初高中数学暑假衔接材料：第03讲 函数的单调性（原卷版及解析）

13/14第03讲函数的单调性内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1函数单调性的判断与证明题型2求函数单调区间题型3利用函数的单调性求参数题型4利用函数的单调性比较大小题型5利用函数的单调性解不等式题型6求函数的最值或值域题型7根据函数的最值求参数04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航函数单调性、单调区间1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性.2.理解函数单调性的作用和实际意义.3.在理解函数单调性概念的基础上，理解函数单调性的作用，掌握函数单调性的应用.4.在函数单调性的应用过程中，培养逻辑推理和数学运算素养学习重点：函数单调性的概念、利用定义证明或判断函数的单调性以及利用定义求函数的单调区间；学习难点：函数单调性的应用知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01函数的单调性1．函数的单调性(1)单调递增、单调递减：名称定义图形表示几何意义单调递增一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1,x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增.

函数f(x)在区间D上的图象从左到右是上升的.单调递减一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1,x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减.函数f(x)在区间D上的图象从左到右是下降的.(2)函数的单调性及单调区间：①当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时，我们就称它是增(减)函数.

②如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.(3)常见函数的单调性：函数单调性一次函数y=ax+b

(a≠0)a>0时，在R上单调递增；

a<0时，在R上单调递减.

反比例函数a>0时，单调递减区间是(,0)和(0,)；

a<0时，单调递增区间是(,0)和(0,).二次函数y=a(x-m)²+n(a≠0)a>0时，单调递减区间是(,m]，单调递增区间是[m,)；

a<0时，单调递减区间是[m,)，单调递增区间是(,m].(4)单调函数的运算性质：若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：

①f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性.

②若a为常数，则当a>0时，f(x)与af(x)具有相同的单调性；当a<0时，f(x)与af(x)具有相反的单调性.

③若f(x)恒为正值或恒为负值，a为常数，则当a>0时，f(x)与具有相反的单调性；当a<0时，f(x)与具有相同的单调性.

④若f(x)≥0，则f(x)与具有相同的单调性.

⑤在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论：f(x)g(x)f(x)+g(x)f(x)-g(x)增增增不能确定单调性增减不能确定单调性增减减减不能确定单调性减增不能确定单调性减⑥当f(x)，g(x)在区间D上都是单调递增(减)的，若两者都恒大于零，则f(x)·g(x)在区间D上也是单调递增(减)的；若两者都恒小于零，则f(x)·g(x)在区间D上单调递减(增).(5)复合函数的单调性判定：对于复合函数f(g(x))，设t=g(x)在(a,b)上单调，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也单调.t=g(x)y=f(t)y=f(g(x))增增增增减减减增减减减增2．函数单调性的判断(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性.(2)复合函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.知识点02函数的最值1．函数的最大（小）值(1)函数的最大（小）值：名称定义几何意义函数的最大值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)x∈1，都有f(x)≤M；(2)x0∈1，使得f(x0)=M.那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值.函数的最大值对应图象最高点的纵坐标.函数的最小值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足：(1)x∈1，都有f(x)≥m；(2)x0∈1，使得f(x0)=m.那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值.函数的最小值对应图象最低点的纵坐标.(2)利用函数单调性求最值的常用结论：①如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数y=f(x),x∈[a,c]在x=b处有最大值f(b)，如图(1)所示；

②如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数y=f(x),x∈[a,c]在x=b处有最小值f(b)，如图(2)所示.2．求函数最值的三种基本方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.题型1函数单调性的判断与证明【例1】已知函数fx=ax+bx2(1)求a和b的值；(2)判断fx在2,+【易错提醒】/【方法总结】【变式1-1】给定fx=x2−3x+2+(1)求fx,gx(2)判断ℎx在区间3,+∞上的单调性，gx【变式1-2】设函数fx在R上为增函数，则下列结论正确的是A．y=1fxB．y=fx在C．y=−1fxD．y=−fx在R【变式1-3】已知函数，则函数（）A．在上单调递增 B．在上单调递减C．在上单调递增 D．在上单调递减题型2求函数单调区间【例2】函数gx=xx+1A．−∞,12 B．−1,−12【易错提醒】/【方法总结】【变式2-1】下列函数中，在区间(-∞,0)上单调递减的是（

）A．f(x)=C．f(x)=【变式2-2】函数fx=1A．4,+∞ B．0,4 C．4,8 D．【变式2-3】设fx=x，gxA．fx+gxB．fx+gxC．fx−gxD．fx−gx题型3根据函数的单调性求参数值【例3】若函数fx=ax2+2x−1在A．−1,+∞ B．C．[0,+∞) 【易错提醒】/【方法总结】【变式3-1】（1）函数fx=−x2+2（2）已知函数fx=x+mx−1【变式3-2】若二次函数f(x)=x2−2(a−1)x+1在区间(1,3)上单调递增，则实数aA．(−∞,2] B．[2,4] C．[2,+∞【变式3-3】已知函数fx=x2+ax+5,x≤1A．−3≤a≤−2 B．−3≤a≤0 C．a≤−2 D．a<0题型4利用函数的单调性比较大小【例4】若函数fx在−∞,−1A．f−32C．f−2<f−1【易错提醒】/【方法总结】【变式4-1】设a=20222+1A．c>b>a B．a>b>c C．a>c>b D．c>a>b【变式4-2】已知定义在R上的函数fx满足f1−x=f3+x，且在−∞,2上单调递增，a=fπA．a<b<c B．c<b<a C．b<c<a D．c<a<b【变式4-3】已知f2−x=fx+2，且fx在0,2上单调递减，则f1，fA．f52<fC．f72<f题型5利用函数的单调性解不等式【例5】已知定义域为0,+∞的增函数fx满足fx+y=fx+fyA．−3,−2∪2,+∞C．−3,−2 D．−3,−2【易错提醒】/【方法总结】【变式5-1】定义在0,+∞上的函数fx满足：对∀x1,x2∈0,+∞，且A．0,2 B．2,+∞ C．0,3 D．【变式5-2】函数fx是定义在0,+∞的增函数，则满足f2x−1<f1A．13,23 B．12,【变式5-3】已知函数f(1)用定义法证明函数fx在区间1,+(2)若函数fx的定义域为1,+∞，且fm题型6求函数的最值或值域【例6】函数y=x+9x+1在区间−∞A．−6 B．−7 C．5 D．6【易错提醒】/【方法总结】【变式6-1】函数f(x)=xA．3,+∞ B．C．−∞,−5∪【变式6-2】若x>0，则fx=2−x−4A．最大值为−2 B．最小值为−2 C．最大值为6 D．最小值为6【变式6-3】已知函数fx(1)函数单调性的定义证明：函数fx在−1,+(2)求函数fx在区间1,4题型7根据函数的最值求参数【例7】若函数fx=x+ax+1在区间0,1内的最大值为3，则A．3 B．4 C．5 D．3或5【易错提醒】/【方法总结】【变式7-1】已知函数y=3x+2x−1，x∈m,n的最小值为8，则实数mA．0,1 B．1,2 C．1,2 D．1,2【变式7-2】若函数fx=xx2+a在1,+∞A．12 B．1 C．2+1 【变式7-3】已知函数fx(1)若fx+2≥0恒成立，求(2)若fx在−1,5上单调，求a(3)求fx在1,3上的最小值为−54一、单选题1．已知函数f(x)=1x+1(x∈[0,3])，则函数f(x)A．−1 B．14 C．1 2．设函数fx=x2−4kx−8在区间2,4A．1,2 B．−∞,1 C．2,+∞3．若函数y=ax与y=−bx在(0,+∞)上都单调递减，则y=axA．单调递增 B．单调递减C．先减再增 D．先增再减4．当x≥1时，下列函数的最小值不为4的有（

）A．y=x2+5C．y=4x+1x 5．已知函数fx满足f1−x=f5+x，fx在−∞,3A．−∞,2C．−43,6．已知定义在R上的函数f(x)满足f(−x)=f(x)，且f(x)在(0,+∞)上单调递减，则f(−3)，f(5A．f(52)<f(−3)<f(C．f(72)<f(−3)<f(7．已知函数fx=x2−2x,x≥0−xA．−∞,−2∪C．−∞,−1∪8．定义在0,+∞上的函数fx，满足对任意x1,x2∈0,+∞，且xA．1,2 B．0,2 C．1,+∞ D．二、多选题9．已知函数f(x)的图象由如图所示的两条曲线组成，则下列不正确的是（

）A．f(f(−3))=5 B．f(x)是单调增函数C．f(x)的定义域是(−∞,0]∪[2,3] D．f(x)10．定义mina,b=a,a<bb,a≥b，设A．fxB．当x≤0，fx的最大值为C．不等式fx≤D．fx的单调递增区间为三、填空题11．函数y=x+1−2−x的最大值为12．已知函数fx=ax+1,x≥1−x2+2ax−2,x<1在R四、解答题13．已知函数f(x)=2x+1(1)用定义法判断fx在区间−2,+(2)求出该函数在区间1,4上的最大值和最小值.14．已知函数fx=−x2+2kx−k(1)若fg−1=−(2)求实数k的取值范围．15．已知函数f(x)是定义在区间(0,+∞)上的增函数，满足(1)求f(1)和f(9)的值(2)解关于x的不等式f(3x+6)+f(x)<2．

第03讲函数的单调性内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1函数单调性的判断与证明题型2求函数单调区间题型3利用函数的单调性求参数题型4利用函数的单调性比较大小题型5利用函数的单调性解不等式题型6求函数的最值或值域题型7根据函数的最值求参数04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航函数单调性、单调区间1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性.2.理解函数单调性的作用和实际意义.3.在理解函数单调性概念的基础上，理解函数单调性的作用，掌握函数单调性的应用.4.在函数单调性的应用过程中，培养逻辑推理和数学运算素养学习重点：函数单调性的概念、利用定义证明或判断函数的单调性以及利用定义求函数的单调区间；学习难点：函数单调性的应用知｜知｜识｜框｜架知｜知｜识｜精｜讲知识点01函数的单调性1．函数的单调性(1)单调递增、单调递减：名称定义图形表示几何意义单调递增一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1,x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增.

函数f(x)在区间D上的图象从左到右是上升的.单调递减一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1,x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减.函数f(x)在区间D上的图象从左到右是下降的.(2)函数的单调性及单调区间：①当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时，我们就称它是增(减)函数.

②如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.(3)常见函数的单调性：函数单调性一次函数y=ax+b

(a≠0)a>0时，在R上单调递增；

a<0时，在R上单调递减.

反比例函数a>0时，单调递减区间是(,0)和(0,)；

a<0时，单调递增区间是(,0)和(0,).二次函数y=a(x-m)²+n(a≠0)a>0时，单调递减区间是(,m]，单调递增区间是[m,)；

a<0时，单调递减区间是[m,)，单调递增区间是(,m].(4)单调函数的运算性质：若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：

①f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性.

②若a为常数，则当a>0时，f(x)与af(x)具有相同的单调性；当a<0时，f(x)与af(x)具有相反的单调性.

③若f(x)恒为正值或恒为负值，a为常数，则当a>0时，f(x)与具有相反的单调性；当a<0时，f(x)与具有相同的单调性.

④若f(x)≥0，则f(x)与具有相同的单调性.

⑤在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论：f(x)g(x)f(x)+g(x)f(x)-g(x)增增增不能确定单调性增减不能确定单调性增减减减不能确定单调性减增不能确定单调性减⑥当f(x)，g(x)在区间D上都是单调递增(减)的，若两者都恒大于零，则f(x)·g(x)在区间D上也是单调递增(减)的；若两者都恒小于零，则f(x)·g(x)在区间D上单调递减(增).(5)复合函数的单调性判定：对于复合函数f(g(x))，设t=g(x)在(a,b)上单调，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也单调.t=g(x)y=f(t)y=f(g(x))增增增增减减减增减减减增2．函数单调性的判断(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性.(2)复合函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.知识点02函数的最值1．函数的最大（小）值(1)函数的最大（小）值：名称定义几何意义函数的最大值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)x∈1，都有f(x)≤M；(2)x0∈1，使得f(x0)=M.那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值.函数的最大值对应图象最高点的纵坐标.函数的最小值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足：(1)x∈1，都有f(x)≥m；(2)x0∈1，使得f(x0)=m.那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值.函数的最小值对应图象最低点的纵坐标.(2)利用函数单调性求最值的常用结论：①如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数y=f(x),x∈[a,c]在x=b处有最大值f(b)，如图(1)所示；

②如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数y=f(x),x∈[a,c]在x=b处有最小值f(b)，如图(2)所示.2．求函数最值的三种基本方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.题型1函数单调性的判断与证明【例1】已知函数fx=ax+bx2(1)求a和b的值；(2)判断fx在2,+【答案】(1)a=1,b=0；(2)fx在2,+【分析】（1）由f1（2）根据函数单调性的定义证明单调性.【解析】（1）因为f1所以a+b5=1（2）由（1）知：fx=xx2证明如下：在2,+∞上任取x1,fx∵2≤x∴x2−x1>0∴fx∴fx1>fx2【易错提醒】/【方法总结】利用定义证明函数单调性的步骤：(1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2；(2)作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的关系式；(3)定号：确定f(x1)－f(x2)的符号；(4)结论：根据f(x1)－f(x2)的符号与定义确定单调性.【变式1-1】给定fx=x2−3x+2+(1)求fx,gx(2)判断ℎx在区间3,+∞上的单调性，gx【答案】(1)答案见解析(2)ℎx在区间3,+∞上单调递减，gx【解题思路】（1）利用二次根式的性质和分式的性质求解定义域，结合给定条件利用待定系数法求解解析式即可.（2）先判断函数的单调性，再利用定义法证明即可.【解答过程】（1）令x2−3x+2≥0，解得令x−4≠0，解得x≠4，则fx的定义域为(−因为gx=2a−1x2因为g0+3g2解得a=2，得到gx=4−1x2则gx的定义域为(−（2）判断：ℎx在区间3,+我们任取x1,x则ℎx=4因为x1<x因为x1,x2∈即ℎx1>ℎx2判断：gx在区间1,+我们任取x1,x则gx=x=(x1+x因为x1,x2∈得到gx1−g故gx在区间1,+【变式1-2】设函数fx在R上为增函数，则下列结论正确的是A．y=1fxB．y=fx在C．y=−1fxD．y=−fx在R【答案】D【分析】通过举反例即可判断A、B、C选项，可以借助单调性的定义证明D选项.【解析】对于A选项，若fx=x，则y=1对于B选项，若fx=x，则y=f对于C选项，若fx=x，则y=−1对于D选项，函数fx在R上为增函数，则对于任意的x1,x2∈R对于y=−fx，则有则y=−fx在R故选：D.【变式1-3】已知函数，则函数（）A．在上单调递增 B．在上单调递减C．在上单调递增 D．在上单调递减【答案】D【解析】，所以函数的图象可由反比例函数的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到.因为在和上单调递减，所以在和上单调递减.故选：D题型2求函数单调区间【例2】函数gx=xx+1A．−∞,12 B．−1,−12【解题思路】利用分段函数以及二次函数的单调性求解.【解答过程】当x≥−1时，gx则g(x)在−1,−12单调递减，当x<−1时，g则g(x)在−∞所以gx=x故选：B.【易错提醒】/【方法总结】利用分段函数以及二次函数的单调性【变式2-1】下列函数中，在区间(-∞,0)上单调递减的是（

）A．f(x)=C．f(x)=【解题思路】根据一次函数，二次函数，反比例函数，绝对值函数及单调性定义判断．【解答过程】在(-∞,0)上，f(x)=f(x)=x2x<0时，f故选：D．【变式2-2】函数fx=1A．4,+∞ B．0,4 C．4,8 D．【答案】B【解题思路】先求出函数定义域，由复合函数单调性可知，只需求解t=−x2+8x【解答过程】由题意得−x2+8x>0，解得0<x<8，故f由于y=1t在故只需求解t=−x2+8xt=−x2+8x开口向下，对称轴为x=4故选：B.【变式2-3】设fx=x，gxA．fx+gxB．fx+gxC．fx−gxD．fx−gx【解题思路】根据正比例函数、反比例函数的单调性，结合函数单调性的性质、定义逐一判断即可.【解答过程】函数fx=x,gx=−1x在区间令ℎx=fx则ℎx当0<x1<x2<1时，0<x当1<x1<x2时，x故选：A.题型3根据函数的单调性求参数值【例3】若函数fx=ax2+2x−1在A．−1,+∞ B．C．[0,+∞) 【答案】C【解题思路】要考虑函数有意义，即根号下的式子恒大于等于0.然后根据复合函数单调性的判断方法来确定实数a的取值范围.【解答过程】当a=0时，此时f(x)=2x−1，令t=2x−1，则t是一次函数，所以t=2x−1在[1,+且当x∈[1,+∞)时，t=2x−1≥2×1−1=1>0，满足f(x)=t的定义域要求，所以f(x)=当a>0时，二次函数t=ax所以t=ax2+2x−1要使f(x)=ax2+2x−1有意义，则当x=1时，t=a×12+2×1−1=a+1，因为a>0，所以a+1>0当a<0时，二次函数t=ax那么t=ax2+2x−1在(−∞,−1a)上单调递增，在综合以上三种情况，实数a的取值范围是[0,+∞故选:C.【易错提醒】/【方法总结】根号下的式子恒大于等于0.再根据复合函数单调性的判断方法来确定实数a的取值范围.【变式3-1】（1）函数fx=−x2+2（2）已知函数fx=x+mx−1【答案】（1）a≥5；（2）m≤4【解题思路】（1）利用二次函数的图象与开口方向可求a的范围；（2）任取x1、x2∈2,+∞【解答过程】（1）根据题意得函数图像开口向下，对称轴为x=a−1．函数在区间−∞,4上是严格增函数，所以a−1≥4，∴（2）任取x1、x2∈所以x1+m整理得mx∵x1<x2，∴x2−x1>0，∴m<【变式3-2】若二次函数f(x)=x2−2(a−1)x+1在区间(1,3)上单调递增，则实数aA．(−∞,2] B．[2,4] C．[2,+∞【解题思路】根据二次函数的图象和性质求解即可.【解答过程】二次函数f(x)=x2−2(a−1)x+1若fx在区间(1,3)上单调递增，则a−1≤1，解得a≤2故选：A.【变式3-3】已知函数fx=x2+ax+5,x≤1A．−3≤a≤−2 B．−3≤a≤0 C．a≤−2 D．a<0【答案】A【解题思路】根据分段函数y=fx在R上的单调性可得出关于实数a的不等式组，进而可求得实数a【解答过程】由于函数fx=x所以，函数y=x2+ax+5在区间−∞,1上为减函数，函数y=−即−a≤1+a+5a<0−a因此，实数a的取值范围是−3≤a≤−2.故选：A.题型4利用函数的单调性比较大小【例4】若函数fx在−∞,−1A．f−32C．f−2<f−1【解题思路】根据增函数的定义求解即可.【解答过程】因为fx在−∞,−1所以f−2故选：D.【易错提醒】/【方法总结】根据增函数的定义求解即可【变式4-1】设a=20222+1A．c>b>a B．a>b>c C．a>c>b D．c>a>b【解题思路】构造函数fx【解答过程】设fx=x2+1x2−1=所以fx在1,+∞单调递减，所以f2022故选：B.【变式4-2】已知定义在R上的函数fx满足f1−x=f3+x，且在−∞,2上单调递增，a=fπA．a<b<c B．c<b<a C．b<c<a D．c<a<b【解题思路】由题意确定对称轴为x=2，进而确定函数单调性，由单调性即可判断.【解答过程】由已知得函数fx的图象关于直线x=2所以fx在−∞,2所以f0<f3．又2<因为π−2>2−3，所以故f0<fπ故选：D.【变式4-3】已知f2−x=fx+2，且fx在0,2上单调递减，则f1，fA．f52<fC．f72<f【解题思路】根据f2−x=fx+2得到f【解答过程】因为f2−x=fx+2，所以f因为fx在0,2上单调递减，所以f故选：A.题型5利用函数的单调性解不等式【例5】已知定义域为0,+∞的增函数fx满足fx+y=fx+fyA．−3,−2∪2,+∞C．−3,−2 D．−3,−2【答案】A【解题思路】利用函数的单调性，再求解不等式.【解答过程】因为fx+y=fx令x=y=12，得又因为fx+3所以fx+3+f因为fx在0,+所以x+3>0x2−4>0x2即不等式的解集为−3,−2∪故选：A.【易错提醒】/【方法总结】解抽象函数不等式问题是将不等式两边化为两函数值的形式再利用单调性脱掉符号即可构造不等式【变式5-1】定义在0,+∞上的函数fx满足：对∀x1,x2∈0,+∞，且A．0,2 B．2,+∞ C．0,3 D．【解题思路】根据给定条件，构造函数g(x)=f(x)x,x>0，变形给定不等式确定函数g(x)【解答过程】令g(x)=f(x)x,x>0，则f(x)=xg(x)对∀x1,x2则x2x1所以函数g(x)在(0,+∞不等式f(x)−3x>0⇔xg(x)>3x⇔g(x)>3=g(3)，因此0<x<3，所以原不等式的解集为0,3.故选：C.【变式5-2】函数fx是定义在0,+∞的增函数，则满足f2x−1<f1A．13,23 B．12,【解题思路】根据函数fx的定义域与单调性将原不等式化为0≤2x−1<【解答过程】因为函数fx是定义在0,+由f2x−1<f1解得12≤x<2故选：B.【变式5-3】已知函数f(1)用定义法证明函数fx在区间1,+(2)若函数fx的定义域为1,+∞，且fm【答案】(1)证明见解析(2)−4<m≤−1或2≤m<3【解题思路】（1）根据条件，利用函数单调性的定义，即可证明结果；（2）根据条件和（1）结果，得到不等式组m2【解答过程】（1）任取x1<x2，且则f=x又x1<x2，x1，x所以x1−x得到fx1−f所以函数fx在区间1,+（2）因为函数fx的定义域为1,+且在区间1,+∞上是增函数，由f得到m2−m−1<11−2mm2−m−1≥1所以实数m的取值范围为−4<m≤−1或2≤m<3.题型6求函数的最值或值域【例6】函数y=x+9x+1在区间−∞A．−6 B．−7 C．5 D．6【答案】B【解题思路】将y=x+9x+1变形为【解答过程】函数y=x+9x+1在区间−∞x+1<0，所以y=x+1+9当且仅当−x+1=9故选：B.【易错提醒】/【方法总结】求函数最值的方法：1.利用函数单调性2.利用基本不等式法【变式6-1】函数f(x)=xA．3,+∞ B．C．−∞,−5∪【答案】C【解题思路】结合对勾函数的单调性即可求解.【解答过程】化简可得：f(x)=x+4设g(x)=x+4x,则由对勾函数的性值可知：函数g(x)=x+4x是奇函数，在(0,2]上单调递减，当x>0时，在x=2处取得最小值g2=4，当x→0或x→+∞时，所以g(x)的值域为(−∞,−4]∪[4,+∞)，所以函数f(x)=g(x)−1值域为−∞故选：C.【变式6-2】若x>0，则fx=2−x−4A．最大值为−2 B．最小值为−2 C．最大值为6 D．最小值为6【解题思路】先用定义法证明函数fx在0,2单调递增，在2,+【解答过程】任取0<x则fx1−f因为0<x1<x2<2，所以所以fx1−f所以fx在0,2单调递增；同理可证fx在所以fx【变式6-3】已知函数fx(1)函数单调性的定义证明：函数fx在−1,+(2)求函数fx在区间1,4【答案】(1)证明见解析(2)最大值为1，最小值为−1【解题思路】（1）任取x1,x2∈（2）由（1）知fx在区间1,4【解答过程】（1）证明：任取x1,x则fx1因为x1,x2∈−1,+∞，x所以fx1−f所以fx在−1,+（2）由（1）知fx在区间1,4所以fxmin=f所以函数fx在区间1,4上的最大值为1，最小值为−题型7根据函数的最值求参数【例7】若函数fx=x+ax+1在区间0,1内的最大值为3，则A．3 B．4 C．5 D．3或5【答案】A【解题思路】先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类研究即可.【解答过程】fx=x+ax+1=1+当a−1>0，即a>1时，fx在0,1内单调递减，f当a−1<0，即a<1时，fx在0,1内单调递增，f解得a=5，与a<1矛盾，舍去．综上所述，a=3．故选：A.【易错提醒】/【方法总结】分式函数先分离变量化成分子不含变量的形式，再判断函数的单调性，分类讨论即可【变式7-1】已知函数y=3x+2x−1，x∈m,n的最小值为8，则实数mA．0,1 B．1,2 C．1,2 D．1,2【解题思路】对反比例型函数y=3x+2x−1分离常数，由x∈m,n时的最小值为8得到n【解答过程】由y=3x+2因为y=3x+2x−1在x∈m,n所以x∈m,n时，3+所以1≤m<n，易知反比例型函数y=3+5x−1在所以y=3+5x−1在x=n处取到的最小值为即3+5所以1≤m<2.故选：D.【变式7-2】若函数fx=xx2+a在1,+∞A．12 B．1 C．2+1 【解题思路】分a≤0、0<a≤1和a>1三种情况讨论，研究其单调性，根据最大值建立方程求解即可.【解答过程】因为fx=xx2+a=则fxmax=f1=11+a当a>0时，根据对勾函数单调性可知，函数y=x+ax在0,a故当0<a≤1时，函数y=x+ax在1,+∞上单调递增，则f所以fxmax=f1=当a>1时，函数y=x+ax在1,a函数fx在1,a上单调递增，在所以fxmax=fa=aa+a综上所述，a=2−1故选：D.【变式7-3】已知函数fx(1)若fx+2≥0恒成立，求(2)若fx在−1,5上单调，求a(3)求fx在1,3上的最小值为−54【答案】(1)2(2)−(3)a=−4或5【解题思路】（1）由一元二次不等式恒成立，结合图象推得Δ≤0（2）先求函数fx的单调区间，依题使−1,5（3）由函数fx【解答过程】（1）由题意得x2−ax+2≥0恒成立，则解得−22所以a的最大值为22（2）由题意得fx图象的对称轴为直线x=所以fx在(−∞,因为fx在−1,5上单调，所以a2≤−1解得a≤−2或a≥10，即a的取值范围为−∞（3）当a2≥3，即a≥6时，fx在1,3解得a=36当a2≤1，即a≤2时，fx在1,3解得a=−4<2，符合题意；当1<a2<3，即2<a<6时，fx在fxmin=fa2故a=−4或5.一、单选题1．已知函数f(x)=1x+1(x∈[0,3])，则函数f(x)A．−1 B．14 C．1 【解题思路】利用函数的单调性求解即可.【解答过程】因为f(x)=1x+1在所以当x=3时fx取得最小值，f故选：B.2．设函数fx=x2−4kx−8在区间2,4A．1,2 B．−∞,1 C．2,+∞【解题思路】在本题中先求出函数f(x)=x2−4kx−8的对称轴，再根据函数在区间2,4上具有单调性，分类讨论，确定对称轴与区间2,4【解答过程】对于函数f(x)=x2−4kx−8因为函数f(x)在区间2,4上具有单调性，所以对称轴x=2k不在区间(2,4)内.当2k≤2时，即k≤1，函数f(x)在区间2,4上单调递增.当2k≥4时，即k≥2，函数f(x)在区间2,4上单调递减.所以k的取值范围是k≤1或k≥2.故选：D.3．若函数y=ax与y=−bx在(0,+∞)上都单调递减，则y=axA．单调递增 B．单调递减C．先减再增 D．先增再减【解题思路】根据常见函数的性质，先判断出a,b的符号，然后由二次函数的开口方向，对称轴范围进行判断.【解答过程】根据正比例函数，反比例函数性质，若函数y=ax与y=−bx在则a<0,b<0，于是二次函数y=ax2+bx于是y=ax2+bx故选：B.4．当x≥1时，下列函数的最小值不为4的有（

）A．y=x2+5C．y=4x+1x 【解题思路】根据基本不等式可得选项A、B错误；利用函数的单调性可得选项C正确、选项D错误.【解答过程】A．y=x取等号时x2+1=4xB．y=4取等号时2x−1=42x−1x≥1，即x=C．根据对勾函数的单调性可知：y=4x+1x在所以函数最小值为：4×1+1D．因为y=5x−1x在1,+∞故选：C．5．已知函数fx满足f1−x=f5+x，fx在−∞,3A．−∞,2C．−43,【解题思路】根据题意可知函数fx关于直线x=3【解答过程】因为f1−x=f5+x，可知函数f又因为fx在−∞,3则fx在3,+∞上单调递增，可知当x∈−∞,0∪6,+∞时，若f2−3x>0，可得2−3x<0或2−3x>6，解得x>2所以f2−3x>0的解集是故选：D.6．已知定义在R上的函数f(x)满足f(−x)=f(x)，且f(x)在(0,+∞)上单调递减，则f(−3)，f(5A．f(52)<f(−3)<f(C．f(72)<f(−3)<f(【解题思路】根据给定条件可得f(−3)=f(3)，再利用单调性比较大小即得.【解答过程】依题意，f(−3)=f(3)，由f(x)在(0,+∞)上单调递减，52所以f(7故选：C.7．已知函数fx=x2−2x,x≥0−xA．−∞,−2∪C．−∞,−1∪【解题思路】作出函数fx的图象，由图象得到fx的单调递增区间，根据条件列出关于m的不等式，解不等式得到【解答过程】作出函数fx要使函数fx在m,m+1则m≥1或m+1≤−1，解得m≥1或m≤−2，∴实数m的取值范围为−∞故选：A．8．定义在0,+∞上的函数fx，满足对任意x1,x2∈0,+∞，且xA．1,2 B．0,2 C．1,+∞ D．【解题思路】不妨设x1>x2>0，则由x2f【解答过程】由题意，不妨设x1则由x2fx则x2所