2026年甘肃省天水市中考数学试题（解析版）

天水市2026年初中学业水平考试数学试卷

考生注意：本试卷满分为120分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则

无效．

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．

1.2026的绝对值是（）

11

A.2026B.2026C.D.

20262026

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．根据正数的绝对值等于它本身解答即可

得．

【详解】解：∵20260，

∴20262026．

故选：A．

2.某几何体的三视图如图所示，该几何体为（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据三视图的特征，主视图和左视图确定几何体的侧面形状，俯视图确定底面形状，从而判断几

何体的名称．

【详解】解∶∵主视图和左视图都是三角形，

∴该几何体是锥体，

∵俯视图是圆且圆心处有一点，

∴该几何体是圆锥．

观察选项，A是圆柱，B是三棱柱，C是圆锥，D是球，故C选项符合题意．

3.截至2026年初，甘肃省光热发电装机容量已达620000千瓦，其规模居全国首位，为推动我国新能源高

质量的发展做出了贡献．数据620000用科学记数法表示为（）

A.0.62106B.6.2105C.6.2104D.62.0104

【答案】B

【解析】

【详解】解：620000用科学记数法表示为6.2105．

ba2b

4.计算：（）

a2a

b4ba11

A.B.C.D.

2a2a22

【答案】D

【解析】

ba2b2ba2b2ba2ba1

【详解】解：．

a2a2a2a2a2a2

5.如图，直线a，b及木条c在同一平面内，将木条c绕点O顺时针旋转到与直线a垂直时，其旋转角的最

小度数是（）

A.60B.50C.40D.30

【答案】C

【解析】

【分析】如解图，根据三角形的外角的性质，得到150，当木条c绕点O顺时针旋转到与直线a垂直

时，1变为90，得到最小旋转角度为905040.

【详解】解：由图可知，100501

∴150，

当木条c绕点O顺时针旋转到与直线a垂直时，1变为90，

故最小旋转角度为905040.

6.如图，四边形ABCD与四边形ABCD是以原点O为位似中心的位似图形．若B2,0，B4,0，

AB5，则AB（）

A.3B.25C.4D.35

【答案】B

【解析】

【分析】根据对应点坐标求出位似比，再利用对应边之比等于位似比求解即可．

【详解】解：∵B2,0，B4,0，

∴OB2，OB4，

∵四边形ABCD与四边形ABCD是以原点O为位似中心的位似图形，

ABOB52

∴，即，

ABOBAB4

∴AB25．

7.随着人工智能的快速发展，越来越多的学生使用AI辅助学习．小凯记录了自己连续八周每周使用AI辅

助学习的时间（单位：分钟），并绘制了如图所示的折线统计图．根据统计图，下列关于小凯这八周使用AI

辅助学习时间的描述，错误的是（）

A.众数是127分钟B.平均数是133分钟

C.中位数是132分钟D.总时间是1064分钟

【答案】A

【解析】

【分析】从折线统计图中读取八周的数据，分别计算众数、平均数、中位数及总时间，逐一判断选项即可.

【详解】解：由图可知，这八周的数据分别为：127,123,132,139,127,132,152,132

∵数据132出现了3次，次数最多，

∴众数是132分钟，故A选项描述错误；

∵总时间为1271231321391271321521321064（分钟），故D选项描述正确；

1064

∵平均数为133（分钟），

8

∴B选项描述正确；

将这组数据从小到大排列为：123,127,127,132,132,132,139,152，

∵处于中间位置的两个数都是132，

132132

∴中位数是132（分钟），故C选项描述正确．

2

8.如图，ABC内接于O，CD是O的直径，AB与CD交于点P．若ABC60，ACB50，

则BPC（）

A.95B.100C.105D.110

【答案】B

【解析】

【分析】根据CD是直径得到CBD90，因此根据角的和差求出ABD，根据三角形的内角和定理求

出A，即可得到D，再根据三角形外角的性质即可求解．

【详解】解：∵CD是直径，

∴CBD90，

∵ABC60，

∴ABDCBDABC906030．

∵ABC60，ACB50，

∴A180ABCACB70，

∴DA70，

∴BPCDABD7030100．

9.甘肃省是“一带一路”沿线上重要的节点省份，特色农产品正借势加速走向世界．兰州海关数据显示，

2026年第一季度甘肃省农产品出口呈增长趋势，其中天水花牛苹果汁和陇南黄芪出口总额为3.4亿元，苹

果汁出口额比黄芪出口额的2倍少0.4亿元．设苹果汁和黄芪的出口额分别为x亿元、y亿元，则可列二元

一次方程组为（）

xy3.4xy3.4

A.B.

x2y0.4y2x0.4

xy3.4xy3.4

C.D.

y2x0.4x2y0.4

【答案】D

【解析】

【分析】解题关键是从题干中提取两个等量关系，分别列出方程后可得对应选项．

【详解】解：∵苹果汁出口额为x亿元，黄芪出口额为y亿元，两种产品出口总额为3.4亿元，

∴xy3.4，

∵苹果汁出口额比黄芪出口额的2倍少0.4亿元，

∴x2y0.4，

xy3.4

因此可得方程组，符合的选项为D．

x2y0.4

10.如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，动点M从点O出发，沿OCCD匀速运动

至点D时停止．设点M的运动路程为x，AM的长度为y，y与x的函数图象如图2所示，在点M的运

动过程中，当AMCD时，AM的长度是（）

A.35B.6C.42D.33

【答案】D

【解析】

【分析】根据函数图象获取AO的长度以及OCCD的值，结合菱形性质求出边长CD和对角线AC，判

定ACD的形状，最后利用三角函数或勾股定理求出CD边上的高AM．

【详解】解：由图2可知，当x0时，y3，此时点M在点O处，

∴AO3，

∵四边形ABCD是菱形，

∴ACBD，COAO3，ADCD．

由图2可知，当x9时，点M到达点D，

此时运动路程为OCCD9，

∴CD9OC936，

∴ADCD6．

∵ACAOCO336，

∴ACADCD，即ACD是等边三角形．

当AMCD时，AM为等边ACD的高，

3

∴AMADsin60633．

2

二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．

11.因式分解：5a2b10ab2________________．

【答案】

5aba2b

【解析】

【详解】解：5a2b10ab25aba2b．

x1

12.若代数式在实数范围内有意义，则实数x的值可以是________________．（请写出一．个．符合条件

x

的值．即可）

【答案】1（答案不唯一）

【解析】

【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，求出x的取值范围，在取值范围内任取一个符合

条件的值即可．

【详解】解：∵代数式x1在实数范围内有意义，

x

x10

∴

x0

解得：x1且x0，

取值范围内x的值可以是x1（答案不唯一）．

13.已知m是一元二次方程x22x30的一个根，则代数式2m24m的值是________________．

【答案】6

【解析】

【分析】根据一元二次方程根的定义得到m22m3，再变形所求代数式代入计算即可．

【详解】解：∵m是一元二次方程x22x30的一个根，

∴m22m30，

∴m22m3，

∴2m24m2m22m236．

14.如图，矩形纸片ABCD的边BC上有一点E，将纸片沿AE折叠，点B落在点B．若CEB60，

AB3cm，则点B到AD的距离等于______cm．

3

【答案】

2

【解析】

【分析】作BFAD于点F，先根据折叠性质和角度关系求出BEABEA60，再利用直角三角

形中30角所对边等于斜边一半，求出BF的长度

【详解】解：作BFAD于点F，

∴BAF90，

180CEB

由折叠得BEABEA60，BAEBAE，ABAB3cm，

2

又四边形ABCD为矩形，

BBAD90，

BAEBAE30，

BAFBAD2BAE30，

13

BFABcm．

22

15.求圆的面积是历史悠久的数学课题之一，在很多古代数学文献中都有记载，如公元3世纪，中国数学家

刘徽利用割圆术证明了圆的面积等于半周长与半径之积；17世纪，德国数学家开普勒也利用无穷分割圆的

方法，将圆转化为直角边长分别等于圆周长和半径的直角三角形，如图所示，将O的面积转化为RtODC

的面积，其中S扇形AOBSOMN．在RtODC中，CD等于O周长，OD等于O半径，若CD4π，

2

MNπ，则扇形AOB的圆心角等于________________度．

9

【答案】

20

【解析】

【分析】设O的半径为r，AOBn，根据CD的长求出圆的半径，根据S扇形AOBSOMN，列出方

程进行求解即可.

【详解】解：设O的半径为r，AOBn，

∵CD等于O周长，CD4π，

∴4π2πr，

∴r2，

∴OD2，

由题意，ODCD，

又∵S扇形AOBSOMN，

nπ12

∴22π2，

36029

∴n20，即AOB20．

16.如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以

看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图2是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图

象，其中水流从点O射出，水流运动的高度ycm与水平距离xcm近似满足函数关系

1

yx24xx0．若这只昆虫在点P20,50，则这次射出的水流______击中昆虫．（填“能”或“不

10

能”）

【答案】不能

【解析】

1

【分析】本题主要考查了二次函数的应用．根据题意，把x20代入yx24xx0，把结果与50

10

比较即可．

11

【详解】解：把x20代入yx24x，得y20242040，

1010

∵4050，

不能击中昆虫．

三、解答题：本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算

步骤．

4

17.计算：1418．

7

【答案】

52

【解析】

【详解】解：原式818

2232

52．

7x45x

18.解不等式组：3x5．

x

2

【答案】2x5

【解析】

7x45x①

【详解】解：3x5，

x②

2

解不等式①得：x2，

解不等式②得：x5，

∴原不等式组的解集为2x5．

2

19.先化简，再求值：2a1a24a3，其中a1．

【答案】9a7，2

【解析】

【详解】解：原式4a24a14a23a8a6

4a24a14a23a8a6

9a7．

当a1时，原式9172．

20.在某学校举办的数学文化周活动中，同学们利用角、线段、三角形等图形，借助图形的旋转或对称设计

了一些美丽的图案．如图1是小彤设计的一件艺术作品的平面图，它由6个全等三角形构成，外轮廓为正六

边形．

（1）请判断图1是____________图形；（填“轴对称”或“中心对称”）

（2）图2是从图1选取的部分图案，其中ABC看作由ABC绕旋转中心O顺时针方向旋转一定角度后

得到的，请你用无刻度直尺和圆规确定该图案的旋转中心O．（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】（1）中心对称；

（2）解：如图，点O为所求旋转中心．

【解析】

【分析】（1）根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可；

（2）连接AA，BB，分别作AA，BB的垂直平分线，两线相交于点O，则点O即为所求的旋转中心．

【小问1详解】

解：将该图形绕点正六边形的中心旋转180，能与原图形重合，故图1是中心对称图形．

【小问2详解】

略

21.现有四张材质、大小、颜色都相同的不透明卡片，每张卡片正面写上一个实数，分别为3，2，2，

6，将四张卡片正面向下洗匀．

（1）随机抽取一张卡片，卡片上的实数是正数的概率是________；

（2）随机抽取一张卡片，记下卡片上的实数后，将卡片正面向下放回洗匀，再随机抽取一张卡片，记下卡

片上的实数．请你用画树状图或列表的方法，求抽取的两张卡片上实数之和为负数的概率．

【答案】（1）

1

2

（2）

3

8

【解析】

【小问1详解】

解：随机抽取一张卡片，共有4种等可能的结果，其中卡片上的实数是正数的结果有2种，

21

故P；

42

【小问2详解】

解：列表如下：

第一次

3226

第二次

36513

25404

21048

634812

或画树状图如下：

共有16种等可能的结果，两实数之和为负数的结果有6种，

63

P（抽取的两张卡片上实数之和为负数）．

168

22.如图1，清代数学典籍《平三角举要》中记载了“用高上之高测远”的古法，此法专门解决测远目标被

遮挡且观测点周边没有多余空间的测绘困境，其关键在于观测者巧妙借用测远目标竖直方向正上方建筑的

已知高度来完成测算．某数学兴趣小组的成员在黄河南岸的A处观测到黄河北岸的山上有一座塔，他们想

了解观测点到塔的水平距离，但因宽阔的河面及山脚遮挡，无法直接利用工具测量，于是他们借助“用高

上之高测远”的古法，设计了如下解决方案：如图2，设观测点A到塔CD的水平距离为AB（点B，C，

D在同一条直线上），CDAB，在点A分别测得塔顶C的仰角CAB16.73、塔底D的仰角

DAB14.01，查阅资料可知塔的高度CD17米．根据以上信息，请你求出观测点A到塔CD的水平

距离AB．（结果精确到1米）

参考数据：sin14.010.24，cos14.010.97，tan14.010.25，sin16.730.29，cos16.730.96，

tan16.730.30．

【答案】观测点A到塔CD的水平距离AB约是340米

【解析】

【分析】设ABx米，在RtCAB中，由正切定义得CBABtan16.730.30x；在RtDAB中，

DBABtan14.010.25x．根据塔高CDCBDB17米列方程，求解即可．

【详解】解：设ABx米，

CB

在RtCAB中，tanCAB，

AB

CBABtan16.730.30x．

DB

在RtDAB中，tanDAB，

AB

DBABtan14.010.25x．

CBDBCD，

0.30x0.25x17，

解得x340．

答：观测点A到塔CD的水平距离AB约是340米．

四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算

步骤．

23.为深入学习贯彻习近平总书记关于“讲好中国故事，传播好中国声音，展示真实、立体、全面的中国”

的重要指示精神，落实立德树人根本任务，某区教育系统举办“讲好中国故事，弘扬传统文化”讲故事比

赛，引导学生了解中华优秀传统文化，增强民族自信心和自豪感．比赛分为初赛和复赛．经初赛后，共有

360名学生参加复赛．为了解比赛情况，举办方从学生复赛成绩中随机抽取了50名学生的成绩作为样本数

据，进行了整理和分析，绘制成如下不完整的统计图表：

频数、频率分布表

组别成绩x（分）频数频率

A60x7070.14

B70x8015n

C80x90m0.36

D90x100100.2

根据所给信息，解答下列问题：

（1）m______，n______；

（2）补全频数分布直方图；

（3）这50名学生成绩的中位数会落在______组；（填组别）

（4）若复赛成绩在D组的学生将获得一等奖，请你估计这360名复赛学生中获得一等奖的人数．

【答案】（1）18；0.3

（2）补全频数分布直方图，如下：

（3）C（4）72人

【解析】

【分析】（1）根据频率频数总数，即可求解；

（2）根据C组的人数为18人，补全频数分布直方图即可；

（3）根据中位数的定义可判断这名学生成绩的中位数会落在C组；

（4）利用样本估计总体即可求解．

【小问1详解】

解：m500.3618，n15500.3；

【小问2详解】

略

【小问3详解】

解：∵A，B组的人数之和为71522，A，B，C组的人数之和为7151840，且这50名学生成

1

绩的中位数为第25位，26位的成绩之和的，

2

∴这50名学生成绩的中位数会落在C组；

【小问4详解】

解：3600.272人，

即估计这360名复赛学生中获得一等奖的人数为72人．

k

24.如图，一次函数y3xb的图象与反比例函数yk0的图象交于点A(2,3)，与x轴交于点

x

C．在反比例函数图象上有一点B(3,m)，过点B作BDx轴于点D，连接AD，BC．

k

（1）求一次函数y3xb与反比例函数yk0的表达式；

x

（2）求四边形BDAC的面积．

6

【答案】（1）y3x3；y

x

（2）10

【解析】

【分析】（1）将点A2,3分别代入一次函数和反比例函数，可求出b和k．

（2）由反比例函数的表达式求出点B的坐标，再分别求一次函数与x轴交点C和点D的坐标，将四边形

分割为两个三角形求面积即可．

BDACSACD,SBCD

【小问1详解】

解：由题意，点A(2,3)在一次函数y3xb上，

32b3，解得b3；

一次函数的表达式为y3x3．

k

点A(2,3)在反比例函数yk0上，

x

k

3，解得k6，

2

6

反比例函数的表达式为y．

x

【小问2详解】

6

解：点B3,m在反比例函数y上，

x

6

m2

3

∴点B的坐标为3,2，

BDx轴，垂足D在x轴上，

点D的坐标为3,0，

直线y3x3与x轴交点C，

令y0，则03x3，解得x1，

∴点C的坐标为1,0，

CD134，

1111

四边形BDAC的面积为SSSCD3CDBD43426410．

ACDBCD2222

25.如图，AB是O的直径，点C是O上一点，CDAB于点D，点E在AB的延长线上，CB平分

ECD．

（1）求证：CE是O的切线；

5

（2）当AD8，sinBCE时，

5

①填空：tanBCE的值等于__________；

②求BC的长．

【答案】（1）证明：如图，连接OC，

∵OCOB，

∴OBCOCB．

∵CB平分ECD，

∴BCEDCB．

∵CDAB，

∴OBCDCB90，

∴OCBBCE90，

∴OCCE．

∵OC为O的半径，

∴CE是O的切线；

1

（2）①tanBCE；②25

2

【解析】

【分析】（1）连接OC，由OCOB得OBCOCB；由CB平分ECD得BCEDCB．结合

CDAB，可知RtBCD中OBCDCB90，等量代换得OCBBCE90，即OCCE，

进而即可证明；

BD5

（2）①由CB平分ECD得BCEDCB，在RtBCD中，sinDCB．可得

BC5

5BC25BC

BD，由勾股定理得CD，进而即可求出tanBCE；②连接AC，由AB是直径得

55

ACB90，结合CDAB，由同角的余角相等得DCBCAB，则可得CABBCE，即

1CD1

tanCAB．在RtACD中，AD8，由tanCAB得CD4；在RtBCD中，由

2AD2

BD1

tanDCB得BD2，最终由勾股定理求解即可．

CD2

【小问1详解】

略

【小问2详解】

BD5

解：①∵BCEDCB，sinBCE，

BC5

5BC

∴BD，

5

∵BD2CD2BC2，

25BC

∴CD，

5

5BC

BD1

∴tanBCEtanBCD5；

CD25BC2

5

②如图，连接AC，

AB为O的直径，

ACB90，

OBCCAB90．

由（1）可知，OBCDCB90，

DCBCAB，

由（1）可知，DCBBCE，

DCBCABBCE，

1

tanDCBtanCABtanBCE．

2

CD1

在RtACD中，tanCAB，AD8，

AD2

CD4．

BD1

在RtBCD中，tanDCB，CD4，

CD2

BD2，

BCBD2CD2224225．

26.在一次数学兴趣小组活动中，同学们围绕等腰三角形进行探究，下面是部分探究内容，请你思考并解答．

（1）【初步尝试】如图1，在ABC中，ABAC，过点B作BQ∥AC，BQ2，连接AQ．点P在

线段AB上，满足BPCCAQ，求AP的长．

（2）【类比探究】如图2，在ABC中，ABAC，以AB为对角线的矩形AEBD的顶点D在AC上，P，

Q分别是线段AB，BE上的动点（不含端点），APBQ．当BPCBCD时，用等式表示出CD和

QE的数量关系，并说明理由．

（3）【拓展迁移】如图3，在矩形AEBD中，P，Q分别是线段AB，BE上的动点（不含端点），APBQ．当

1

EAQDAP时，用等式表示出BP和QE的数量关系，并说明理由．

2

【答案】（1）AP2

（2）解：CDQE，理由如下：

如图1，连接AQ．

四边形AEBD为矩形，

∴BEAD，

PACQBA

ACBA，PACQBA，APBQ，

∴PAC≌QBASAS，

CPAAQB，

∴180CPA180AQB，

即BPCAQE．

BPCBCD，

BCDAQE，

四边形AEBD为矩形，

BDAE，BDCBDAAEQ90，

BDC≌AEQAAS，

CDQE．

（3）解：BP2QE，理由如下：

如图2，延长AD至点F，使得AFAB，连接BF，PF．

AFAB，

11

DFBABF180DAP90DAP．

22

1

EAQDAP，

2

DFB90EAQEQA．

由（2）同理可得，DFB≌EQAAAS，

FDQE．

ABAF，

APBPADFD，

APBPADQE．

四边形AEBD为矩形，

ADBE，

APBPBEQE，

APBPBQ2QE．

APBQ，

BP2QE．

【解析】

【分析】（1）由平行线的性质得到PACQBA．由BPCCAQ得到PCAQAB，从而证

明PAC≌QBAASA，根据全等三角形的性质即可解答；

（2）连接AQ．证明PAC≌QBASAS，得到CPAAQB，因此BPCAQE，从而

BCDAQE，进而证明BDC≌AEQAAS，即可得出CDQE．

（3）延长AD至点F，使得AFAB，连接BF，PF．由等边对等角得到

11

DFBABF180DAP90DAPEQA，由DFB≌EQAAAS得到

22

FDQE，根据线段的和差得出APBPADQE，根据矩形的性质有ADBE，因此

APBPBQ2QE，从而可得BP2QE．

【小问1详解】

解：∵BQ∥AC，

PACQBA．

BPCCAQ，

PACPCAPACQAB，

PCAQAB．

PACQBA，ACBA，PCAQAB，

PAC≌QBAASA，

\AP=BQ=2．

【小问2详解】

略

【小问3详解】

略

2

27.抛物线yx2bxc与x轴交于A，C(2,0)两点，与y轴交于点B(0,6)．动点D在线段OB上

3

（点D与点O不重合）．

2

（1）求抛物线yx2bxc的表达式；

3

（2）连接CD，在CD的左上方以CD为边作正方形CDMN．

①如图1，当BD4时，求正方形CDMN的面积；

②如图2，当点M落在抛物线上时，求点M的坐标；

13

（3）如图3，在动点D的正上方有另一动点E(0,p)，且ED，当点D从点B开始运动时，点E以相

4

同的速度同时出发，两点都沿y轴的正方向匀速运动，点D停止运动时点E同时停止运动．连接AE，CD，

求AECD的最小值和此时p的值．

25

【答案】（1）yx2x6

33

（2）①8；②(4,2)

1359

（3）AECD的最小值为，此时p

44

【解析】

5

2b

【分析】（1）把C(2,0)、B(0,6)代入yx2bxc，解方程组求出3，即可得出答案；

3

c6

（2）①根据B(0,6)、BD4得出OD2，根据点C(2,0)，利用勾股定理求出CD28，即可求出正

方形CDMN的面积；

②过点M作MFx轴于F，MHy轴于H，得出四边形FMHO是矩形，得出OHFM，MHOF，

根据正方形的性质及角的和差关系得出CDMD，MDHOCD，可证明MDH≌OCD(AAS)，

25

得出DHOC2，MHOD，设M(m,m2m6)(m0)，则MHm，

33

2525

OHm2m6，根据ODOHDH得出mm2m62，解方程求出m的值，即

3333

可得出答案；

13

（3）过点A作AG∥y轴，使AGED，连接DG，得出四边形AGDE是平行四边形，可得

4

AEDG，得出当点G、D、C三点在同一条直线上时，AECD取最小值，最小值为CG的长，根据

9135

抛物线解析式求出A(,0)，利用勾股定理求出CG，利用待定系数法求出直线CG的解析式为

24

1139

yx1，进而求出D(0,1)，根据ED，即可求出p．

244

【小问1详解】

2

解：∵抛物线yx2bxc与x轴交于A，C(2,0)