵B使得AB=BA=I。()

16.若向量组｛vl,v2，…,vn｝线性相关，则存在非零的系数使得这些向量的线性组

合为零。0

17.若矩阵A可逆，则A的转置矩阵也可逆。()

18.若矩阵A和B行数相同，则它们一定可以相荚。()

19.如果矩阵A和B可交换乘积，则它们的特征值相同。()

20.对于任意方阵A,总存在一个对角矩阵D,使得A与D相似。()

三、填空题（每题2分，共20分）

21.若A为n阶方阵，则A可逆的充要条件是___o

22.线性方程组Ax=b有解的条件是增广矩阵的秩等于o

23.矩阵A的特征值是___o

24.若矩阵A是对称矩阵，则A的特征向量一定是___。

25.矩阵A和B可交换乘积，即AB=BA,则A和B一定可以同时—

26.设A是n阶方阵，且A的秩为r,则r的取值范围是____。

27.若向量组｛V1,v2,....vn｝线性无关，则向量组的秩等于。

28.矩阵A的转置矩阵的行列式值是原矩阵A行列式值的o

29.若A和B是同阶矩阵，贝IJ（AB）八T二。

30.设A是一个n阶方阵，且A的行列式不为0,则A的秩为

四、简答题（每题10分，共40分）

31.请简述矩阵的秩的定义及其几何意义。

32.试述线性方程组的解的结构及其几何解释。

33.请简述特征值和特征向量的定义及其在实际问题中的应用。

34.试述矩阵可逆的条件及其判断方法。