初高中数学暑假衔接材料：第3章 不等式单元测试卷（原卷版及解析）

第3章不等式单元测试卷建议用时：120分钟，满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．不等式的解集为（

）A． B．C． D．2．下列命题中错误的是（

）A．若，，则 B．若，则C．若，则 D．若，，则3．不等式的解集为（

）A． B．C． D．4．已知不等式的解集非空，则的取值范围是（

）A． B．或C．或 D．5．已知实数，满足，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．6．已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（

）A． B． C．或 D．或7．已知，若恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．8．设表示中最大的数，已知均为正数，则的最小值为（

）A． B．2 C． D．3二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知，则下列不等关系正确的是（

）A． B． C． D．10．关于的不等式的解集可能为（

）A． B．C． D．11．已知为正实数，，则（

）A．的最大值为 B．的最小值C．的最小值为 D．的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知，则的取值范围是.13．关于的不等式的解集中恰有两个正整数，则实数的取值范围是.14．如图，地在自西向东的一条直线铁路上，在距地的B地有一金属矿，地到该铁路的距离．现拟定在之间的地修建一条公路到地，即修建一条的运输路线．若公路运费是铁路运费的倍，则当地到地的距离为时，总运费最低．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）（1）已知，，

求的最小值；（2）已知，求的最大值；16．（15分）设函数.(1)若，且集合中有且只有一个元素，求实数的取值集合；(2)解关于的不等式；17．（15分）已知函数.(1)若不等式的解集为，求实数的值；(2)当时，求不等式的解集.18．（17分）新能源汽车是指采用非常规的车用燃料作为动力来源（或使用常规的车用燃料、采用新型车载动力装置），综合车辆的动力控制和驱动方面的先进技术，形成的技术原理先进、具有新技术、新结构的汽车.新能源汽车包括纯电动汽车、增程式电动汽车、混合动力汽车、燃料电池电动汽车、氢发动机汽车等.目前新能源汽车越来越普及，对充电桩的需求量也越来越大，某商场计划在地下停车库安装公共充电桩，以满足顾客的需求.据市场分析，公共充电桩的历年总利润y（单位：万元）与营运年数x（x是正整数）成一元二次函数关系，营运三年时总利润为20万元，营运六年时总利润最大，最大为110万元．(1)求出y关于x的函数关系式；(2)求营运的年平均总利润的最大值（注：年平均总利润=历年总利润÷营运年数）．19．（17分）已知集合，集合，.(1)若，求实数的值；(2)若，求实数的取值范围.

第3章不等式单元测试卷建议用时：120分钟，满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】原不等式即为，即，解得，故原不等式的解集为.故选：A.2．下列命题中错误的是（

）A．若，，则 B．若，则C．若，则 D．若，，则【答案】C【分析】利用不等式的性质或者特值排除法可得答案.【详解】因为，所以，因为，所以，A正确；因为，所以，所以，B正确；C错误，比如，而；因为，，所以，所以，D正确.故选：C3．不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】将分式不等式转化为等价的整式不等式组求解.【详解】不等式可化为，等价于，解得或，所以原不等式解集为.故选：C4．已知不等式的解集非空，则的取值范围是（

）A． B．或C．或 D．【答案】B【分析】根据一元二次不等式有解，结合对应二次函数的性质列不等式求参数范围.【详解】由在R上有解，又开口向上，所以，解得或，即或.故选：B5．已知实数，满足，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】设，求出和，再根据不等式的性质求解即可.【详解】设，则，解得，所以，因为，所以，又，所以，即，所以的取值范围是.故选：A.6．已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【解析】由题意知，1为方程的两根，所以解得则不等式可化为，即，解得．7．已知，若恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】条件转化为恒成立，再利用基本不等式求右侧的最大值，即可求得参数范围.【详解】因为，所以恒成立等价于恒成立，又，当且仅当时取等号，故.故选：A8．设表示中最大的数，已知均为正数，则的最小值为（

）A． B．2 C． D．3【答案】D【分析】先利用基本不等式得到和的最小值，进而利用得到和的最小值，从而得到所求的最小值.【详解】设．因为为正数，所以，当且仅当，即时，等号成立，则，时取等号．因为为正数，所以，当且仅当，即时，等号成立，则，当时取等号．，当，即时取“等号”，所以M的最小值为3．故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知，则下列不等关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】利用特值法判断C，利用不等式性质判断ABD.【详解】对A：因为，所以，所以，故A错误；对B：，因为，所以必定成立，即原不等式成立，故B正确；对C：取，，，不成立，故C错误；对D：，因为，所以，故原不等式成立，故D正确.故选：BD.10．关于的不等式的解集可能为（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】二次项系数含有参数，应先讨论是否为0，容易遗漏时为一次不等式的情况．【详解】当时，不等式可化为，则不等式的解集为，故B正确．当时，为一元二次不等式，且可因式分解为．二次项系数影响不等式是否变号，因此再分两种情况．当时，．当，即时，不等式的解集为，故C正确．当，即时，不等式的解集为；当，即时，不等式的解集为．当时，，此时显然，不等式的解集为，故D正确．故选：BCD11．已知为正实数，，则（

）A．的最大值为 B．的最小值C．的最小值为 D．的最小值为【答案】ABC【分析】应用基本不等式及应用常值代换分别计算判断各个选项即可.【详解】对于A：，当且仅当时取“=”，A正确；对于B：，当且仅当时取“=”，B正确；对于C：，令，，则，，当且仅当，即，时取“=”，的最小值为，C正确；对于D：当且仅当时取“=”，D错误；故选：ABC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知，则的取值范围是.【答案】【分析】根据题意，先求出的取值范围，再通过同向不等式相加得到的范围，再由正数的可乘方性即可得出结果.【详解】由不等式可乘性得，由同向可加性得，由正数的可乘方性得，所以的取值范围是.故答案为：.13．关于的不等式的解集中恰有两个正整数，则实数的取值范围是.【答案】【分析】分类讨论两根大小解不等式，结合题意分析求解即可.【详解】对于不等式，可得不等式，若，解得，无正整数解，不合题意；若，不等式无解，不合题意；若，解得，由题意可得；综上所述：实数的取值范围是.故答案为：.14．如图，地在自西向东的一条直线铁路上，在距地的B地有一金属矿，地到该铁路的距离．现拟定在之间的地修建一条公路到地，即修建一条的运输路线．若公路运费是铁路运费的倍，则当地到地的距离为时，总运费最低．【答案】【分析】根据已知列出总运费，再应用判别式法计算求解即可.【详解】设当地到地的距离为时，铁路每公里运费为，公路每公里运费为．由题意得，则总运费，要使总费用最低，只需最小即可．设，则，得，则，得．当时，总费用最低，则，得，所以当地到地的距离为时，总运费最低．故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）（1）已知，，

求的最小值；（2）已知，求的最大值；【答案】（1）4；（2）【分析】（1）由基本不等式即可求解；（2）由基本不等式即可求解.【详解】（1）因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为；（2）因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为.16．（15分）设函数.(1)若，且集合中有且只有一个元素，求实数的取值集合；(2)解关于的不等式；【答案】(1)(2)答案见解析.【分析】（1）由题设有且仅有一个根，讨论参数a，结合函数性质求参数值.（2）由题设，应用分类讨论求一元二次不等式的解集.【详解】（1）函数，又有且只有一个元素，则方程有且仅有一个根，当时，，即，则，满足题设；当时，，即，则，满足题设，所以的取值集合为.（2）依题意，，整理得，当时，解得；当时，无解；当时，解得，综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.17．（15分）已知函数.(1)若不等式的解集为，求实数的值；(2)当时，求不等式的解集.【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）由题意可知的两根为和，然后利用根与系数的关系可求得结果；（2）当时可得，当时，，然后分和两种情况结合一元二次不等式的解法可求得结果.【详解】（1）由题意可知的两根为和，所以由根与系数的关系得，解得.（2）当时，则，解得；当时，，当时，则，解得或；当时，则，当时，即，解，得；当时，即，解，得；当时，即，解，得.综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.18．（17分）新能源汽车是指采用非常规的车用燃料作为动力来源（或使用常规的车用燃料、采用新型车载动力装置），综合车辆的动力控制和驱动方面的先进技术，形成的技术原理先进、具有新技术、新结构的汽车.新能源汽车包括纯电动汽车、增程式电动汽车、混合动力汽车、燃料电池电动汽车、氢发动机汽车等.目前新能源汽车越来越普及，对充电桩的需求量也越来越大，某商场计划在地下停车库安装公共充电桩，以满足顾客的需求.据市场分析，公共充电桩的历年总利润y（单位：万元）与营运年数x（x是正整数）成一元二次函数关系，营运三年时总利润为20万元，营运六年时总利润最大，最大为110万元．(1)求出y关于x的函数关系式；(2)求营运的年平均总利润的最大值（注：年平均总利润=历年总利润÷营运年数）．【答案】(1)(2)20万元【分析】（1）根据已知条件，设出二次函数的顶点式，再结合题意列出式子即可求解；（2）结合（1）的结论，先求出，再结合基本不等式的公式即可求解.【详解】（1）因为营运六年时总利润最大，最大为110万元，所以二次函数的开口向下，且顶点坐标为，所以设该函数为，营运三年时总利润为20万元，即，解得，所以.即.（2）由（1）知，所以营运的年平均总利润为，当且仅当，即时，等号成立，故营运的年平均总利润的