初高中数学暑假衔接材料：第02讲 集合的基本关系（暑假预习讲义）（解析版）

2/14第02讲集合的基本关系内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1：判断两个集合的包含关系题型2：求子集（真子集）及其个数题型3：空集的性质及其应用题型4：根据集合相等关系进行计算题型5：根据两个集合相等求参数题型6：根据集合的包含关系求参数题型7：根据子集（真子集）的个数求参数04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航子集真子集集合相等空集Venn图1.理解子集、真子集的定义，掌握子集、真子集的符号表示方法，能正确判断两个集合的包含关系。2.掌握集合相等的判定条件，能根据定义或元素特征判断两个集合是否相等。3.理解空集的概念与性质，明确空集是任何集合的子集、是任何非空集合的真子集，掌握空集的特殊性。4.会用Venn图直观表示集合间的包含、相等关系，能借助图形辅助分析集合关系问题。5.能根据集合间的关系求解参数的取值范围，掌握分类讨论的思想在集合关系问题中的应用。学习重点：子集、真子集的概念与符号表示，集合相等的判定方法，空集的核心性质，集合间关系的基础判断。学习难点：根据集合间的包含关系求解参数取值范围，空集的特殊性在解题中的应用，用分类讨论思想处理含参数的集合包含问题。知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01子集的概念定义一般地,对于两个集合A,B,如果集合中任意一个元素都是集合中的元素,称集合为集合的子集记法与读法记作(或),读作“包含于”(或“B包含”)图示或结论（1）任何一个集合是它本身的子集,即;（2）对于集合A,B,C,若,且,则即时即练已知集合，则（

）A． B． C． D．A、B没有包含关系【答案】B【解析】由，则．知识点02集合相等的概念如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作.也就是说，若且，则.即时即练已知为实数，集合，且，则（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】因为，所以或，解得，或，（不符合集合元素的互异性，舍去）所以.知识点03真子集的概念定义如果集合,但存在元素,且,我们称集合是集合的真子集记法记作(或)图示结论(1)若且,则;(2)若且,则即时即练满足⫋的集合的个数为（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】B【解析】满足条件的集合有，，共7个.知识点04子集的个数如果集合A中含有个元素，则有A的子集的个数有个，非空子集的个数有个，真子集的个数有个，非空真子集的个数有个．即时即练集合，则的子集个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】，故的子集个数是.故选：D

题型1：判断两个集合的包含关系【典例1-1】已知集合，，则（）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为，所以.【典例1-2】已知集合，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】对于选项A，，这是存在性命题，只需找到一个且的元素即可，例如，满足且，故选项A正确；对于选项B，，这是存在性命题，因集合是集合的真子集，故不存在集合中的元素不属于集合，故选项B错误；选项C，，这是全称量词命题，要求所有集合中的元素都不属于集合，而属于集合，也属于集合，故选项C错误；选项D，，，这是全称量词命题，要求所有集合中的元素都属于集合，而属于集合，但不属于集合，故选项D错误．【变式1-1】集合之间的关系是（）A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋【答案】A【解析】集合，，所以，，，所以⫋.故选：A【变式1-2】已知集合，，，则M、N、P的关系满足（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】依题意，，，所以对任意，存在使，令，则且，所以.同理，对任意，存在使，令，则且，所以，综上，.，则，所以的关系满足.故选：A题型2：求子集（真子集）及其个数【典例2-1】已知集合满足，求集合及其个数．【解析】当中含有两个元素时，为；当中含有三个元素时，为；当中含有四个元素时，为；当中含有五个元素时，为；所以满足条件的集合为，集合的个数为8．【典例2-2】（2026·高一·辽宁沈阳·期中）已知集合，写出集合的所有子集．【解析】由，∴，∴，∴集合的所有子集分别为：，，，.【变式2-1】（2026·高一·四川达州·阶段检测）已知集合.(1)求集合；(2)写出集合的所有子集.【解析】（1）当都为正数时，；当都为负数时，；当中有一个是正数，另外两个是负数时，；当中有一个是负数，另外两个是正数时，.综上所述，.（2）集合的所有子集为：.【变式2-2】（2026·高一·河北·阶段检测）已知集合，且.(1)求实数的值；(2)写出集合的所有子集.【解析】（1）因为，所以，解得.（2）由（1）可得，故集合的所有子集为.题型3：空集的性质及其应用【典例3-1】（多选题）（2026·高一·陕西咸阳·阶段检测）下列关系式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】由是无理数，是整数，所有正整数都是实数，空集是任意集合的子集，所以A错，B、C、D对.故选：BCD【典例3-2】（多选题）（2026·高一·贵州黔东南·期中）下列关系式正确的为（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】因为，故A错误；是指元素为0的集合，所以，故B正确；是指元素为的集合，所以，故C正确；是任何集合的子集，所以，故D正确．故选：BCD．【变式3-1】（多选题）（2026·高一·广东惠州·阶段检测）对于下列四个判断，其中错误的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】A选项中元素与集合的关系是属于和不属于的关系，所以，A错误；B选项中空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以或，B错误；C选项中空集是任意非空集合的真子集，C正确；D选项中是无理数，D错误.故选：ABD【变式3-2】（多选题）（2026·高一·河南南阳·期中）下列表述正确的有（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】，故A错误，B正确空集是不含任何元素的集合，且空集是任何集合的子集，故C错误，D正确，故选：BD题型4：根据集合相等关系进行计算【典例4-1】（2026·高一·江西南昌·阶段检测）已知集合，若，则__________.【答案】【解析】由元素的互异性可得且，.因为，且，所以，或，解得或（舍），所以.故答案为：【典例4-2】（2026·高一·江苏扬州·阶段检测）已知集合，且，则的值为______．【答案】0或【解析】因为，所以，得或，当时，，当时，，都成立，所以的值为0或.故答案为：0或【变式4-1】含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为____.【答案】【解析】由题意，若，则或，检验可知不满足集合中元素的互异性，所以，则，所以，则，故.故答案为：.【变式4-2】若集合，，且，则________.【答案】4【解析】∵，∴集合中的元素相同，故，则.故答案为：4题型5：根据两个集合相等求参数【典例5-1】若集合中有三个元素、、，集合中也有三个元素、、，且，则实数______．【答案】【解析】因为集合和集合中都恰有三个元素，所以与各自集合中的另外两个元素均不相同．又因为，且是两个集合的公共元素，所以．两个二元集合相等，分以下两种情况讨论．①若，，则，解得或．当时，，其中只有两个不同的元素，不符合“集合中有三个元素”的条件，舍去．当时，，符合题意．②若，，则由第一个等式得．代入第二个等式，得，所以．但将代入，得到，矛盾，因此此种情况无解．综上，．【典例5-2】（2026·高一·安徽·期中）若，则_____.【答案】2【解析】由题意，则，解得，则，解得（不满足互异性，舍去），所以，故答案为：2【变式5-1】（2026·高一·福建龙岩·期中）已知集合，，若，则________.【答案】【解析】由题意，或，所以或，当时，集合中两个元素均为1，不符合集合中元素的互异性，舍，当时，，满足题意，所以.故答案为：【变式5-2】（2026·高一·上海·阶段检测）已知集合，，且，则集合________．【答案】【解析】由于，得或，结合集合的元素的互异性，得，所以集合，故答案为：题型6：根据集合的包含关系求参数【典例6-1】已知集合，．(1)若，求；(2)若，求实数的取值集合；(3)若中有3个整数，求实数的取值集合；(4)若，求实数的取值集合；(5)若，求实数的取值取值集合；【解析】（1）因为，，所以.（2）因为，若，则，解得，所以实数的取值集合为.（3）因为，中有3个整数，所以，解得，当时，，符合题意，当时，，若中有3个整数，则，即，此时集合中的整数为，符合题意；当时，，不符合题意；当时，，若中有3个整数，则，即，此时集合中的整数为，符合题意；综上所述，实数的取值集合为.（4）当时，如图，此时．则，即，因此的取值集合为．（5）当时，如图，此时，解得，此时无解；当时，由，解得．综上可得：的取值集合为．【典例6-2】（2026·高一·河南周口·期末）已知全集，，.(1)当时，求；(2)若，求m的取值范围.【解析】（1）当时，，，根据交集的概念可得（2）当，即时，，满足；当，即时，，解得，故，综上，m的取值范围为.【变式6-1】已知集合，．(1)若，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围．【解析】（1）当时，如图，此时．则，即，因此的取值范围为．（2）当时，如图，此时，解得，此时无解；当时，由，解得．综上可得：的取值范围为．【变式6-2】设全集，集合，非空集合.(1)若A是B的真子集，求实数a的取值范围；(2)若B是A的子集，求实数a取值范围.【解析】（1）因为A是B的真子集，则，等号不能同时取到，所以；（2）因为B是A的子集，因为，则，又，所以.【变式6-3】（2026·高一·山西太原·阶段检测）已知.(1)若，求实数的值；(2)若，求实数的取值范围.【解析】（1）因为，解得或，所以.因为，所以，所以-4和0是方程的两个根，由韦达定理可得，解得，所以实数的值是1；（2）若，则或或或.当时，，解得；当时，，即，此方程组无解，值不存在；当时，，即，解得；当时，由（1）知.综上，可知实数的取值范围或.题型7：根据子集（真子集）的个数求参数【典例7-1】（2026·高一·宁夏吴忠·阶段检测）已知集合(1)若，写出的所有子集(2)若集合中只含有一个元素，求的值．【解析】（1）当时，集合，解方程得或，则集合，其子集有.（2）当时，集合，解方程得，则集合，满足要求；当时，方程有两个相同的解，即，解得，代入得方程，解得，则集合，满足要求.综上，的值为或.【典例7-2】（2026·高一·广东江门·阶段检测）已知集合.(1)若，写出集合A的所有子集；(2)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合；(3)若有且只有四个子集，试求实数的取值范围.【解析】（1）当时，由，即，解得或，所以，则的所有子集为.（2）时，由，得，此时，符合题意，时，由，解得，由，即，解得，此时，符合题意，故时，；时，.（3）若有且只有四个子集，则方程有两个不等实数根，所以，解得且，综上，实数的取值范围为且.【变式7-1】（2026·高一·福建宁德·阶段检测）已知集合．(1)若中有两个元素，求实数的取值集合；(2)若中只有一个元素，写出实数的取值集合B的所有子集．【解析】（1）由中有两个元素，得方程有两个不同的解，所以，，解得或且.故实数的取值集合为或或.（2）由中只有一个元素，得方程有一个解.当时，方程有一个解；当时，，解得或.所以实数的取值集合，故集合B的所有子集有：，，，，，，，.【变式7-2】设集合，．(1)若集合有且仅有两个子集，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围．【解析】（1）由集合，因为集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素，故，所以，所以实数的取值范围是．（2）由，解得或，所以，因为，所以集合可能是，，，；当时，即方程无实数根，则，解得；当时，即方程有且只有一个根0，，解得；当时，即方程有且只有一个根，则，方程组无解；当时，方程有两根和，则，解得，综上所述，实数的取值范围是或．

1．（2026·高一·黑龙江大庆·阶段检测）已知集合，则集合A的所有真子集的个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】因为集合A的元素的个数为，故集合A的所有真子集的个数为.2．（2026·高一·河北保定·开学考试）集合的子集个数为（

）A．4 B．8 C．16 D．64【答案】B【解析】集合有3个元素，故该集合有个子集．3．（2026·高一·河北衡水·期末）集合的真子集个数为（

）A．3 B．6 C．7 D．8【答案】C【解析】根据题意知，故真子集个数为，故选：C.4．（2026·河南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值集合为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，解得或，所以.因为，所以或，解得或或.经检验：当时，与集合中元素的互异性矛盾.所以实数的取值集合为.5．（2026·高一·云南普洱·期中）集合的子集个数为（

）A．3 B．4 C．8 D．9【答案】C【解析】由题意得，其元素个数为3，子集个数为．6．（2026·广东江门·二模）已知集合，，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】集合，，当时，，满足，因此，当时，由，得，解得，所以的取值范围是.7．（2026·高三·云南玉溪·开学考试）集合，，若，则实数m的取值范围（）A． B． C． D．【答案】D【解析】已知，集合，，可得.所以的取值范围是.8．（多选题）（2026·高一·贵州遵义·阶段检测）若集合．下列关系式正确的有（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】选项A：是任何集合的子集，故成立，故A正确；选项B：符号用于表示元素与集合的从属关系，不是集合B的元素，错误，故B错误；选项C：，，故C正确；选项D：中元素，故错误，故D错误．故选：AC．9．（多选题）（2026·高一·河北·阶段检测）设集合，，若，则实数的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】，，因为，且集合中至多有一个元素，所以或或，若，则；若，则；若，则；故选：ABD.10．（多选题）（2026·高一·广东江门·阶段检测）下列关系表示正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】对于A选项，，A错；对于B选项，，B对；对于C选项，，C对；对于D选项，是数集，为点集，这两个集合不相等，D错.故选：BC.11．已知集合A包含3和两个元素，集合B包含和两个元素，且，则实数______．【答案】3或【解析】由题意，或.故答案为：3或.12．（2026·高一·广东广州·期中）设，若，则=__________.【答案】【解析】，根据集合相等条件可得，..故答案为：.13．（2026·高三·全国·一轮复习）已知a，，若，则______.【答案】【解析】由已知得，则，所以，于是，即或，又由集合中元素的互异性知应舍去，故，所以.14．（2026·高一·四川眉山·期末）已知集合，且.(1)求的值；(2)写出集合的所有真子集.【解析】（1）当时，，不满足集合元素的互异性，不合题意；当时，解得或，不合题意，当时，，符合题意；综上，；（2）由（1）可得，故集合A的所有真子集为：，，，，，，.15．（2026·高一·河南郑州·阶段检测）设集合，．(1)当时，求的所有子集中的元素之和；(2)若，求的取值范围．【解析】（1）当时，，对于集合中的每个元素，除该元素外还有个元素，每个元素有选或不选两种可能，包含它的子集个数为，故的所有子集中的元素之和为．（2）当，即时，满足．当，即时，要使成立，需，可得，综上，的取值范围是或．16．（2026·高一·河北石家庄·阶段检测）已知集合．(1)若，写出集合A的所有子集；(2)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值．【解析】（1）若，则，所以集合A的所有子集是：，（2）当时，方程，符合题意，因此，当时，集合A中仅含有一个元素，则，解得，所以实数a的值为0或.17．（2026·高一·北京延庆·阶段检测）已知集合(1)若集合A中至多有一个元素，求实数k的取值范围；(2)若集合A最少有一个真子集，求实数k的取值范围.【解析】（1）当时，，即，符合题意；当时，，解得：.综上所述，实数k的取值范围为.（2）集合A最少有一个真子集，则集合中至少有一个元素，当时，，即，符合题意；当时，，解得：且.综上所述，实数k的取值范围为.18．（2026·高一·江苏泰州·阶段检测）含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是.(1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和；(2)已知集合，根据提示解决问题.①求集合所有非空子集的元素和的总和；②求集合所有非空子集的交替和的总和.【解析】（1）集合的非空子集为，，，，，，，集合，，的交替和分别为1，2，3，集合的交替和为，集合的交替和为，集合的交替和为，集合的交替和为，所以集合的所有非空子集的交替和的总和为.（2）①集合所有非空子集中，，，，，，，，数字1、2、3各出现次，集合所有非空子集为：，，，，，，，，，，，，，，，其中数字1、2、3、4各出现次，在集合所有非空子集中，含1的子集的个数为，故数字1在16个子集中出现即数字1在所有的非空子集中出现了16次，同理数字2、3、4、5各出现次，同理在集合所有非空子集中，数字1、2、3、4、5、6各出现次，所以集合所有非空子集的元素和的总和为.②的子集一共有个，按照子集是否含有可分为两类，每一个含和去掉的两个配对子集交替和之和为，因为不含的子集共有个，所以的所有非空子集的交替和总和为（的交替和为0，所有子集的交替和与所有非空子集的交替和相等），所以集合所有非空子集的交替和的总和.19．（2026·高一·山西大同·阶段检测）已知集合(1)若，请写出集合的所有子集；(2)若集合，且，求的取值范围.【解析】（1）当时，，所以，集合的所有子集有：、、、.（2）因为，分以下几种情况讨论：①当时，对于方程，，解得；②当集合只有一个元素时，对于方程，，可得，此时，，此时，；③当集合有两个元素时，因为，则，即，即关于的方程的两根分别为、，所以，，无解.综上所述，实数的取值范围是.20．（2026·高一·陕西西安·阶段检测）含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如，的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是5.(1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和.(2)已知集合，根据提示解决问题.①求集合M所有非空子集的元素和的总和；提示：，先求出x在集合M的非空子集中一共出现多少次，进而可求出集合M的所有非空子集的元素和的总是；②求集合M所有非空子集的交替和的总数.【解析】（1）集合的非空子集为，，，，，，，集合，，的交替和分别为1，2，3，集合的交替和为，集合的交替和为，集合的交替和为，集合的交替和为，所以集合